3.2.2 奇偶性的概念 第1课时

.2.2第1课时奇偶性的概念基础练 巩固新知夯实基础 1.(多选)对于定义在R上的函数f(x)，有下面选项正确的是()A.若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；B.若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；C.若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；D.若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．2.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝－eq\f(2,x)3.列函数为奇函数的是()A．y＝－|x|B．y＝2－xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝－x2＋84.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，则f(－1)等于()A．－2B．0C．1D．25.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()6.函数f(x)＝x3＋ax，若f(1)＝3，则f(－1)的值为________．7.奇函数f(x)的定义域是(t,2t＋3)，则t＝________.8.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3，x∈R；(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；(4)f(x)＝eq\f(x2＋x,x＋1).

能力练综合应用核心素养9.（多选）下列判断不正确的是()A.函数f(x)=x2B.函数f(x)=x2C.函数f(x)=x+x2D.函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数10.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数11.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()A．0B．1C．2D．412.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．113.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)14.若函数f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)为奇函数，则a等于________．15.已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．16．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．

【参考答案】AC解析A正确；B错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；C正确；D错误，反例：f(x)＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．2.B解析对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x＞0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．故选B.另外函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－eq\f(2,x)不是偶函数．3.C解析A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．4.A解析f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.B解析选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．6.－3解析∵x∈R，且f(－x)＝－x3－ax＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．∴f(－1)＝－f(1)＝－3.7.－1解析由奇函数f(x)的定义域关于原点对称，知t＋2t＋3＝0，得t＝－1.解(1)∵f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(4)由x＋1≠0，得f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，∴函数f(x)＝eq\f(x2＋x,x＋1)不具有奇偶性．9.ABD解析：A中函数的定义域为{x|x≠2},不关于原点对称,故f(x)不是奇函数,故A错误;B中函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数,故B错误;C中函数的定义域为{x|x≤-1,或x≥1},f(-x)=-x+x2-1≠f(x),f(-x)=-x+x2-1≠-f(x),故f10.A解析∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．A解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.B解析由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.13.B解析依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝eq\f(1,3)，则a＋b＝eq\f(1,3).14.eq\f(1,2)解析函数f(x)的定义域为{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)，且x≠a)).又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝eq\f(1,2).15.5解析因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.16.解(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)因为f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.A级必备知识基础练1.[探究点一·2024辽宁抚顺高一期中]下列函数是奇函数的是()A.y=-1x B.y=x+C.y=x D.y=2x22.[探究点一]下列函数图象,既是奇函数又是增函数的是()3.[探究点一]函数f(x)=2x2+2A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数4.[探究点三(角度1)]下列说法中,正确的是()A.偶函数的图象一定与y轴相交B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0C.既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈RD.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数5.[探究点三(角度1)]若偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则a=f(-2),b=f(π2),c=f(32)的大小关系是(A.b<a<c B.b<c<aC.a<c<b D.c<a<b6.[探究点三(角度1)](多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在区间[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是()A.这个函数有2个单调递增区间B.这个函数有3个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-77.[探究点二]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3-3x+1,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=.

8.[探究点三(角度2)·2024江苏连云港高一月考]已知f(x)=ax+bx-4,其中a,bf(-2)=2,则f(2)=.

9.[探究点三(角度1)]若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是增函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是.

10.[探究点三(角度1)]已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-x.(1)求f(x)的解析式;(2)画出f(x)的图象;(3)求该函数的值域.B级关键能力提升练11.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()A.1 B.2 C.3 D.412.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数13.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是()A.f(-1)=0B.f(x)的最大值为1C.f(x)在(-1,0)上单调递增D.f(x)>0的解集为(-1,1)14.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+1x+1+t,则t=f(-2)=.

15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若f(x)在区间[-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围.C级学科素养创新练16.(多选题)给出定义:若m-12<x≤m+12(其中m为整数),则称m为离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m.则下列关于函数f(x)=x-{x}的四个说法中正确的有(A.函数y=f(x)的定义域是R,值域是-B.函数y=f(x)是偶函数C.函数y=f(x)是奇函数D.函数y=f(x)在(-1217.(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),求证:f(x)为偶函数;(2)设函数f(x)定义在(-t,t)上,证明:f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.答案：1.Ay=-1x的定义域为{x|x≠0},因为-1-x=-(-1x),所以y=-1x是奇函数y=x+1的定义域为R,因为-x+1≠-(x+1),所以y=x+1不是奇函数,故B错误;y=x的定义域为{x|x≥0},所以y=x既不是奇函数也不是偶函数,故C错误;y=2x2的定义域为R,因为2(-x)2=2x2,所以y=2x2是偶函数,故D错误.故选A.2.A3.D因为f(x)=2x所以x+1≠0,即x≠-1,故f(x)的定义域为{x|x≠-1},显然f(x)的定义域不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.故选D.4.By=1x2是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则由f(-x)=-f(x)得f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故B正确;若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B.5.C由f(x)为偶函数,得a=f(-2)=f(2).又2<32<π2,且f(x)在∴f(2)<f(32)<f(π2),即6.BC根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在区间[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数在区间[-7,7]上有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.7.2x3-3x-18.-10设g(x)=f(x)+4=ax+bx,g(-x)=-ax-bx=-g(x),g(x)的定义域为x≠0,所以g(x)是奇函数,g(-2)=f(-2)+4=6,则g(2)=-g(-2)=-6,又g(2)=f(2)+4,所以f(2)=-10.9.(-∞,-2)∪(2,+∞)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,又因为f(2)=0,所以f(x)<0⇔f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2.10.解(1)当x<0时,-x>0,故f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x)=x2+x(x<0).综上,f(x)=x(2)当x≥0时,f(x)=x2-x=(x故此时函数f(x)在区间(0,12)上单调递减,在区间(12,+∞)上单调递增,又因为f(x)为偶函数,故f(x)在区间(-∞,-12)上单调递减,在区间(-12且f(-12)=f(12)=-14,f(-1)=f(1)=f画出函数图象如下.(3)由图象可得出函数的值域为[-14,+∞)11.Bf(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.12.C∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.13.ABf(-1)=f(1)=0,A正确;当x≥0时,f(x)=x-x2=-(x-12)2+14,∴f(x)的最大值为14,B正确因为f(x)在(-12,0)上单调递减,C错误;f(x)>0的解集为(-1,0)14.-1143因为函数f(x)为R上的奇函数所以f(0)=0,即-02+10+1+t=0,解得t=-1所以f(x)=-x2+1x+1-所以f(2)=-22+12+1-1=-14又函数f(x)为R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=14315.解(1)根据题意,f(x)是定义