《椭圆及其标准方程》课件

1椭圆及其标准方程第三章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(数学建模)2.掌握椭圆的定义和标准方程.(数学抽象)3.会求椭圆的标准方程.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习[激趣诱思]哈雷彗星(周期彗星表编号:1P/Halley)是每76.1年环绕太阳一周的周期彗星,肉眼可以看到.因英国物理学家爱德蒙·哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.哈雷彗星的轨道周期为76~79年,下次过近日点时间为2061年7月28日.天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,这颗彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或离去的时间.[知识点拨]一、椭圆的定义1.定义我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.2.定义的集合语言表述集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.名师点析

在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件.微练习下列说法正确的是(

)A.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆答案

C二、椭圆的标准方程

名师点析

1.两种椭圆

(a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.2.给出椭圆方程

(m>0,n>0,m≠n),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.微思考在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗?提示

不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定.微练习(1)若椭圆方程为,则其焦点在

轴上,焦点坐标为

.

(2)已知a=5,c=2,焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为

.

解析

(1)因为10>6,所以焦点在x轴上,且a2=10,b2=6,所以c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0).(2)由已知得b2=a2-c2=21,于是椭圆的标准方程为答案

(1)x

(2,0)和(-2,0)

(2)微拓展

课堂篇探究学习探究一求椭圆的标准方程1.待定系数法例1根据下列条件,求椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(3)经过点A(,-2)和点B(-2,1).思路分析(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).反思感悟

椭圆方程的求法(1)利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程.(2)焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.变式训练1根据下列条件,求椭圆的标准方程.(2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.2.定义法例2一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.思路分析两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,由此可以找到动圆圆心满足的条件等式.解

两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.反思感悟

1.若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.2.一般步骤:(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离);(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴;(3)确定椭圆的基本量a,b,c,从而确定椭圆的标准方程.延伸探究

本题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程.解

设动圆圆心为P(x,y),半径为r.由圆P与圆Q1内切,得|PQ1|=r-1;由圆P与圆Q2内切,得|PQ2|=9-r.所以|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|.所以P点轨迹是以Q1,Q2为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6.即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.故动圆圆心的轨迹方程是探究二对椭圆标准方程的理解例3(1)若方程

表示椭圆,则实数m的取值范围是(

)A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)C.(8,25) D.(8,+∞)(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是

.

反思感悟

根据椭圆方程求参数的取值范围

答案

(-4,0)∪(0,3)探究三椭圆中的焦点三角形问题思路分析(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积.即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,∴122=202-3|PF1|·|PF2|,反思感悟

1.焦点三角形的概念如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.3.焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.(2)在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos

θ.(3)焦点三角形的面积(选择题、填空题可直接应用此公式求解)变式训练3如图,已知经过椭圆

的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.(1)求△AF1B的周长.

(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗?为什么?故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,∴△AF1B的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=10+10=20,∴△AF1B的周长为20.(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长仍为20不变.理由:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,和AB与x轴是否垂直无关.

素养形成求与椭圆有关的轨迹问题典例已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.【规范答题】解

以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.所以点A的轨迹方程为

(y≠0).方法总结

求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.

当堂检测1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=16,则动点M的轨迹是(

)A.椭圆 B.直线

C.圆 D.线段解析

因为|MF1|+|MF2|=16>|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆.答案

A2.椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为(

)答案

C3.已知m,n∈R,则“mn>0”是“方程

表示的曲线是椭圆”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

B知识点1

椭圆的定义

BA.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充