浙江省七彩阳光2025-2026学年高一下学期4月期中数学学科练习 含答案

浙江温岭市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习注意事项：1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效．4．结束后，只需上交答题卡．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列说法正确的是（）A.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥B.相等的角在直观图中仍然相等C.有两个面相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台4.已知，则（）A. B. C.1 D.45.如图，在四边形ABCD中，，，向量，的夹角为．若E，F分别是边AD，BC的中点，则（）A. B.3 C. D.6.如图①，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底在同一平面内的两个测量基点与，如图②．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（）A. B. C. D.7.已知函数，若，，，则（）A. B. C. D.8.已知半径为2的圆上有三点A，B，C，满足，点是圆上一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数为虚数单位，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.如图，在长方体中，为的中点，为靠近的三等分点，为与EF的交点，为BD的中点，则下列说法正确的是（）A.过E，F，D的平面截长方体所得截面是四边形 B.直线上存在点使O，N，M三点共线C.三条直线有公共点 D.直线与直线OE异面11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则符合条件的有两个C.若为锐角三角形，则D.若是钝角三角形，则非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若某圆锥侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥体积为______．13.如图，平面四边形ABCD中，，则__________．14.已知平面向量满足，则的最小值是__________，最大值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量．（1）求；（2）若，求实数的值．16.设函数，其中．（1）求的最小正周期；（2）若，其中，求的值．17.如图，正三棱柱中，是棱的中点．（1）设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值；（2）求三棱锥的体积；（3）求该正三棱柱的外接球的表面积．18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角，已知．（1）求；（2）若的面积为，求的周长；（3）若是锐角三角形，求的取值范围．19.如图，设Ox，Oy是平面内夹角为的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若向量，则把叫做向量在平面坐标系xOy中的坐标，记．（1）在仿射坐标系中，若向量，求的坐标；（2）在仿射坐标系中，向量，向量．求在方向上的投影向量；浙江温岭市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习注意事项：1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效．4．结束后，只需上交答题卡．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合、后，利用交集定义即可得.【详解】由，可得，即，故，由，可得，解得，故，则.2.在复平面内，复数对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数除法运算法则，求出的实部和虚部，即可得出结论.【详解】，对应点的坐标为，位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的几何意义，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥B.相等的角在直观图中仍然相等C.有两个面相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【答案】A【解析】【详解】对于A，棱锥的侧面均为三角形，若有一个面为平行四边形，则此面一定为底面，所以该棱锥为四棱锥，故A正确；对于B，正方形的每个角均为，而直观图中,，故，故B错误；对于C，棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点，有两个面相似，其它各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，如图，四边形和是相似的矩形，该多面体不是棱台，故C错误；对于D，用平行于圆锥底面的一个平面截圆锥，才能得到一个圆锥和圆台，故D错误.4.已知，则（）A. B. C.1 D.4【答案】B【解析】【详解】由得，，所以.5.如图，在四边形ABCD中，，，向量，的夹角为．若E，F分别是边AD，BC的中点，则（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量线性运算，数量积的运算律即可得到答案.【详解】由，所以.6.如图①，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底在同一平面内的两个测量基点与，如图②．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设塔高，在中求出，在中，利用正弦定理列方程即可求解.【详解】设塔高，在中，，所以，在中，，由正弦定理得，即，解得，所以塔高为.7.已知函数，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分析函数的奇偶性，单调性，再利用中间值比较大小即可．【详解】由的定义域为，即定义域关于原点对称，又，则是偶函数，又在上单调递增，且在上也单调递增，所以在上单调递增，由，又在上单调递减，则在上单调递增，且，所以，所以，所以，即．8.已知半径为2的圆上有三点A，B，C，满足，点是圆上一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以圆心为原点建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算将所求表达式转化为与圆心和点相关的形式，再结合正弦函数的性质求解取值范围.【详解】以圆心为原点建立平面直角坐标系，设，则，设，则，且在圆上，满足，两式相减得，解得，不妨取，设，则，，所以，，相加得，，因为，所以，即，所以，所以，所以的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数为虚数单位，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由得，再由复数的运算法则与模长公式验证选项即可求解【详解】由得，对于A，，故A正确；对于B，，故B不正确，对于C，由于，由于，所以，故C正确；对于D，由于，当，时，显然，故D错误10.如图，在长方体中，为的中点，为靠近的三等分点，为与EF的交点，为BD的中点，则下列说法正确的是（）A.过E，F，D的平面截长方体所得截面是四边形 B.直线上存在点使O，N，M三点共线C.三条直线有公共点 D.直线与直线OE异面【答案】ABD【解析】【分析】对于A：作出相应辅助线，根据平行关系可证，即可得截面图形；对于B：可知与相交，即可判断；对于C：设，，计算可得、不为同一点；对于D：根据异面直线的判定定理分析判断..【详解】对A：取上靠近的三等分点，上靠近的三等分点，连接、、、，由为靠近的三等分点，则为中点，故，由为靠近的三等分点，故，又，故四边形是平行四边形，故，则，故四边形即为过E，F，D的平面截长方体所得截面，故A正确；对B：因为均在平面内，连接，则与相交，所以直线上存在点使，，三点共线，故B正确；对C：设，由为的中点，，则为的中位线，故；设，由为靠近的三等分点，，则与的相似比为，故；故、不为同一点，即三条直线，没有公共点，故C错误；对D：因为平面，平面，，所以直线与直线是异面直线，故D正确.11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则符合条件的有两个C.若为锐角三角形，则D.若是钝角三角形，则【答案】BCD【解析】【分析】A选项根据三角形边角关系逐项判断.A项可通过构造反例说明命题不成立；B项利用正弦定理把边角关系转化为的值，再结合判断角有两个可能值，并验证两种情况都能构成三角形；C项利用锐角三角形中，把转化为比较；D项设钝角为，先证明，再结合判断所给不等式.【详解】对于A项，取，则，但，，所以，与选项中的不符，故A项错误.对于B项，由正弦定理得，所以.，从而.因此满足的角有两个可能值.设较小的角为，则为锐角，且由得；另一个角为，且.当时，；当时，，因为.所以这两个角都能与构成三角形，符合条件的有两个，故B项正确.对于C项，若为锐角三角形，则，所以，即.又与均为锐角，且在上单调递增，所以，故C项正确.对于D项，不妨设为钝角，则，于是，均为锐角，故，且.由于，所以.又，其中，故必有，即.于是.因为且，所以，从而，故D项正确.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若某圆锥侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥体积为______．【答案】【解析】【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥侧面积为，所以，又圆锥侧面积也可表示为，所以，所以该圆锥的高为，所以该圆锥的体积为.13.如图，平面四边形ABCD中，，则__________．【答案】##【解析】【分析】由得到，.在中，将转化为，再结合已知条件求出.由得到，最后在中用余弦定理求.【详解】因为，所以，.在中，由正弦定理可得，又已知，所以.因为，且，所以，从而，故.又因为，所以.在中，由余弦定理得，所以.14.已知平面向量满足，则的最小值是__________，最大值是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】设，已知条件变为，，问题变为求的最值，把已知条件平方，可求得，，结合数量积的性质和基本不等式可得，从而求得的范围，得出结论．【详解】设，则，，所以已知条件变为，，平方得即，，所以即，，记，则，又，所以，共线时等号成立，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，，所以，所以所以即的最大值为，最小值为3.四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量．（1）求；（2）若，求实数的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用向量模的公式，以及数量积公式求解即可；（2）利用向量的夹角公式计算即可求解.【小问1详解】，；【小问2详解】因为，所以，即，得，代入可得，解得．16.设函数，其中．（1）求的最小正周期；（2）若，其中，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期公式计算即可得；（2）由可计算出，再利用两角和的余弦公式计算即可得.【小问1详解】由，故的最小正周期；【小问2详解】若，则，即，又因为，所以或，即或，当时，；当时，．17.如图，正三棱柱中，是棱的中点．（1）设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值；（2）求三棱锥的体积；（3）求该正三棱柱的外接球的表面积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用侧面展开解题；（2）法一，总体积减去多余的体积；法二，等体积换顶点体积；（3）确定正棱柱的外接球球心，求得半径，代入表面积公式.【小问1详解】将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．当A，F，E三点共线时，取得最小值，且最小值为．【小问2详解】法一：因为为等边三角形，，所以的面积，又，所以，，，所以．法二：因为的面积，，所以．【小问3详解】设正三棱柱两底面中心分别为，的中点为．正三棱柱的外接球半径，外接球表面积．18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角，已知．（1）求；（2）若的面积为，求的周长；（3）若是锐角三角形，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边