2025黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题(解析版)

二〇二五年齐齐哈尔市初中学业水平考试数学试卷请考生留意：1．本场考试总时长为120分钟2．本试卷由三道大题组成，满分为120分。3．请使用答题卡的考生将相关答案填在答题卡上所标注的指定区域内。一、单项选择题（每题仅有一个正确选项，每小题3分，共30分）1.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（）A.元B.元C.元D.元【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反意义量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据题意，收入与支出为相反意义的量，若收入记为正，则支出应记为负．【详解】解：收入元记作元，支出元记作元．正确选项为：B。2.为了维护良好的社会秩序，社会规则的建立至关重要，我们应当认知并自觉遵守。在下列给出的标志中，属于中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【解析】本题旨在考察对中心对称图形定义的理解。判断一个图形是否为中心对称图形，关键在于寻找其对称中心，并验证该图形在绕此中心旋转180°后能否与原图完全重合。通过运用中心对称图形的相关定义，对给出的各项进行分析与判定，即可得出正确答案。【解析】解：选项A不符合中心对称图形的定义，因此该项不正确；B.该图形不具备中心对称特性，因此此项不正确；C、该图形不具备中心对称特性，因此此项不正确；D．该图形具有中心对称特性，因此本项正确。故选D．3.下面哪个计算结果是正确的（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【解析】本题旨在考查对积的乘方、同底数幂除法、单项式乘法以及完全平方公式的掌握程度。解题的核心在于熟练运用相关的运算定律。通过依次运用积的乘方、同底数幂除法、单项式乘法和完全平方公式进行逐步计算，即可得出判断结果。【详解】解：A.，故选项计算正确，符合题意；B.，故选项计算错误，不符合题意；C.，故选项计算错误，不符合题意；D.，故选项计算错误，不符合题意；正确答案为：A。4.将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案．【详细解析】解答如下：观察图示，，，，，故选：C5.在实际生产中，为了能够完整地展现一个物体的几何形状，通常需要通过多个视图来描述该物体在不同方向上的形态。请观察下图，其中飞机的俯视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【解析】本题旨在考察三视图的相关概念。其中，俯视图是指从物体的正上方观察所得到的投影图。可以通过分析俯视图的成像原理来判定正确选项。【详解】解：从上面看下来，看到图形是，即为俯视图，故选A．6.如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（）A.B.C.或D.且【答案】C【解析】【解析】本题旨在考察分式方程无解的判定。分式方程出现无解的情况通常分为两类：一是计算出的解为增根，二是化简后的整式方程本身无解。因此，应先对原方程进行化简，随后针对这两种具体情形分别讨论$m$的取值即可。【详解】解：方程去分母，得：，整理，得：；该方程不存在解，整式方程无解，则：，解得：；分式方程有增根，则：，解得：；把代入，得：，解得：；综上：或故选C．7.假设鸟卵孵化出的雏鸟为雌性或雄性的概率均等。若有2枚鸟卵均顺利孵化，则这两只雏鸟全部为雄鸟的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【解析】本题旨在考查利用列举法计算概率。设定两枚鸟卵均顺利孵化出雏鸟A和B，通过列出所有可能的样本空间，确定两只雏鸟均为雄性的结果数量，进而根据概率计算公式得出答案。【详解】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，所有可能的结果为：AB两只雏鸟都是雄鸟，两只雏鸟都是雌鸟，A雏鸟是雄鸟B雏鸟是雌鸟，A雏鸟是雌鸟B雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为；因此，正确选项为：D。8.为庆祝第十个中国航天日并响应神舟二十号发射的契机，学校旨在培养青少年对宇宙探索的向往，特组织900名师生前往航空科技馆参观。此次出行计划租赁两种型号的客车，分别为45座和60座（两种车型均需租用）。若要求所有师生均有座且车辆全部满载，则可能的租车方案为（）A.3类

B.4类

C.5类

D.6类【答案】B【解析】【解析】本题旨在考察二元一次方程的求解。通过设定租用45座客车的数量为x辆，60座客车的数量为y辆，依据题目给出的条件建立方程组并寻找正整数解，从而计算出满足要求的方案总数。【详细解析】解答：假设租赁的45座客车数量为x辆，60座客车数量为y辆，由题意得：，，已知$x$与$y$均属于正整数集，当时，；当时，；当时，；当时，．共有4组符合条件的正整数解，分别代表了4种不同的租车方案。故选B．9.如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解．【详解】解：当点E在上时，如图，，，，，，，此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项；当点E在上且l与相交时，作，如图，，，，，，，此时图象为直线一部分；当点E在上且l与相交时，如图，，，，，，，此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项；故选A．【核心解析】本题旨在考察关于菱形内动点的综合应用，涉及直角三角形的求解、勾股定理的运用，以及一次函数与二次函数的图像特征及其性质。解题的核心在于能够根据动点所处不同阶段，准确推导出变量$y$与$x$之间对应的函数解析式。10.如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：；；；若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（）A.2

B.3

C.4

D.5【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断和，根据函数图象判断，将一般式写成交点式得出，化简不等式为，求得解集，即可求解．【详细解析】解答：该抛物线的开口方向朝上，，对称轴在轴的右侧，，，抛物线与轴交于负半轴，，，故正确，二次函数的图象过，，二次函数的图象与轴交于两点，，且．对称轴，即，，，，故正确；，，，故错误；如图，关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标，，若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故正确；二次函数的图象与轴交于两点，，，，，，，可化为，即，，，解得：或，关于的不等式的解集为或不是故错误因此，正确选项共有3个。故选：B二、填空题（每题3分，共21分）11.中国年水资源总量约为亿，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将用科学记数法表示为__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：将数据用科学记数法表示为；故答案为：．12.若代数式有意义，则实数的取值范围是__________．【答案】且【解析】【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案．【详解】解：代数式有意义，且，且．故答案为：且．13.若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为__________度．【结果】160【解析】【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是，母线长为即侧面展开图的扇形的半径长是．根据弧长公式即可计算．【详解】解：根据弧长的公式得到：，解得．

即侧面展开图的圆心角为160度．因此，最终结果是：160。14.如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：连接，由作图可知，垂直平分，，点N恰为的中点，，，，，是等边三角形，，，，，，．故答案为：．15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______．【答案】【解析】【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值．【详解】解：当时，，解得，点B的坐标为，点C坐标为，，设点A坐标为，，，，解得（不合题意，舍去），点A坐标为，，解得，故答案为：16.等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为__________．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，分为锐角和钝角两种情况讨论求解：当为锐角时求出，，由折叠得，可求得，过点作于点，证明，可求出，可求出，根据可得结论；当为钝角时，过点作于点，得出，可求出，，从而可得．【详解】解：当为锐角时，如图，根据题意得，，设，则，，，即，解得，，，由折叠得，；，过点作于点，则，，，即，，；当钝角时，如图，过点作于点，则，，同（1）可得，，，同理可得；综上所述，的面积为或．故答案为：或．17.利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．分别求出，，，得出，根据题意得出第2025条弧上与原点的距离最小的点为，求出，根据，，，，得出，然后求出结果即可．【详解】解：根据题意可知：，，，，，点，，作弧为第1条弧，点，，作弧为第2条弧，，组成第2025条弧，第2025条弧上与原点的距离最小的点为，，，，，，，,每经过12次操作完成一个循环，，，过点作轴于点M，如图所示：，，，，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为．故答案为：．三、综合解答题（共包含7道大题，总分69分）18.（1）计算：（2）分解因式：【答案】（1）；（2）【解析】【解析】（1）首先求出特殊角的三角函数值，随后依次进行二次根式的乘法运算、负整数指数幂的计算以及绝对值的处理，最后完成加减法运算即可。（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【核心考点】本题重点考察了因式分解、二次根式的综合运算、负整数指数幂的计算以及绝对值的相关性质，同时涉及特殊角的三角函数值求解。解题的关键在于熟练运用因式分解技巧，并精准掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值及特殊角三角函数值的运算规则。19.解方程：【答案】，【解析】【解析】本题的核心在于求解一元二次方程。解题步骤为：先将各项移至等号一侧，随后利用因式分解法求出方程的解。【详解】解：，，，或，，20.为响应国家卫生健康委员会将2025年设为“体重管理年”并启动三年体重管理行动的号召，某学校拟面向全体学生开展多样化的体育活动，准备组建足球、排球、篮球及羽毛球四个球类运动社团。为了精准掌握学生对这四项运动的偏好程度，学校随机选取了一部分学生开展关于“最喜爱的球类运动项目”的问卷调查（要求每位学生在四个项目中仅能选择一项）。通过对收集到的样本数据进行汇总分析，绘制出了如下两幅不完整的统计图表。请结合上述材料，回答以下问题：（1）填空：__________；（2）请将该条形统计图绘制完整；（3）在扇形统计图里，代表足球的扇形其圆心角度数为__________度；（4）若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？【答案】（1）24（2）详见解析部分（3）（4）共计960人【解析】【解析】本题旨在考察学生对扇形统计图与条形统计图之间关系的理解，以及利用样本量推估总体数量的知识点。解题的关键在于深入理解题目含义并确保计算精准。（1）首先计算随机抽取的学生总数，随后统计该样本组中热爱篮球运动的学生所占的比例即可；（2）请计算在随机抽取的学生样本中，最青睐篮球运动的人数，并据此完善统计图表。（3）用乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生数的百分比即可得到答案；（4）通过将该校学生的总人数与样本中偏好篮球运动的学生所占的百分比相乘，即可计算出结果。【第一小问详细解析】解：随机抽取部分学生的总人数为（人），，即，故答案为：【第二小问详细解析】随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人），补全条形统计图如下：【小问3详解】足球对应扇形的圆心角为，故答案为：【第4小问详细解析】（人）答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人．21.如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．（1）求证：是的切线；（2）若点B是的中点，且，求的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】【解析】本题旨在考察圆周角定理的应用、切线的判定准则以及直角三角形的求解。解题的核心在于能够灵活运用相关几何定理并熟练掌握切线的判定方法。（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证；（2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果．【第一小问详细解析】证明：连接，是的直径，，，，，即，．为的半径，是的切线．【小问2详解】解：点B是的中点，．，．，．又，．．在中．．即半径为．22.在2025年春晚的舞台上，机器人表演生动地展现了现代科技与传统民族文化的深度结合。为了激发学生的探索精神与求知欲，某学校开展了“机器人走进校园”的科技活动，现场气氛热烈。在校园内一条笔直的勤学路上，分别设有A、B、C三个互动区域。机器人甲与机器人乙分别从A区和C区同时出发。机器人甲以20米/分的速度匀速向B区移动，到达B区后停留4.5分钟与师生互动，随后再次匀速向C区前进。与此同时，机器人乙以10米/分的速度匀速向B区移动，到达B区后立即接到指令原路返回，最终两台机器人同时抵达C区。已知机器人甲、乙距离B区的距离$y$（米）与机器人乙运行的时间$x$（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息回答以下问题：（1）A，C两区相距__________米，__________；（2）求线段所在直线的函数解析式；（3）当机器人甲与机器人乙之间的距离为30米时，机器人乙已经行进了多少分钟？（请直接给出答案）【答案】（1）（2）（3）分值为7分、11分或13分【解析】【解析】该题目旨在测试学生对一次函数实际应用的掌握程度，以及通过函数图像提取关键信息的能力。能否灵活运用一次函数的相关知识是顺利解题的核心。（1）通过分析图表，可以直接计算出A区与C区相隔的距离，随后结合甲的运动状态即可求得a的值；（2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解；（3）根据题目给出的条件，可以将问题分为三种不同的情形，分别进行计算求解。【第一小问详细解析】解：由题意可得，A，C两区相距为（米），由题意可知，表示甲到达B区的时间，则，故答案为：【第二小问详细解析】根据题目条件可以得出，点E代表机器人乙在勤学路上以每分钟10米的恒定速度行驶至B区。点E的横坐标为，，设直线的解析式为，把，代入得到，，解得：，线段所在直线的函数解析式为：；【第三小问详细解析】当机器人乙行驶了x分钟时，甲、乙两机均尚未进入B区，此时两者的距离为30米。则，解得，即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米；当机器人乙运行至t分钟时由B点折返，在机器人甲依然处于B区停留的这段时间内，两者的距离为30米。则，解得，即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米；当机器人乙行驶了n分钟后，正处于从B点返回的途中；此时，甲已离开B区并向C区移动，两者的距离为30米。当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到，，解得：，线段所在直线的函数解析式为：；则，解得，即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米；由此可以得出，当机器人乙运行的时间分别为7分钟、11分钟或13分钟时，机器人甲与机器人乙之间的距离恰好为30米。23.综合应用与实践操作在研究几何图形的演变时，我们可以借助直观的猜想、严谨的逻辑推演以及有效的归纳总结来构建典型的几何模型。通过灵活运用这些模型，许多复杂问题都能迎刃而解，让我们一起感受几何模型所蕴含的数学美感。（1）【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________；（2）【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形；（3）【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________；（4）【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________．【答案】（1）相等（或）；相等（或）（2）见解析（3）（4）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可证明，根据全等三角形的性质，即可求解；（2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明，得出，结合，即可得证；（3）同（2）的方法证明，得出四边形是矩形，连接交于点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出共圆，勾股定理求得，，进而解，求得，再证明，根据正弦的定义，得出，即可求解．（4）连接交于点，证明得出，当时，取得最小值，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【第一小问详细解析】；将线段绕点逆时针旋转得到线段，，，，即又，；故答案为：相等（或）；相等（或）．【第二小问详细解析】证明：四边形是正方形，绕点逆时针旋转得到线段，，即，四边形是矩形又四边形是正方形；【第三小问详细解析】解：绕点逆时针旋转得到线段，，四边形是矩形，，，，，即四边形是矩形，如图，连接交于点，连接是的中点，在中，共圆，，，在中，，中，，又，即故答案为：．【第4小问详细解析】解：如图，连接交于点，四边形是矩形，，，，是等边三角形，则线段绕点逆时针旋转得到线段，，，即又，在上运动，且当时，取得最小值，又当时，故答案为：．【核心考点】本题综合考察了正方形与矩形的特性、旋转变换的规律、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及相似三角形的相关结论。同时，还涉及直角三角形斜边中线定理（斜边中线等于斜边一半）、同弧圆周角相等以及直角三角形的求解方法。深入理解并灵活运用上述知识点是顺利完成本题的关键。24.综合实践与探究活动如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．（1）请推导并写出该抛物线的方程；（2）点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标；（3）点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________；（4）如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），