全品高考备战2027年数学一轮备用题库01第16讲导数的概念及其意义、导数的运算【答案】作业手册

第三单元一元函数的导数及其应用第16讲导数的概念及其意义、导数的运算1.D[解析]对于A,4'=0,故A错误;对于B,(3x)'=3x·ln3,故B错误;对于C,(lnx)'=1x,故C错误;对于D,(x5)'=5x4,故D正确2.B[解析]函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于f(2)-f(0)2-0=42=2.由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.因为函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率3.B[解析]由函数f(x)=x4-3x2,可得f'(x)=4x3-6x,所以f'(-1)=2且f(-1)=-2,所以所求切线方程为y+2=2(x+1),即2x-y=0.故选B.4.C[解析]因为f(x)=2xf'π3+sinx,所以f'(x)=2f'π3+cosx,令x=π3,则f'π3=2f'π3+cosπ3,5.D[解析]令y=f(x)=aex+xlnx,则f'(x)=aex+lnx+1,由题意知f(1)=2+6.A[解析]f'(x)=(ex+2cosx)(1+x2)-2x(ex+2sinx)(1+x2)2,则切线的斜率k=f'(0)=3,则曲线y=f(x)在点7.12[解析]由题得f'(x)=2x-1x2,∴f'(1)=1,∴limΔx→0f(8.D[解析]因为y'=(sin(1-x)sinx+xcosxex,所以y'

x=0=0,又曲线y=xsinxex在原点处的切线与直线3x-ay+1=9.A[解析]因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),两边求导,可得[f(x)]'=[f(-x)]',即f'(x)=f'(-x)·(-x)',所以f'(x)=-f'(-x).又f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x-2y+1=0,所以f'(1)=12,所以f'(-1)=-f'(1)=-12.故选10.A[解析]设直线y=kx+b与曲线y=lnx相切于点(x1,lnx1)且x1>0,与曲线y=-ln(-x)相切于点(x2,-ln(-x2))且x2<0,因为y'=(lnx)'=1x,y'=[-ln(-x)]'=-1x,所以曲线y=lnx在点(x1,lnx1)处的切线方程为y-lnx1=1x1(x-x1),即y=1x1x+lnx1-1,曲线y=-ln(-x)在点(x2,-ln(-x2))处的切线方程为y+ln(-x2)=-1x2(x-x2),即y=-1x解得x1=e,x2=-e,故k=1x1=1e11.ABC[解析]对于A,由f(x)=sinx+cosx,得f'(x)=cosx-sinx,则f″(x)=-sinx-cosx=-(sinx+cosx),因为x∈0,π2,所以sinx>0,cosx>0,所以f″(x)=-(sinx+cosx)<0,所以此函数在0,π2上是凸函数;对于B,由f(x)=lnx-2x,得f'(x)=1x-2,则f″(x)=-1x2,因为x∈0,π2,所以f″(x)=-1x2<0,所以此函数在0,π2上是凸函数;对于C,由f(x)=-x3+2x-1,得f'(x)=-3x2+2,则f″(x)=-6x,因为x∈0,π2,所以f″(x)=-6x<0,所以此函数在0,π2上是凸函数;对于D,由f(x)=-xe-x,得f'(x)=-e-x+xe-x,则f″(x)=e-x+e-x-xe-x=(2-x)e-x,因为12.14[解析]设f(x)=ax+1ex,则f'(x)=-ax+a-1ex,设切点为x0,ax0+1ex0,则f'(x0)=-ax0+a-1ex0,所以切线方程为y-ax0+1ex0=-ax0+a-1ex0(x-x013.2-12[解析]由题意得M(lnm,m),则圆心M在曲线y=ex上,又圆M的半径为12,故|PQ|的最小值等于|MQ|的最小值减去12.设Q(n,lnn),因为曲线y=ex与曲线y=lnx关于直线y=x对称,所以|MQ|的最小值等于Q到直线y=x的距离的最小值的2倍,由y=lnx,可得y'=1x,令1n=1,解得n=1,故曲线y=lnx在点Q(1,0)处的切线与直线y=x平行,此时Q(1,0)到直线y=x的距离最小,最小值为|1-0|1+1=22,故|MQ|的最小值为2214.解:因为f(x)=ax+sinx,所以f'(x)=a+cosx.因为函数f(x)=ax+sinx的图象上存在两条互相垂直的切线,所以不妨设在x=x1和x=x2处的切线互相垂直,则(a+cosx1)·(a+cosx2)=-1,即a2+(cosx1+cosx2)a+cosx1cosx2+1=0①.因为a的值一定存在,即方程①一定有解,所以Δ=(cosx1+cosx2)2-4(cosx1cosx2+1)≥0,即(cosx1-cosx2)2≥4,解得cosx1-cosx2≥2或cosx1-cosx2≤-2,又|cosx|≤1,所以有cosx1=1,cosx2=-1或cosx1=-1,cosx2=1,所以方程①变为a2=0,所以a=0.15.解:(1)因为f'(x)=6x2-3,所以f'(0)=-3,又f(0)=0,所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=-3x.(2)设切点为(x0,y0),则f'(x0)=6x02-3,所以切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0),将y0=2x03-3x0代入,整理可得y=3(2x又点P(-1,t)在切线上,所以t=-3(2x02-1)-4x03=-4x03-6要使过点P(-1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则方程(*)有3个解,令g(x)=-4x3-6x2+3,则g'(x)=-12x2-12x=-12x(x+1).令g'(x)>0,可得-1<x<0,所以g(x)在(-1,0)上单调递增;令g'(x)<0,可得x<-1或x>0,所以g(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递减.所以g(x)在x=-1处取得极小值,在x=0处取得极大值,又g(-1)=1,g(0)=3,所以1<t<3.16.ACD[解析]由题得k所以kx=lnx,即k=lnxx有两个根x1,x2.令f(x)=lnxx,则f'(x)=1-lnxx2,故当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)的极大值为f(e)=1e,又当0<x<1时,f(x)<0,当x>1时,f(x)>0,直线y=k与f(x)的图象有两个交点,所以0<k<1e,故A正确.易知曲线y=lnx在点M,N处的切线方程分别为y-lnx1=1x1(x-x1),y-lnx2=1x2(x-x2),由y-lnx1=1x1(x-x1),y-lnx2=1x2(x-x2),得lnx2-lnx1=xx1-xx2,解得x=lnx2-lnx1x2-x1x1x2,即x0=lnx2-lnx1x2-x1x1x2=x1x2lnx2-lnx1x2-x1,因为k=lnx2-lnx1x2-xx2x2lnx2-x1lnx1x2-x1=y0+1,故C正确.因为kx1=y1,所以lnk+lnx1=lny1,所以lnk+y1=lny1,同理得lnk+y2=lny2,则lny1-y1=lny2-y2,则y2-y117.63[解析]因为二次函数f(x)有两个不相等的零点b,c,所以设f(x)=a(x-b)(x-c)(a≠0),则f'(x)=a