专项突破：一次函数与四边形的综合问题（B测试）（解析版）

专题一次函数与四边形的综合问题目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、一次函数与平行四边形的综合问题 1题型二、一次函数与矩形的综合问题 11题型三、一次函数与菱形的综合问题 19题型四、一次函数与正方形的综合问题 29B综合攻坚・能力跃升一、单选题1．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（

）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分．A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒【答案】D【分析】连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，然后计算出过点且平行于直线的直线解析式即可；本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键．【详解】解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，设直线的解析式为，∵直线平行于，∴，∴，将点代入，解得，∴直线的解析式为，∴直线要向下平移个单位，∴时间为秒，故选：D．2．（24-25八年级下·广东珠海·期末）如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题通过分析直线平移过程中与矩形边的相交情况，结合函数图象获取关键信息，进而求出矩形的边长，最终计算出矩形的面积．【详解】由图象可知，当时，，此时直线平移后过点，图②中点时，直线平移后过点；点时，直线平移后过点，当时，，此时直线平移后过点，如图①，∴当时，平移后的解析式为，令，则，即，当从变化到时，直线从点平移到点，∴，∵直线从点平移到点，从变化到时，∴，∴，故选：D．二、填空题3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在菱形中，点的坐标为，点的纵坐标为，直线的表达式为，交轴于点，若，则菱形的面积为_______【答案】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得和的长是解题的关键．连接交于点，根据菱形的性质得出直线，且，，即可求得直线的解析式为，进而求得的坐标，从而求得的坐标以及的长，把的坐标代入，求得的值，即可求得的坐标，根据勾股定理求得，根据，即可得到，然后根据菱形的面积公式即可求得．【详解】解：连接交于点，如图所示．四边形是菱形，直线，且，，∵直线的表达式为，直线与平行，又与垂直，∴与平行，设直线的解析式为，点的坐标为，直线的解析式为，点的纵坐标为2，把代入得，，∴把的坐标代入得，，解得，直线为，，，，，，，菱形的面积为，故答案为：．4．（2026·辽宁·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______．【答案】【分析】根据正方形性质得出点C和点A的坐标，进而确定直线的解析式；根据作图痕迹判断为的角平分线；根据平移性质得出四边形是平行四边形，进而判断出，根据平移得出直线的解析式，进而即可求解．【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形，点B坐标为，∴，，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，∴，由平移得，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，由作图知为的角平分线，∴，∴，∴，由题意知，直线向下平移4个单位长度得到，∴直线的解析式为，设，则，解得，∴点的坐标为．三、解答题5．（25-26九年级下·广东中山·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动．(1)求点B的坐标．(2)求对角线所在直线的解析式．(3)设动点P的运动时间为t秒，连接的面积为S，请用含t的式子表示S；(4)当时，直线上是否存在点N，使．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)y(3)(4)存在，或【分析】（1）由点A坐标可得，，由勾股定理可得，根据菱形的性质可得边长为10，据此即可求解；（2）利用待定系数法求直线解析式即可；（3）分两种情形：如图中，时，如图中，时，分别求解即可；（4）根据题意可得，过点N作轴交于点Q，求出，结合面积得到即可．【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴；（2）解：设直线的解析式为，把代入得：，解得，∴直线的解析式为：；（3）解：连接，如图中，当时，∵对角线交y轴于点M，∴，∴，∴，∴，如图中，当时，∵，∴，又，∴在中，，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴综上所述，；（4）存在点N，如图4所示：当时，点P在上运动，∴，∵，∴，过点N作轴交于点Q，设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，设，∴，∴解得：，∴N点的坐标为或．6．（25-26八年级下·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，动点的坐标为，若直线的图象与平行四边形有且只有两个公共点，则称直线是平行四边形的“双优直线”．(1)若的坐标为，则直线与轴的交点坐标为___________；(2)点在直线上运动，①当时，若直线是平行四边形的“双优直线”，请直接写出的取值范围；②若直线恒是平行四边形的“双优直线”，请直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)①或；②【分析】（1）先推导出直线，求出当时，x的值，即可解答；（2）①先推导出点，直线，得到直线过定点，令点为，作直线，求出直线的解析式为，与轴的交点为，直线的解析式为，与轴的交点为，分类讨论：第一种情况：当或时，第二种情况：当且时，第三种情况：当或时，逐个分析求解即可；②先推导出直线的解析式为，直线，且过定点，分类讨论：第一种情况：当时，当时，第二种情况：当或时，第三种情况：当时，逐个分析求解即可．【详解】（1）解：，直线，当时，，解得，直线与轴的交点坐标为；（2）解：①当时，点在直线上运动，，则点，直线，当时，，直线过定点，令点为，作直线，如图设直线的解析式，将、分别代入，得，解得，直线的解析式为，当时，，直线与轴的交点为，同理可得直线的解析式为，与轴的交点为，由图可知，当或时，直线与平行四边形只有1个交点，不符合题意，当且时，直线与平行四边形没有交点，当或时，直线与平行四边形有2个交点，综上所述，或．②由①同理可得，直线的解析式为，当时，，点在直线上，，则直线，令，则，直线过定点，如图第一种情况：当时，∵，∴直线l∶过定点，且不与边重合，则直线l∶与平行四边形始终有2个交点，符合题意；当时，存在，直线l∶与边重合，与平行四边形有无数个交点，不符合题意；第二种情况：当或时，连接点B与，此时直线l与平行四边形只有1个交点，不符合题意；第三种情况：当时，定点在平行四边形的内部，此时直线与平行四边形总有2个交点，即直线恒是平行四边形的“双优直线”，综上所述，．7．（24-25八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中：已知正方形，其中，，，，，为该正方形外两点，给出如下定义：平移线段得到线段，使点，分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合分别为点，的对应点，线段或长度的最大值称为线段到正方形的“平移距离”．(1)如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段，则这两条线段的位置关系是______；______(填或)的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”；(2)直线：与轴、轴交于点、，点、为线段上两点，求到正方形的“平移距离”的最大值．(3)若点，直接写出到正方形的“平移距离”的最小值：__________．【答案】(1)平行；(2)(3)【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理求两点距离，理解新定义是解题的关键；（1）根据平移的性质结合定义即可求解；（2）点、为线段上两点，要使得最大，则在上，而到轴的距离为，则，根据解析式可得过定点，过点作轴于点，则，根据，得出重合，进而勾股定理求得的长，即可求解；（3）根据题意要使得最小，则离点最近，则当和重合时，最小，勾股定理，即可求解．【详解】（1）解：根据平移的性质可得分别与平行，∴，根据图形可得，则的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”故答案为：平行；．（2）解：当时，∴直线过定点，当时，解得：∴根据（1）可得平移后的位置有2个，∵点、为线段上两点，要使得最大，则在上，而到轴的距离为，则，∴，如图，过点作轴于点，则，∴，在中，又∵，则重合，在中，，，∴，平移后的对应线段为，即最大距离为，在中，，∴，（3）解：∵，要使得最小，则离点最近，如图，当和重合时，最小，此时线段与正方形的边重合，符合题意，此时故答案为：．8．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）定义在平面直角坐标系中，对于任意的三个点，，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且，，三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点，，的覆盖矩形．在点，，的所有覆盖矩形中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点，，的最佳覆盖矩形．示例

如图1，矩形，矩形都是点，，的覆盖矩形，矩形是点，，的最佳覆盖矩形．探究

如图2，已知，，动点．(1)若，，则点，，的最佳覆盖矩形的周长为_____，面积为_____；(2)若，点，，的最佳覆盖矩形的面积为30，求的值；(3)若动点经过，且每增加1时减小2，设点，，的最佳覆盖矩形的面积为．①直接写出与之间的函数关系式；②当时，直接写出关于的函数关系式；③当点，，的最佳覆盖矩形为正方形时，直接写出点的坐标；【答案】(1)18；18；(2)6或(3)①；②；③或【分析】（1）利用坐标极差法，求出三点横、纵坐标的最值，作差得到矩形长、宽，代入周长、面积公式计算；（2）先确定横坐标极差，结合面积公式逆向求出纵向宽度，分类讨论动点纵坐标的最值情况，列方程求解；（3）①利用待定系数法，结合定点坐标与变量变化规律，求一次函数解析式；②根据的取值范围确定水平边长和与水平边垂直的边长，分段列出面积函数关系式；③根据正方形边长相等的性质，分区间讨论边长表达式，列方程求解并舍去不合理解．【详解】（1）解：，，最佳覆盖矩形的长为，宽为，周长为，面积为；（2）解：，，最佳覆盖矩形的长为，矩形的面积为，矩形的宽为，矩形的宽由纵坐标的最大值与最小值的差决定，纵坐标分别是，，，当为最大值时，宽为，，解得，当为最小值时，宽为，，解得，的值为或；（3）解：①设把代入，每增加1时减小2，，；②，，当