23.4 实际问题与一次函数（第2课时）教学设计

2/223.4实际问题与一次函数（第2课时）教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课是在学习了一次函数的有关知识后，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，学习建立一次函数模型解决方案选择问题的方法。2.

内容分析本节课是一次函数应用的进阶课时，聚焦方案选择类实际问题，以分段函数、多方案对比为核心，通过建立一次函数模型，结合解析式、图象、方程与不等式进行最优方案判断，是函数应用与数形结合、分类讨论思想的综合体现。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：建立一次函数模型解决方案选择问题。二、目标和目标解析1.

目标（1）能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。（2）经历建立一次函数模型选择解决方案的过程，培养模型观念和应用意识。2.

目标解析（1）能从方案选择类实际问题中提取变量，列出一次函数（含分段）解析式，借助函数图象、性质、方程、不等式完成方案比较与选择。（2）完整经历“实际问题→建模→分析→决策”的过程，形成用函数解决最优选择问题的思维方式，强化模型观念与应用意识。三、教学问题诊断分析存在问题：1.

学生难以将多方案转化为对应的函数关系，不会用方程、不等式找分界点进行方案比较。2.对分段函数的方案选择、图象对比分析能力薄弱，容易忽略自变量取值范围

。应对策略：引导学生“一设变量、二列解析式、三找交点、四分区间比较”，规范解题步骤。强化数形结合，用图象直观展示函数值的大小关系，突破分段与分界点难点。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：建立一次函数模型解决方案选择问题。四、教学过程设计（一）复习引入运用一次函数解决实际问题的过程：做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的.在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数.设计意图：回顾一次函数解决实际问题的流程，点明“方案选择”的生活必要性，自然引出本节课核心任务，衔接旧知、激发探究欲。（二）合作探究探究1下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准.选取哪种年卡套餐能节省游泳费用?分析：设年游泳x次，则套餐A，B，C的游泳费用y1，y2，y3都是x的函数，在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1800元，因此，y3=1800（x≥0）.若能得到y1，y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1，y2，y3的大小，从而对年卡套餐作出选择.在套餐A中，考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式y1=600化简，得y1=600这个函数的图象如图所示.类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式y2=1200，0≤在图中画出y2，y3的图象.结合函数图象与解析式，可知：当年游泳次数不超过35次时，选择套餐A能节省游泳费用；当年游泳次数不少于35次，不超过65次时，选择套餐B能节省游泳费用；当年游泳次数不少于65次时，选择套餐C能节省游泳费用.设计意图：以游泳馆年卡套餐为载体，让学生亲历多方案分段函数建模、图象绘制、交点分析、区间决策的全过程，掌握方案选择的基本方法。（三）典例分析例某公司要印制产品宣传材料.甲印刷厂的收费方案是：收1500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费.(1)分别写出两家印刷厂的收费y(单位：元)关于印制宣传材料数量x(单位：份)的函数解析式；(2)选择哪家印刷厂比较合算?解：(1)由题意得，甲印刷厂的收费为：y甲=x+1500，乙印刷厂的收费为：y乙=2.5x．(2)方法1：①当y甲<y乙时，x+1500<2.5x，解得：x>1000.②当y甲=y乙时，x+1500=2.5x，解得：x=1000.③当y甲>y乙时，x+1500>2.5x，解得：x<1000.综上所述，当0<x<1000时，乙印刷厂比较合算；当x=1000时，甲、乙印刷厂一样合算；当x>1000时，甲印刷厂比较合算.(2)方法2：在同一平面直角坐标系中画出y甲、y乙的图象：两个函数的图象交于点(1000，2500)，结合函数图象可得：当0<x<1000时，y甲>y乙，乙印刷厂比较合算；当x=1000时，y甲=y乙，甲、乙印刷厂一样合算；当x>1000时，y甲<y乙，甲印刷厂比较合算.设计意图：通过印刷费用对比问题，示范“解析式→方程→不等式→图象”双解法，规范最优方案解题格式，提升代数与几何结合分析能力。（四）巩固练习练习甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度ym与挖掘时间xh之间的函数关系如图所示，请根据(1)甲队在开挖后6小时内，每小时挖___10_____m；(2)当2≤x≤6时，求y乙(3)请直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．解：（2）设乙队在2≤x≤6的时段内y乙与x之间的函数关系式为y由题图可知，函数图象过点2,30，6,50，∴解得k∴当2≤x≤6时，y乙与x（3）当0≤x设y乙与x的函数关系式为y乙=可得2m=30，解得m=15设甲队在0≤x≤6的时段内y甲与x之间的函数关系式为y由题图可知，函数图象过点6,60，∴6k1=60∴y当0≤x≤2时，15x当2<x≤6时，5x+20-10x∴开挖1h或3h或5h后，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．设计意图：结合工程问题图象，训练学生由图象定解析式、分类讨论求差值，强化读图、建模、计算的综合应用能力。归纳总结

（六）感受中考1．（2024年山东济南）某公司生产了A,B两款新能源电动汽车．如图，l1,l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量ykW⋅h与汽车行驶路程xkm的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，2．（2023年湖北鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以a m/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min(1)a=_____12______，b=___(2)请分别求出y1，y2与(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？解：（2）由（1）可得y1与y2函数图象的交点坐标为设y1=k将20,30分别代入可得：30=20k1解得：k1=1，∴y1=x（3）由题意可得y1-y当y1-y2=5当y2-y1=5∴当上升10min或30min时，两个气球的海拔竖直高度差为5m．3．（2023年内蒙古）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：A厂家：一律打8折出售．B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数①分别求出y1，y2与②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？解：（1）设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为a+10元2000解得a=40经检验：a=40是原分式方程的解∴a+10=50答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元．（2）①y1=40×80%x=32x当0≤x≤25且x当x>25且x为整数时，∴y②当x>25且x为整数，y1=y2时由图象可知