2025山东省中考数学真题试卷(解析版)

2025年初中学业水平考试数学试题本套试卷总计8页，总分为120分，答题时间为120分钟。考试完毕后，请将试卷与答题卡一同上交。请提供需要的试题内容。1．在正式答题之前，请考生确保将个人姓名及准考证号等信息准确填写在试卷和答题卡的相应区域。2．在处理选择题时，确定每道题的正确选项后，请使用2B铅笔将答题卡中相应的选项序号涂满。若需修改，请先用橡皮将原涂抹区域擦除干净，再涂黑新的选项。在作答非选择题时，请统一使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡指定区域书写答案。所有写在试卷上的非选择题答案均不予计分。一、单项选择题：本部分包含10道题目，每题3分，总分30分。每道题仅有一个正确选项。1.如图，数轴上表示的点是（）A.M

B.N

C.P

D.Q【答案】A【解析】【解析】本题的核心考点在于数轴的性质，准确判定数轴上各数值所对应的位置是顺利解题的关键。观察数轴得到表示的点即可．【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M．因此，正确选项为：A。2.在以下给出的图形中，能够同时满足轴对称和中心对称条件的图形是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．只需对照中心对称图形与轴对称图形的定义，依次对各项进行判定即可。【解析】解：A项。该图形具备轴对称特性，但并不满足中心对称的条件，因此不符合题目要求；B．该图形既具备轴对称特性，又具备中心对称特性，满足题目要求；C．该图形具有轴对称性，但并不具备中心对称的特性，因此与题目要求不符；D．该图形具备轴对称特性，但并不满足中心对称条件，因此与题目要求不符。因此，正确选项为：B。3.我国研发的深蓝2号大型智能深海养殖网箱，其主体结构呈现为正六棱柱形状，该结构的主视图是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键．可以通过分析主视图即从正面观察到的图形来得出答案。【详细解析】解答：依据三视图的相关定义可以推断，该正六棱柱所对应的主视图为．正确选项为：C。4.山东省凭借其深厚的人文底蕴与壮丽的自然景观，吸引了全球游客。统计数据显示，2024年全省接待游客总量突破9亿人次。若将数据“9亿”转化为科学记数法，结果为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．将9亿写成其中，n为整数的形式即可．【详解】解：9亿．故选C．5.已知，则下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【解析】本道题目重点考察了同底数幂除法、幂的乘方以及合并同类项等核心知识点，熟练运用相关的运算定律是顺利解题的关键。根据合并同类项、幂乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答．【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意；B．，故该选项正确，符合题意；C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意；D．，故该选项错误，不符合题意．正确选项为：B。6.某班级组织学生前往山东省博物馆开展研学实践。馆方提供了三款以镇馆之宝（亚丑钺、蛋壳黑陶杯、颂簋）为原型的文创产品，每位学生随机选取其中一件作为纪念品。假设抽到每款产品的概率均等，试求甲、乙两名同学均抽到亚丑钺的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【解析】此题的核心在于通过列表法计算概率。解题的关键在于依据题目条件准确列出所有可能的样本空间，并统计出满足特定条件的事件数。首先通过列表法来明确所有可能的等概率结果总数以及满足题目条件的特定结果数，随后利用概率计算公式得出最终结果。【详细解析】解答：将三件镇馆之宝——亚丑钺、蛋壳黑陶杯以及颂簋依次设定为A、B、C三个变量：请提供需要的具体试题内容，我将立即为您开始处理。

ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到亚醜钺的结果数为1，则甲、乙两位同学同时抽到亚醜钺的概率是．故选A．7.明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个哪吒夜叉问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（）A.B.C.D.【正确选项】D【解析】【解析】本题的核心在于考察一元二次方程组的实际应用。解题的关键在于准确理解题目含义，通过寻找正确的等量关系来构建方程。设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系共有36个头和108只手列出二元一次方程组即可解答．【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个，然后根据题意可得：．故选D．8.在中国传统文化里，玉璧象征着宇宙的无垠与秩序，常被用来比喻君子修身与齐家的精神。现有一块玉璧的平面结构图如图所示，它由一个正方形的内切圆与外接圆共同构成。若已知该内切圆的半径为2，则求出图中阴影区域的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【解析】本道题目重点考察了关于正方形的内切圆与外切圆的相关性质，以及勾股定理的应用。在解题过程中，灵活运用数形结合的思想是突破本题的关键。如图：连接相交于O，由正方形内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可．【详解】解：如图：连接相交于O，已知一个正方形的内切圆半径为2，，，，，图中阴影部分的面积是．故选D．9.如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【解析】该题旨在考察正方形的几何特性、坐标系与图形的关系，以及反比例函数与不等式的综合应用。解题的核心在于灵活运用数形结合的思想。由题意可设点B的坐标为，易得，即点B的坐标为，再结合反比例函数图象即可解答．【详解】解：四边形是面积为4的正方形，设点B的坐标为，，解得：（已舍弃负值）．点B的坐标为，函数的图象经过点，满足的的取值范围为．故选A．10.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（）A.当时，随的增大而减小B.当时，有最大值C.当时，D.当时，【答案】B【解析】【解析】本题旨在考察学生对二次函数图像特性的理解以及二次函数与不等式相关知识的运用，解题的核心在于灵活运用数形结合的思想。根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意；C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意；D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．故选B．二、填空题：本部分包含5道小题，每题3分，总计15分。11.写出使分式有意义的的一个值______．【答案】1（非唯一解）【解析】【解析】本题的核心考点在于分式的定义域（有意义的条件）。解题的关键在于明确分母不能为零这一基本前提。首先需通过分式有意义的条件来限定x的取值范围，在此基础上，进一步推导出x可能取到的具体数值。【详解】解：分式有意义，，解得：．的取值可以为．因此，结果为：1（非唯一解）。12.在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了点平移，掌握平移规律左减右加，上加下减是解题的关键．可以通过直接应用平移规律，采用“上加下减”的方法来求解。【详解】解：将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是，即，故答案为：．13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，，解得：；故答案为：．14.取直线上一点，过点作轴的垂线，交于点；过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标．【详解】解：点的坐标为，点的横坐标为1，点的坐标为，点的纵坐标为1，点的坐标为，同理点的横坐标为，点的坐标为，点的坐标为，每四个点构成一个循环，余1，点的坐标与点相同，是，故答案为：．【解析】本题旨在考查一次函数图像中点的坐标规律及勾股定理的应用。解题的核心在于准确理解题目要求，通过运用一次函数的相关性质并结合数形结合的分析方法得出结论。15.如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是______．【答案】【解析】【解析】本题的核心考点为平行四边形的特性以及垂线段最短的原理。解题的关键在于灵活运用平行四边形对角线互相平分的性质。由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答．【详解】解：在中，，，，，如图，设与交于点O，过O作于点，，四边形是平行四边形，、当线段长最小，则线段的长最小，由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小；，，解得：．线段长最小为．故答案为：．三、综合解答题：本部分包含8道小题，总分75分。在作答时，请务必提供详细的文字阐述、完整的证明逻辑或具体的计算步骤。16.（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）2；（2），4【解析】【解析】本题旨在考察关于实数的综合运算能力，重点在于分式的化简与数值计算。（1）利用零指数的定义以及算术平方根的相关性质，通过直接计算即可得出结果；（2）首先计算分式加减法以处理括号中的内容，接着通过乘法运算完成化简，最后将字母的具体数值代入其中求得结果。【详解】解：（1）；（2）；当时，原式．17.在中，，，的平分线交于点．如图1．（1）求的度数；（2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长．【答案】（1）；（2）．【解析】【解析】本题旨在考察学生对三角形外角定理、垂直平分线的构建及其特性的掌握情况，同时涉及直角三角形的求解以及全等三角形的判定与性质。解题的核心在于能够灵活地综合运用上述相关知识点来攻克问题。（1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可；（2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可．【第一小问详细解析】解：，，，是的平分线，，；【第二小问详细解析】解：由作图知是线段的垂直平分线，，，，，，，，，，，．18.为推动能源向绿色低碳方向转型，山东省积极探索并实践以“储调绿”为核心的转型模式。当地根据实际需求，修建了一个圆柱状的蓄水池，利用蓄水发电技术在电力低谷时蓄能、高峰时释能，从而为能源转型提供支持。假设在开始注水之前，蓄水池内的初始水位为5米，在注水过程中，水位每小时增加6米。（1）请建立一个数学模型，用以表示在本次注水操作中，蓄水池的水位高度$y$（单位：米）与注水所用时间$x$（单位：小时）之间的函数关系式；（2）已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？【答案】（1）（2）注水5小时可供发电万千瓦时．【解析】【解析】本题旨在考察学生对一次函数及一元一次方程实际应用的掌握情况。解题的核心在于能否准确地构建函数表达式并列出相应的方程。（1）蓄水池的当前水位高度可表示为：注水前的水位高度与（每小时水位上升高度$\times$注水时长）之和。基于这一逻辑，即可构建相应的函数关系式；（2）利用y与x之间的函数关系，结合给定的已知条件，建立一个关于x的一元一次方程并计算出x的值。【第一小问详细解析】解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式．【第二小问详细解析】解：根据题意，得，解得．答：注水5小时可供发电万千瓦时．19.在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析．【数据的采集】甲基地水体的值数据：7.27,7.28,7.34,7.35,7.36,7.51,7.53,7.67,7.67,7.67,7.67,7.81,7.81,7.88,7.91,8.01,8.02,8.03,8.07,8.16,8.17,8.23,8.26,8.26。乙基地水体的值数据：7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．整理数据】

甲25773乙429a2【数据的描述】【数据分析】

平均数众数中位数方差甲7.79b7.810.10乙7.787.77c0.13请结合上述材料，完成以下问题的解答：（1）请完善该频数分布直方图；（2）填空：______，______；（3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由；（4）已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求．【答案】（1）见解析（2）；（3）甲基地水体的值更稳定，理由见详解；（4）甲项满足条件，而乙项不满足条件。【解析】【解析】本小题主要测试学生对直方图与统计表格的理解，以及关于众数、中位数和方差等统计量相关知识的掌握情况。（1）首先计算出参数a的具体数值，从而能够完整地绘制出频数分布直方图；（2）直接利用中位数与众数的定义进行计算即可；（3）直接利用方差的定义及其物理意义进行计算即可；（4）计算值最大值与最小值的差即可求解．【第一小问详细解析】解：根据题意得，请完善如图所示的频数分布直方图；；【第二小问详细解析】解：甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，则；乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81：则；故答案为：；；【第三小问详细解析】解：甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，，甲基地水体的值更稳定；【第4小题详细解析】解：甲基地对水体值的日变化量：，乙基地对水体值的日变化量：，该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求．20.如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线．（1）求证：为的切线；（2）若的半径为2，，求的长．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【解析】本题主要考察了关于切线的判定方法、等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理的相关知识点。（1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线；（2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可．【第一小问详细解析】证明：，，，，是的平分线，，，即且为半径，为的切线；【第二小问详细解析】解：，又，等腰直角三角形，的半径为2，，，．21.【情境分析】2025年5月29日，“天问二号”探测器顺利升空，标志着人类在小行星伴飞及采样探测领域迈出了新的一步。受此启发，某学校的航天兴趣小组尝试打造了一个航天器模型，其部分组件通过3D打印技术实现，具体结构如图1所示。【议题引入】部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求．【方案规划】兴趣小组在参考相关文献的基础上，设计并提出了钢柱测量法。实验器材：游标卡尺，以及若干根底面半径一致的钢制圆柱体。操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度．【解决问题】已知，的长度要求是．（1）求的度数；（2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：）【对结果进行反思】（3）在本次实践操作中，利用圆柱体将无法直接测量的长度转换为了可测量的长度。请问是否可以用其他的几何体来替代圆柱？若可行，请举例说明一个；若不可行，请给出具体理由。【答案】（1）；（2）该部件的长度符合要求；（3）见解析【解析】【解析】本题旨在考查切线长定理的运用以及直角三角形的解法。（1）利用切线长定理进行计算即可得出结果；（2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可；（3）可以，将圆柱体替换为正方体。【详解】解：（1）分别与，相切于点，，，；（2）钢柱的底面圆半径为，，，，，，同理，，，该部件的长度符合要求；（3）可以，将圆柱体替换为正方体。请参考下图：设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度．，，，，．22.已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．（1）当、时，求此函数图象的对称轴；（2）当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；（3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）（3）【解析】【解析】本题的核心在于考察二次函数的特性以及因式分解的实际运用。解题的关键在于能否灵活地运用二次函数的相关性质。（1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答；（2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答；（3）先求出，然后代入进行求解即可．【第一小问详细解析】解：当、时，二