大学生数学竞赛辅导材料

浙江省首届高等数学竞赛试题(2002.12.7)

计算题(每小题5分，共30分)

1-cosX

1.求极限lim--------—。

3(/_])卬+1)

求积分，D={(x,y)^-<x<2^<y<2](,

2.

3.设y=是方程y"+分，+hy=c/r的一个解，求常数兄bcJt。

4.设fM连续，且当X〉一1时，/(x)[「/⑺力+1]=,，求/(X)。

2(1+x)2

cI

5.设S„=Varctan—7，求limS..。

M2k-i

2003年浙江省高校生高等数学竞赛试题(2003.12.6)

一.计算题

7.求。

8.设，求。

9.求。

10.求。

浙江省高校生第三届高等数学竞赛试题

rxX

ecostdt-X----

..Ju2

I.计算:lim-------------~r。

(x-tanx)z(Vx+l-ij

•乃4+cosx.

2.计算:--------------ax.

。x?一万人+2()04

3.求函数/(兀)。=丁+4)3+15y在

0={(%刈4/+/《1}上的最大、小值。

4.计算:，其中。={(x,y)|—1KXK1,04”1}。

\-x

5.设/(x)=Cretan，求/仪0)。

14-X

天津市竞赛题

1.证明普和44署制.

2.设函数/(x)在闭区间[-2,2]上具有二阶导数，|/(幻区1,且

[/(0)]2+[/W=4,证明：存在一点火(-2⑵，使得/©+/*)=0.

3.(1)证明：当国充分小时，不等式OWuuFx-r&X4成立.

(2)设求limx.

X-W

4.计算lim卜—r+，卜-Jl+/J。5.设，求/⑸(0)。

6.对k的不同取值，分别探讨方程/一3匕,+1=0在区间(0,内)内根的个数。

7.设小Z?均为常数且。>-2,。工0,问m〃为何值时，有

「+82x2+bx+a.,fi/,，匕

—/---、-1dx=Inllx-tixo

J[_x(2x+a)J%'产

8.设卬2-12,a=Ja+12,〃=1,23…，证明：lima”存在并求其值。

lt+}¥ltn->»

9.设/(%)是区间[a,a+2]上的函数,且V1,夕⑸41,证明：夕⑸42,

xe[a,a+2]o

北京市竞赛试题(2008、2007、2006)

L设当I时'匕+:1-的等价无穷小则…一

，则/(1)=

2.设小)=容普荒湍

3.已知曲线产/(%)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为-1,则|则1+/。+；)丫=

jx+sin:x,

4.1imX—.c5.Ji-------------dx

"T91|~2(l+cosx)-

〃+一

k

6.设函数2=/(x,y)在点(0,1)的某邻域内可微，且/(x,y+l)=1+2X+3)，+，(Q),其中

p=M+/,则曲而z=/(X,)，)在点(0,1)处的切平面方程为.

7.直线彳=『=彳绕Z轴旋转的旋转曲面方科为.

8.设L为封闭曲线|x|+1x+川=1的正向一周，贝ij，/Vs-cos(x+y)dy=.

9.设向量场4=2Tbzi-x~y~zj-x2yz，则其散度divA在点”(1,1,2)处沿

方向，=｛22-1｝的方向导数刍(divA)|“=______.

cl

10.设产小+(1+幻/是二阶常系数线性微彷程V+ay'+/b，=*的一个特解则

a?+，+/=.

1.若Um—仇iOS?=?,则”________

—hi(l-2x)+c(l-e'x)

2.若.1二0,且当x=0时，z=siny：当y=0,z=siiix,贝Jz=.

cxcy'

?M+l

3.y——=__________

£加

4.设窖级数£>.(％+1)讨的收敛域为(-4.2),则塞级数£〃a“a-3)”的收敛区间为.

n»0M*0

5.jtdt^e^dx=.

0r

6.设》=14=".丁=2//=/+!都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方

7t

程为.

111»

7.设数列｛工｝满足：“sin---<xn<(〃+2)sin-----,则liin-----V4=____________.

w+1〃+118〃+1。

8.设/(x)在点工二0可导，且lim*：一Li,则/'(0)=_________.

I。C八,一1

1

9.设/(X)满足]7(6)刃=/(%)+八由工/(0)=0且有一阶导数，则当工工0时，<(x)=.

[ox=Q

2.设由y轴、y=x\y=a(0<a<l)所围的平面图形，由y=a、？=/、x=l所围的平面图形都

绕V轴旋转所得旋转体的体枳相等，则〃=.

rfij5(x)=—+^cosnzx,，其【I』

-M-l

an=2Jf(x)cosn^xdx.n=0.1.2.・・•,

o

9

则$(_；)=___________

4.设v=/(x)二阶可导，且它=(4一司/(£>0),若"八外的一个拐点是(x0.3).则

dx

6.[------,dx=+C.

J(l+x4)Vl+x4

:

jpj)dt

7.反/(X)具的一阶姓续导数,且/(。)=。./'(。)=1,则liinT--------

⑴力＞

8.设。为区域/+),2+/41'则”《■+£■+今叱

9.着可微函数/(x.y)对任意满足/(tv.))=//(x.y),4(1.-2.2)是曲面z=f(xj)上的一点,

且工'(1.-2)=4,则曲面在片处的切平面方程为.

10.设加21为正整数，q,是(1+X)”F中X”的系数，则.

二、设“X)在［0.1］上典疗二阶导数,且/(1)=/(0)=/(1)=/0=0,证明：存在；e(0.1),使得

/@=/()

1.我+扬=_____.其中。＞0,b＞0为常数，且a#LbwL

T2

2.若函数/⑴在x—处可导，口/'⑴=1,则地以①3㈣

…x

3.设不定枳分十八,+2杰的结果中不含反正切函数,则。=________

J(.v+l)(.r+l)

e”

4.limV

T白

n+ne"

5.函数"=yjx2+y2+z2在点〃(1.1.1)处沿曲面2z=x2+y'在点M'处的外法线方向〃的方向导数

cn

设山1/，2+3,­=2,则2力'(0.0)+/；(0.0)=

j丸厂+厂

3,数项级数t(-D”三二段的和5二

仁〃(2冷！

4设函数8(")可导且9(0)=1，二元函数z=0(x+y)e'满足f+f=0,则0(〃)=

excy

5.计算枳分/=J；dxJ：力J；cos2[-^(x+y+z)]rfz=

全国第一届预赛题

首届预赛

得分一、填空题(每小题5分，共20分).

赢「⑴"十"L

其中

JJ0—r—v

区域O由直线乂+“，=1与两坐标轴所用三角形区域.

(2)设/⑴是连续函数，满足/(x)=3.r2-j；/(x)<Zr-2,则

f(x)=-

2

(3)llllififz=^-+/-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是

(4)设函数)，=)，⑶由方程xe«')=e'In29确定，其中/具有二阶导数,

d2y

且/'41,则『=_____________________.

dx-

kirrr

1)求极限hmZ(l+-)sinr.

—0念〃厅

2)计算吗二+(二：。)3必,,其中£为卜.半球而::=-旧-炉…的上侧,。为大户0的

zy]x2+y2+z2

常数.

3)现要设计一个容积为P的一个圆柱体的容器.已知上下两底的材料费为单位面积。元，而侧面的

材料应为单位而枳b元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的口:径之比为何侪时所需我用最

少？

4)已,知/(X)在(H)内满足/'(X)二.31~厂，求/(X).

42sinx+cosx

二、求F列极限

an+hn+cn

(1)linn7[(l+-)w-e]；(2)lim其中a>O,b>0,c>0.

n—>x〃n—>®3

二、设/W在K=1点附近有定义，IL在x=l点可导，并已知/⑴=0./'(1)=2.求

../(sin2x+cosx)

x-*°x2+xtanx

其次届预赛

一(本题共5小题,每小题5分，共25分)、计克下列各题(要求写出重要步骤)

(1)设&=(1+。＞(1+02)…(1+。?*),其中求liniK”.

M-

(1

(2)求lime-'1+—.

X*Ix;

(3)设s＞0,求＞=『「/公(〃=1,2,…).

(4)设函数/(/)行二阶连续的导数，厂=乒了，gS，J')=/d)，求器+答.

rdx~dy~

(5)求直线人:[”一：=。与直线/,：三二二二二二的距离.

1z=0~4-2-1

其次届决赛

得分一、(本题共3小题，每小题各5分，共15分)计算卜.列各

评阅人题(要求写出重要步骤).

⑴hm(皿丫”

xiIx)

(2)limf—!―+---+…+——\:

n+2n+n)

⑶已知求答.

[y=/-arctane\dx

得分二、(本题10分)求方程

评阅人(2x+y-4)dr+(x+y-l)dy=0的通解.

得分__________三、(本题15分)设函数/(K)在x=0的某邻域内有二阶连

评阅人一

续导致，旦/(O),/(0),/")均不为零.证明：存在唯一

一组实数%.内木3，使得

V(/7)+kJQh)+kj(3h)-/(0)_

lrllliz-Un•

Xh2

第三届预赛

2

]11m(1+X)j2(11n(i+x))

X—0Y

2.iStaK=cos—cos—...cos—.求limo”.

3.求Jsgn(xy-l)公方，其中。={(x,y)|04xW2,0WyW2}

D

4.求寨级数宁斗的和函数，并求级数十三二的和

n-1/n-1/

第三届决赛

一、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)计算下列各题:

(I)

(2)lim[(x3+-x-tan—)ex-Vl+x6]

*-*+82x

⑶设函数/(x,y)有二阶连续偏导数，满意/:狐-2//乙+/；/»=0且

八，0,y=j(x,z)是由方程z=/(x,y)所确定的函数.求与当

ox~

(4)求不定积分/=J(1+x-g,""dx

(5)求曲面/+J?=以和z=2a-J/+y2(a>0)所围立体的表面积

「+8X

二、(本题13分)探讨1—a~“0.2也的敛散性,其中。是一个

cosx-\-xsinx

实常数.

三、(本题13分)设“X)在(-8,+8)上无穷次可微，并且满意:存在Af>0,使

得归M,Vxe(-oo,+oo),(4=1,2,…)，且，(〃=1,2,…)求证：在

(-8,+00)上，f(X)=0

四、(本题共16分，第1小题6分，第2小题10分)

设。为椭圆形面密度为p的均质薄板；/为通过椭网焦点(-c,0)(其

中，=/一/)垂直于薄板的旋转轴

1.求薄板。绕/旋转的转动惯量入

2.对于固定的转动惯量，探讨椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.

五、(本题12分)设连续可微函数z=/(x,y)由方程-yz)=0(其中

尸(〃,)=0有连续的偏导数)唯一确定，L为正向单位圆周.试求：

(xz2+2yz)dy-(2xz+)/)cbc

第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类，2012)

・、(本题共5小题，每小题各6分，共30分)解答卜.列各题

1

(1)求极限lim(加)了；

(2)求通过直线Z：I：'：；二：;；二；的两个相互垂直的平面石和公，使其中一个平面

过点(4,-3,1):

(3)已知函数z=〃(x.y)e8g,且~；■二-二0,确定常数〃和6,使函数二=二(*4)满足方

cxcy

d2z

dzdzA

程西不一豆+z=。：

(4)设函数〃=〃(x)连续可能，〃(2)=1,且j(x+2y)〃烝+(x+〃3)〃力在右半平面上与

L

路径无关，求〃6):

(5)求极限limVxp'1sinZdr.

x*J,S+cos,

二、(本题10分)

计算1n工体

三、(本题10分)

求方程/silll=2x-501的近似解，精确到0.001.

X

四、(本题12)

设函数p二/(X)二阶可导,且f\x)>0,/(0)=0/(0)=0.

求lim，其中〃是曲线^=/(x)上点尸(xj(x))处的切线在工轴上的截距.

XT。/(x)siii//

五、(本题12)

求最小实数C,使得对满足。/(刈小=1的连续的函数/(X),都有

六、(本题12)

设/(x)为连续函数，r>0,区域。是由抛物面z=F+./和球面./+/+/=/所围起

来的上半部分，定义三重积分臼y)=JJJ7(/+p2+z2)dj

第四届全国大学生数学竞赛决赛试题评分细则

（非数学类,2013）

一、（本题25分）简答下列各题

-Y

1、计算limln（xln。）In—,（6f>1）.

In—

_va）_

2.设/（〃，期）具有连续偏导数，且满足九（〃#）+£（〃e）=〃£求y（x）=eY"/（x,x）所满

9

足的一阶微分方程.并求其通解.

3.求在上的可微函数/（X）,使/（工）="«），其中〃二£7（7）d/.

4.计算不定枳分|xarctan.Yln（l+x2）dx.

5过直线图上『7作曲面婷+.y—=27的切平面,求此切平面的方程.

第五届全国高校生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）

1.求极限Hm(l+sin万01+4，/)

2.证明广义积分不是肯定收敛的

3.设函数y=y（力由x5+3x2y-2y=2确定，求），（x）的极值。

4.过曲线），=加（》N0）上的点A作切线，使该切线及曲线及x轴所围成的平

面图形的面积为3,求点A的坐标。

4

二、（满分12）计算定积分1=jxsinx.ar?ane%

J.1+COSX

2014年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案

一填空题（共有5小题.毋小题6分,共30分）

（1）已知=e“和=1。”是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是

（2）设有曲面S:二=x?+2/和平面工：2x+2.y+z=0,则与2平行的S的切平面方I1

（3）设函数y=y（x）由方程x=J："siif（弓）力所确定，;

(4)设x=\--------,则limx,=

意(k+1)!1

则11z

（5）已知粤1+X+m

IX'

二（本题满分12分）设〃为正整数.计算［=［；«,三cosIn，1||rfv.

三（本题满分14分）设函数“X）在［0・1］上有二阶导数,且有正常数d.B使得|/（x）|《a.

证明：对任意xe［0」,W|/r（x）|^2J+y.

专项练习题

一.求极限

1.lim(a.h>0)2.1im(a,b,c>0)

"->002x->0<a+/7+c

3.4.+bn-2)

5.lim(sinln(x+1)—sinInx)

(1+tanx)'°-(1-sinx)'°2

6.lim1-------L--------」io.limsin(W/2+n]

.r—>0sinx

lim(1+1)(1+

…(1+—

11r)

.222

12.则击1-")…"J)

1£《+3攵+1

13lim£i4.v1imE----------

…"(Z+l)(攵+2)f念伏+2)!

15lin?35…(2-

e246…2〃

1ci

16.设西，。均为正数,xH1=-（x+—），求lim.r

乙人n

17.设6=4,。向=&T6.求也pa.

x+2

18.设其>0,x,=-...，求hmx.

,川x+1…n

n

/-1

19.lim------,,20.,

3-1-cosJx-sinx

1arcsinx、