小学数学二年级下册《有余数的除法》教案 728801

小学数学二年级下册《有余数的除法》教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课属于“数与代数”领域“数量关系”主题中的重要内容，是学生在掌握了表内除法和平均分含义基础上的自然延伸与必要拓展。知识技能图谱上，其核心在于从“恰好分完”的整除认知，过渡到“有剩余”的除法普适性模型，理解余数的产生及其含义，掌握有余数除法的横式写法与读法，并初步探究“余数小于除数”这一根本规律。这一认知的建构，为后续学习多位数除以一位数、乃至更复杂的除法竖式计算奠定了不可替代的逻辑与算法基础。过程方法路径上，课标强调通过实际操作与体验，发展学生的运算能力和推理意识。本课将引导学生经历“具体分物（如小棒）—记录过程—抽象算式—发现规律”的完整建模过程，将操作活动内化为数学思维，体会数学的抽象性与概括性。素养价值渗透方面，本课是培养“数感”与“模型思想”的绝佳载体。通过对“剩余”现象进行数学化表征，学生能更深刻地理解除法运算的本质与边界；在探究余数与除数关系的过程中，其初步的归纳与推理能力得以锻炼，严谨求实的科学态度得以萌芽。

进行立体化的学情研判，是“以学定教”的前提。二年级学生的已有基础是清晰的平均分概念与熟练的表内除法计算技能，其思维特点仍以具体形象思维为主，对“分物”活动有天然的兴趣。然而，从“整除”到“有余数”的除法，认知上存在一个跃迁：学生容易将“除法等同于平均分且必须分完”，对“余数”这一新概念的接纳与理解，尤其是理解“余数为什么一定要比除数小”，是普遍的认知障碍与思维难点。这既源于思维抽象度不足，也源于对除法运算意义的理解尚停留在表面。因此，教学必须提供充足且层次分明的操作材料，让“剩余”现象可触可感。在教学过程中，我将通过过程性评估动态把握学情：一是观察学生操作小棒时的分法是否体现“平均分”与“最多分”的原则；二是倾听学生用语言描述分物过程时，能否自然引出“剩余”概念；三是通过关键设问（如“剩下的为什么不能再分一份了？”）探测其思维深度。基于此，教学调适策略将体现差异化：对理解较快的学生，鼓励其用算式表达多种分法并尝试总结规律；对需要支持的学生，则提供更具体的操作步骤指导与语言表达支架，确保其经历从直观到抽象的完整过程。

二、教学目标

知识目标：学生通过操作、观察、比较、交流等活动，理解余数及有余数除法的含义，能正确读出、写出除法横式，知道算式中各部分的名称，并理解余数比除数小的道理。避免机械记忆，而是能解释在平均分物品时，余数产生的必然性及其在算式中的表征意义。

能力目标：学生能够将平均分后有剩余的现象，用规范的除法算式（含余数）进行表征，具备初步的数学建模能力。在探究余数与除数关系的过程中，能依据操作数据进行简单的归纳与推理，并用数学语言（如“剩下的不够再分一份”）清晰地表达自己的发现。

情感态度与价值观目标：在小组合作分物、交流发现的活动中，学生能体验到探究数学规律的乐趣，养成乐于合作、认真倾听、敢于表达的学习习惯。面对“分不完”的情况，能初步接受并积极思考数学中的“不完满”现象，体会数学的严谨与真实。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型思想与推理意识。模型思想体现在将具体、多次的分物活动，逐步抽象为普适性的“被除数÷除数=商……余数”数学模型。推理意识则通过组织学生观察一组有余数除法的算例，引导其发现并合理解释“余数<除数”这一核心规律。

评价与元认知目标：在学习过程中，引导学生依据“操作是否有序”、“表达是否清晰”、“结论是否有据”等简单标准进行同伴互评与自我反思。在课堂小结环节，鼓励学生回顾学习路径，思考“我是如何发现余数比除数小这个秘密的？”，初步培养其反思学习过程的意识。

三、教学重点与难点

教学重点是理解有余数除法的意义，包括余数的含义及其在算式中的表示方法。确立此为重点，源于其在本单元乃至整个除法学习中的枢纽地位：它是除法概念从“理想化”（整除）向“一般化”（包含剩余）拓展的关键节点，是构建完整除法认知结构的基石。课标中强调的“在具体情境中理解有余数除法”，正是要求学生掌握这一核心概念。从学业评价角度看，能否在真实情境中识别并正确列式解决有余数除法问题，是考查学生是否真正理解除法意义的试金石。

教学难点在于理解“余数一定比除数小”的道理。预设其为难点，主要基于两方面分析：一是学情层面，二年级学生的逻辑推理能力尚在发展初期，从多个具体算例中归纳出普遍规律，并理解其内在逻辑（“余数如果大于或等于除数，说明还可以再分一份”），存在认知跨度。二是常见错误分析，学生在初学时极易忽略这一规则，导致计算结果不合逻辑。突破这一难点，不能仅靠告知，而必须设计精心结构的操作与对比活动，让学生在手脑并用的探究中自己“悟”出道理。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（含分物动画、练习题）；板书设计规划（左侧用于贴算式卡片，右侧用于总结规律）。

1.2操作材料：每小组一袋小棒（数量分别为7、8、9、10根）；印有不同数量“草莓”的图片卡；学习任务单（记录表格）。

2.学生准备

2.1知识准备：熟练掌握表内除法，清晰理解“平均分”的含义。

2.2学具准备：每人准备若干小圆片备用。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激趣，温故引新：“小朋友们，智慧果园的草莓熟了，熊大熊二请大家帮忙分一分。”（课件出示10颗草莓图）“如果平均分给2只小熊，每只分得几颗？你能用一个除法算式表示吗？”（复习10÷2=5）接着问：“如果平均分给3只小熊呢？动手用你的小圆片分一分。”

1.1.制造冲突，提出问题：学生操作后会发现有剩余。“咦，这次怎么有剩下的？这剩下的1颗，在除法算式里该怎么表示呢？今天，我们就一起来研究这种‘分不完’的除法——《有余数的除法》。”由此，从学生熟悉的整除情境自然过渡到新知的生长点，激发其认知冲突与探究欲。

1.2.明确路径，唤醒旧知：“这节课，我们就当一回‘分物小专家’。先动手分小棒，看看有什么发现；然后学着把分的过程和结果用数学算式‘记录’下来；最后，咱们还要从这些算式中找一个重要的‘数学秘密’。”

第二、新授环节

###任务一：动手操作，感知“剩余”

1.教师活动：首先明确操作要求：“每个小组的袋子里都有一些小棒，请你们把它们当作‘礼物’，试着每2根分一份，看看结果怎样。”巡视指导，关注学生是否做到“每份同样多”和“分到不能再分为止”。选取典型结果（如分7根、8根小棒），邀请学生到讲台前演示分的过程，并引导其用语言描述：“一共几根？怎么分的？分成了几份？还剩几根？”

2.学生活动：以小组为单位进行分小棒操作。边分边记录：总根数、每份几根、分了几份、还剩几根。上台演示的同学边操作边用完整的语言叙述分物过程。其他学生观察、倾听，并判断其分法是否符合要求。

3.即时评价标准：1.操作是否规范有序（是否一份一份地分，是否分到不能分为止）。2.语言描述是否清晰完整，能否准确说出总数、份数、每份数和剩余数。3.能否认真倾听同伴的汇报，并提出补充或疑问。

4.形成知识、思维、方法清单：★平均分后有剩余的现象：在平均分物品时，并不是每次都能正好分完，可能会出现“剩余”。这是我们今天研究的新情况。▲操作的规范性：数学操作要有序、严谨。“分到不能再分为止”是发现余数的关键步骤。语言是思维的载体：用“把（）平均分，每（）个一份，分了（）份，还剩（）个”的句式描述，是为抽象成算式做准备。

###任务二：尝试表征，初建模型

1.教师活动：承接学生的操作汇报，提出挑战：“大家分得很清楚，说得也很明白。数学家喜欢用简洁的算式来记录这个过程。像‘7根小棒，每2根一份，分了3份，还剩1根’，你能试着创造一个算式来表示吗？”鼓励学生大胆尝试（可能会有学生写出类似7-2-2-2=1或7÷2=3…1）。展示不同写法，引导学生比较、讨论：“哪种写法既能看出怎么分的，又能清楚地表示出结果？”重点讲解有余数除法的标准写法与读法：7÷2=3（份）……1（根），并介绍“余数”。问：“这个算式里的7、2、3、1分别叫什么名字？”

2.学生活动：独立思考，尝试用学过的数学符号创造算式来表示分小棒的过程和结果。在讨论中辨析不同表示方法的优劣。学习有余数除法的标准写法，并练习读写。明确算式中被除数、除数、商和余数的名称。

3.即时评价标准：1.创造的算式是否试图表达“平均分”与“剩余”两个核心信息。2.能否理解标准写法的合理性，并准确读出“7除以2等于3余1”。3.能否在教师引导下，将算式中的每个数与分物过程中的具体量对应起来。

4.形成知识、思维、方法清单：★有余数除法的横式写法与读法：被除数÷除数=商……余数。这是将具体分物活动数学化、符号化的关键一步。★算式与意义的关联：必须理解算式中每个数的实际含义，例如7÷2=3……1，表示把7平均分，每份2个，可以分3份，还剩下1个。模型的初步建立：从具体事物（小棒）到抽象符号（算式），我们正在建立一个表示“平均分有剩余”的数学模型。

###任务三：对比观察，发现规律

1.教师活动：“现在我们都是‘记录员’了，请把你们组刚才分不同数量小棒（每2根一份）的结果，都用这样的除法算式记录下来，贴到黑板上。”组织学生将算式（如7÷2=3…1，8÷2=4…0，9÷2=4…1，10÷2=5…0）分类展示。引导学生观察：“请大家当一回‘数学小侦探’，仔细观察这些算式，特别是‘余数’这一列，你有什么发现？”通过追问引导学生聚焦：“余数可能是哪些数？”“最大的余数是几？”“为什么余数只能是1，或者0，不能是2、3或者更大呢？”让学生结合分小棒的操作来解释（“如果余2根，就还能再分一份”）。

2.学生活动：小组合作，将操作结果转化为算式卡片并张贴。集中观察黑板上的算式组，独立思考后小组交流发现。最终概括出“在有余数的除法里，余数比除数小”。并尝试用操作经验来解释这一规律。

3.即时评价标准：1.观察是否细致，能否从多个算式中发现共通的规律。2.归纳出的结论是否准确、完整。3.解释规律时，能否联系具体操作，做到言之有据。

4.形成知识、思维、方法清单：★余数与除数的关系（余数＜除数）：这是有余数除法中最重要的规律，它保证了除法的合理性（余数若大于等于除数，则分法有误）。★归纳推理的运用：从多个具体例子中寻找共同点，得出一般性结论，这是重要的数学思维方法。▲0也是余数：当没有剩余时，余数就是0，这正是我们以前学的整除情况，它是有余数除法的一种特殊情况。看，新旧知识就这样联系起来了！

###任务四：规范认知，读写巩固

1.教师活动：在学生发现规律后，进行系统小结与强化。“孩子们真了不起，发现了这么重要的数学规律！现在，我们完整地来认识一下这个‘新朋友’。”教师在已板书的算式旁，用色笔突出“余数”，并书写规律“余数＜除数”。出示新的分物情境（如：13块饼干，每人分4块，可以分给几人？还剩几块？），引导学生独立列式并读出来。“来，请大家一起读一遍这个算式，注意‘余’字的读音。”

2.学生活动：跟随教师系统梳理有余数除法算式各部分的名称及核心规律。独立解决新的简单情境问题，列出横式并练习准确读出算式。同桌互相出题、列式、读数，进行即时巩固。

3.即时评价标准：1.能否在算式中准确指出余数，并陈述余数比除数小的规律。2.解决新情境问题时，列式是否准确（特别是单位名称）。3.读算式时是否清晰、准确，尤其是“余”字的发音。

4.形成知识、思维、方法清单：知识的系统化：将零散的发现（余数含义、写法、规律）整合成一个完整的认知结构。应用的即时性：学习新知后立即在简单情境中应用，能有效巩固理解。读写的规范性：准确的读算是数学交流的基础，需加以强调和练习。

###任务五：即时应用，深化理解

1.教师活动：设计一道辨析题：“小明在分铅笔后写了这样一个算式：11÷3=2……5。他写得对吗？为什么？如果不对，请你帮他改过来，并说说正确的分法应该是怎样的。”引导学生利用刚学的“余数<除数”这一规律进行判断和纠正。

2.学生活动：独立思考，运用“余数要比除数小”的规律判断算式正误。讨论错误原因（余数5大于除数3，说明还能继续分）。尝试写出正确的算式（11÷3=3……2），并描述正确的分物过程。

3.即时评价标准：1.能否自觉运用核心规律作为判断依据。2.纠错时，能否给出正确的算式并合理解释。3.思维是否具有批判性，不盲从算式形式。

4.形成知识、思维、方法清单：★规律的检验功能：“余数<除数”不仅是规律，也是检验有余数除法计算结果是否合理的重要工具。逆向思考与错误分析：通过辨析错误，能从反面深化对规律必要性的理解。数学的严谨性：数学结论必须经得起推敲，任何一个数字的位置和大小都有其道理。

第三、当堂巩固训练

本环节构建分层、变式训练体系，并提供及时反馈。

1.基础层（直接应用）：完成学习单第一题“圈一圈，填一填”。（例如：有17个苹果，每5个装一盘，能装几盘？还剩几个？）学生需先实物图圈画，再填写完整的横式。“先动手圈一圈，再让算式来说话，这样就又清楚又准确啦！”

2.综合层（情境应用）：解决实际问题。（例如：22个小朋友坐船，每条船最多坐4人，至少需要几条船？）此题需要理解“最多”、“至少”的含义，并能根据实际情况对商进行“进一”处理。学生独立完成后，小组内交流解题思路。教师巡视，选取不同解法的学生进行展示。

3.挑战层（开放探究）：“想一想：□÷6=□……□，余数可能是几？你能写出几个这样的算式？”这是一个开放性问题，旨在巩固“余数小于除数”的规律，并培养学生的有序思考能力。鼓励学有余力的学生尝试写出所有可能的情况。

反馈机制：基础层练习采用同桌互查，重点检查圈画是否正确、算式是否规范。综合层问题通过小组汇报和教师讲评相结合，重点分析如何从生活问题中抽象出除法模型，并讨论“剩下的2个小朋友也需要1条船”这一关键理解。挑战层问题则请完成的学生分享其有序思考的过程（如余数从1到5依次尝试），树立思维标杆。

第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。

1.知识整合：“孩子们，回过头看，我们今天像是经历了一次完整的数学探险。谁能用‘通过今天的学习，我知道了……’或者‘我学会了用……来……’这样的句子，来分享一下你的收获？”鼓励学生从知识（余数、算式）、规律（余数<除数）、方法（动手分、用算式记）等多个角度总结。

2.方法提炼：“在发现‘余数比除数小’这个秘密时，我们用到了什么好方法？”（观察许多例子、比较、找共同点）“对，从许多具体现象中找到共同规律，是科学家和数学家常用的方法。”

3.作业布置与延伸：“今天的作业小超市开张了：必选商品（基础性作业）：完成课本第60页‘做一做’。自选商品A（拓展性作业）：找一找生活中遇到的‘有余数’的情况，讲给家人听。自选商品B（探究性作业）：思考：在□÷☆=5……3中，☆最小是几？这时□是多少？学有余力的同学可以挑战一下。”最后设疑：“今天我们学习的是横式，其实有余数的除法还有一种更‘强大’的竖式写法，它能帮助我们解决更复杂的计算，下节课我们一起探索。”

六、作业设计

基础性作业（必做）：完成教材配套练习册中对应本节课的基础练习题，内容为看图列式、直接计算等，旨在巩固有余数除法的基本读写、计算及对余数含义的理解。

拓展性作业（鼓励完成）：“生活里的余数”小调查。请学生在家中或社区里寻找一个需要用有余数除法解决的现实问题（如：妈妈买了22个鸡蛋，每6个装一盒，能装几盒？还剩几个？），用图画、文字或算式记录下来，并与家人分享解决过程。此作业将数学与生活连接，促进应用意识。

探究性/创造性作业（选做）：“神秘的除数”推理题。提供一组线索，如：“一个数除以另一个数，商是4，余数是2。已知被除数和余数的和是30。猜猜除数和被除数各是多少？（提示：先画图理清数量关系）”此题需要学生综合运用有余数除法的知识进行逆向推理，富有挑战性和趣味性。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.余数的含义：在平均分一些物品时，有时会有剩余，这个剩余的数叫做余数。它是除法计算中的一部分，表示“不能再分一份”的部分。

★2.有余数除法的意义：表示把总数平均分，每份数量相同，但分后有剩余。其核心仍是“平均分”。

★3.有余数除法的横式写法：被除数÷除数=商……余数。例如：9÷4=2……1。注意“……”的六个点要写规范。

★4.算式的读法：读作“几除以几等于几余几”。如9÷4=2……1读作“9除以4等于2余1”。这是数学交流的基本功。

★5.余数与除数的关系（核心规律）：在有余数的除法中，余数一定比除数小。即：余数＜除数。理解其道理：如果余数等于或大于除数，说明还可以再分至少一份。

▲6.余数的取值范围：余数可以是0，1，2，……，一直到比除数小1的数。余数为0时就是整除。

★7.单位名称的书写：在解决实际问题列横式时，商和余数后面都应根据题意写上合适的单位名称，且两者单位往往不同。例如：19÷6=3（盒）……1（个）。

▲8.与整除的联系：整除（余数为0）是有余数除法的特殊情况。两者统一于“平均分”的模型之下。

★9.基本应用：能根据平均分有剩余的情境正确列出有余数的除法横式，或根据算式描述相应的情境。

▲10.易错点警示：列式时忘记写余数；写单位时商和余数单位混淆；计算时忽略“余数比除数小”的规则，导致余数过大。

★11.规律的运用：利用“余数<除数”可以快速判断计算结果是否合理，也可以逆向思考，由除数和余数推断被除数的可能范围。

▲12.思维方法：本节课经历了“具体操作→形成表象→抽象算式→归纳规律”的完整认知过程，体现了数学建模和归纳推理的思想。

▲13.考点提示：常见题型包括看图列式、填空（最大/小余数）、判断算式的合理性、解决简单的周期排列问题（渗透）。

▲14.生活实例：物品包装（如每盒装固定数量，能装几盒剩几个）、队伍分组、时间计算等。

▲15.拓展思考：在后续学习中，余数概念将延伸至更高级的运算（如模运算），并在编码、计算机科学等领域有广泛应用。其背后蕴含的“不整除”思想，是数学丰富性的体现。

八、教学反思

本次教学立足于深度理解有余数除法的本质，将结构化认知、差异化探索与核心素养发展融为一体进行设计。回顾假设的实施过程，可作如下反思：

（一）目标达成度分析：从知识技能层面看，通过多层次的操作与表征活动，绝大多数学生能正确理解余数含义，规范书写横式，并能在教师引导下复述“余数比除数小”的规律。这从“当堂巩固训练”中基础层的高正确率可以得到印证。然而，让规律从“复述”内化为自觉“运用”，尤其在综合层问题（坐船问题）中灵活处理商与余数，部分学生仍显吃力，这说明从理解到自主应用仍需更多变式练习的支撑。

（二）核心环节有效性评估：“任务三：对比观察，发现规律”是本课设计的高潮与成败关键。在预设中，学生通过操作7、8、9、10根小棒（每2根一份），自然得出余数为1或0的算式组。课堂中若能引导学生横向对比这组算式，聚焦余数一列，并追问“为什么余数不能是2？”，能有效激发深度思考。一名学生回答“如果剩2根，就又能分一份了，那刚才就没分完”，这表明操作经验成功支撑了抽象规律的推理。此环节将动手、观察、思辨紧密结合，是发展推理意识的绝佳载体。

（三）差异化实施剖析：在“新授环节”的任务设计中，为不同思维速度的学生提供了空间。例如，在“尝试表征”时，允许学生创造自己的符号，既尊重了认知起点，又为后续统一规范写法提供了对比素材。在“发现规律”时，理解快的学生能迅速归纳，教师可让其担任“小老师”解释；而需要支持的学生，则可引导其再次操作小棒（如分11根、12根），用更多数据验