立体图形的直观图课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图目标素养1.能用斜二测画法画出平面图形的直观图,提升直观想象素养.2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图,提升直观想象素养.3.能通过直观图认识空间图形,提升直观想象素养.知识概览课前·基础认知1.斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.2.水平放置的平面图形直观图的画法及要求微思考1已知图形中相等的角在直观图中还相等吗?提示：不一定.例如正方形的直观图为平行四边形.微训练

利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图,正确的是(

)答案:C微提醒

在用斜二测画法画直观图时,平行线段仍然平行,所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比,但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.3.空间几何体直观图的画法(1)画轴:与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的

z

轴,直观图中与之对应的是

z'

轴;

(2)画底面:平面

O'x'y'

表示水平平面,平面

O'y'z'

和

O'x'z'

表示竖直平面,按照平面图形的画法,画底面的直观图.

(3)画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和

长度

都不变;

(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为

虚线

.

微思考2空间几何体的直观图唯一吗?提示:不唯一.作直观图时,由于选轴的不同,画出的直观图也不同.4.旋转体直观图的画法(1)画圆柱和圆锥的直观图常按以下步骤进行①画轴:用轴来定位.②画底面:将底面椭圆的长轴取为横向,长度等于底面直径.③成图.(2)画球的直观图,一般需要画出球的轮廓线,它是一个

圆

.同时还经常画出经过球心的截面圆,它们的直观图是

椭圆

,用以衬托球的立体性.

5.组合体的直观图画组合体的直观图,先要分析它的结构特征,知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式,然后按“取轴、定点、成图”的基本步骤完成画图.课堂·重难突破一

画水平放置的平面图形的直观图典例剖析

1.(1)如图,在直角坐标系Oxy中有一个水平放置的正方形ABCD,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A'B'C'D'中,顶点B'到x'轴的距离为

.

解析:正方形的直观图A'B'C'D'如图所示.因为O'A'=B'C'=1,∠B'C'x'=45°,(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图.解：画法:①在下图甲中作AG⊥x轴于G,DH⊥x轴于H.

甲②在图乙中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.③在图乙中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,乙④连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图丙).丙规律总结

画水平放置的平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取恰当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上.(2)画水平放置的平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),对于与坐标轴不平行的线段,通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.学以致用1.用斜二测画法画出图中水平放置的直角梯形OBCD的直观图.解:(1)如图①,在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图②所示.(2)在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上截取D'C'=DC.连接B'C',如图②所示.(3)擦去辅助线,所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③所示.二

画空间几何体的直观图典例剖析2.画出正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图(底面边长尺寸不作要求,侧棱长为2cm).解:如图,画法如下:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.根据x轴、y轴,画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱.过A,B,C,D,E,F各点分别作z'轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA',BB',CC',DD',EE',FF'都等于2

cm.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',E',F',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正六棱柱的直观图.规律总结

画空间多面体的直观图时,首先按照斜二测画法画出几何体的底面直观图,然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变,画出几何体的各侧面.画空间多面体的直观图的步骤可简单总结为:画轴→画底面→画侧棱→成图学以致用2.用斜二测画法画长、宽、高分别为2cm,2cm,1cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.解:画法:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4

cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则▱ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1

cm长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.三

直观图的还原与计算典例剖析3.(1)如图①,Rt△O'A'B'是一个水平放置的平面图形的直观图,若O'B'=,则这个平面图形的面积是(

)

C①解析:由题图知,将直观图还原,可知原△OAB(点O,A,B分别为O',A',B'的对应点)为直角三角形.(2)如图②,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形,并求原图形的面积.②解:如图,建立直角坐标系Oxy,在x轴上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,便得到了原图形(如图).由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底分别为AB=2,CD=3,直角腰AD=2.互动探究1.(变条件)如图,本例(2)中的条件改为直角梯形ABCD是一水平放置的平面图形的直观图,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,求原图形的面积.解:如图①,在直观图中,过点A作AE⊥BC于点E,则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,①由此可得原图形如图②所示,是一个直角梯形.②2.(变问法)本例(1)中直观图中△O'A'B'的面积与原图形面积之比是多少?规律总结

1.直观图的还原技巧由直观图还原为原图形的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.2.直观图与原图形面积之间的关系

学以致用3.用斜二测画法画一个水平放置的图形的直观图得到一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是(

)答案:A解析:如图,计算可知选A.

直观图原平面图随堂训练1.(多选题)用斜二测画法画水平放置的长方形的直观图,下列图形可能为画出的直观图的是(

)答案:BD2.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说,下列描述错误的是(

)A.三角形的直观图仍然是一个三角形B.90°的角的直观图会变为45°的角C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半D.由于选轴的不同,所得的直观图可能不同答案:B解析:对于A,根据斜二测画法特点知,相交直线的直观图仍是相交直线,因此三角形的直观图仍是一个三角形,故A正确;对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角,故B错误;C,D显然正确.故选B.3.水平放置的△ABC的直观图如图所示,若B'O’=C'O’=1,

A'O'=

,则△ABC是(

)A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形答案:A解析:由题图知,在△ABC中,AO⊥BC.

∵B'O'=C'O'=1,∴BC=2,AB=AC=2,∴△ABC为等边