2025年高起专陕西数学试题含答案

2025年高起专陕西数学试题含答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.若函数f(x)=x²2x+1在区间(0,+∞)上是增函数，则a的取值范围是（）

A.a>1

B.a≥1

C.a≤1

D.a<1

答案：C

解析：函数f(x)=x²2x+1可以写成f(x)=(x1)²，对称轴为x=1，开口向上。在区间(0,+∞)上，当x>1时，f(x)随x增大而增大，故a的取值范围为a≤1。

2.已知函数f(x)=|x2||x+1|，则f(x)的图像是（）

A.向右平移2个单位的y=|x|的图像

B.向左平移1个单位的y=|x|的图像

C.向左平移2个单位的y=|x|的图像

D.向右平移1个单位的y=|x|的图像

答案：C

解析：将f(x)分段表示为：

f(x)=

x3,x<1

2x1,1≤x≤2

x+3,x>2

该图像可以看作是y=|x|的图像向左平移2个单位。

3.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k和b的关系是（）

A.k²+b²=1

B.k²+b²=2

C.k²+b²=3

D.k²+b²=4

答案：A

解析：直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=|k0+b|/√(k²+1)=1，解得k²+b²=1。

4.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n²+n，则该数列的通项公式是（）

A.an=4n3

B.an=2n+1

C.an=4n+3

D.an=2n1

答案：A

解析：由Sn=2n²+n，得an=SnSn1=(2n²+n)[2(n1)²+(n1)]=4n3。

5.若等比数列{an}的公比为q，首项为a1，且a3=8，a5=32，求首项a1的值（）

A.1

B.2

C.4

D.8

答案：C

解析：由a3=a1q²=8，a5=a1q⁴=32，得q²=4，a1=4。

6.已知函数f(x)=(x1)²(x+2)，求f(x)的零点（）

A.2,1

B.2,1,0

C.2,1,3

D.0,1,2

答案：A

解析：令f(x)=0，解得x=2,1。

7.在三角形ABC中，a=3,b=4,c=5，求角A的大小（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

答案：D

解析：由a²+b²=c²，得三角形ABC是直角三角形，角A为直角。

8.若向量a=(2,3)，向量b=(4,1)，则向量a与向量b的点积是（）

A.5

B.11

C.9

D.1

答案：C

解析：向量a与向量b的点积为24+3(1)=9。

9.若函数f(x)=x²3x+2在区间(0,3)上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：f(x)在(0,3)上单调递减，最大值M=f(0)=2，最小值m=f(3)=0，所以M+m=2。

10.已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的顶点坐标（）

A.(2,1)

B.(2,1)

C.(1,1)

D.(1,1)

答案：A

解析：f(x)=(x2)²1，顶点坐标为(2,1)。

二、填空题（每题4分，共40分）

11.若等差数列{an}的公差为2，首项为3，则第10项a10=_______

答案：21

解析：a10=a1+(101)d=3+(101)2=21。

12.已知函数f(x)=|x2|，求f(3)的值。f(3)=_______

答案：1

解析：f(3)=|32|=1。

13.若直线y=2x+1与圆x²+y²=4相切，则b的值为_______

答案：1

解析：圆心到直线的距离等于圆的半径，即|20+1|/√(2²+1²)=2，解得b=1。

14.已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，求第5项a5。a5=_______

答案：162

解析：a5=a1q⁴=23⁴=162。

15.若函数f(x)=x²2x+1在区间(0,+∞)上是减函数，则a的取值范围是_______

答案：a≥1

解析：f(x)在(0,+∞)上单调递减，故a的取值范围为a≥1。

16.在三角形ABC中，a=5,b=7,c=8，求角A的大小。角A=_______°

答案：30°

解析：由余弦定理cosA=(b²+c²a²)/(2bc)=(7²+8²5²)/(278)=3/4，所以角A=30°。

17.若向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，求向量a与向量b的夹角θ。θ=_______°

答案：135°

解析：cosθ=(ab)/(|a||b|)=(1(2)+23)/(√(1²+2²)√((2)²+3²))=1/√2，所以θ=135°。

18.若函数f(x)=x²4x+3的图像上存在点P(a,b)，使得f(a)=b，求a的值。a=_______

答案：2

解析：f(a)=a²4a+3=b，由于f(x)的图像上存在点P(a,b)，所以a=2。

19.若等差数列{an}的前n项和为Sn=3n²+2n，求该数列的首项a1。a1=_______

答案：4

解析：a1=S1=31²+21=5，所以首项a1=4。

20.若等比数列{an}的公比为2，首项为1/2，求该数列的第8项a8。a8=_______

答案：64

解析：a8=a1q⁷=(1/2)2⁷=64。

三、解答题（共20分）

21.（10分）已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

解答：

f(x)=(x1)²，对称轴为x=1，开口向上。在区间[1,