北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由并集的定义可知，.故选：B.2.复数的共轭复数为，则（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】因为的共轭复数为，所以，所以，故选：C.3.直线经过圆的圆心，则的值为（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4【答案】B【解析】由题意知，，代入直线方程，得，解得.故选：B.4.在的展开式中存在常数项，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】二项式的通项公式为：，化简得，要存在常数项，需满足的指数为0，即，因为，且，所以必须是的正整数倍.取时，.故选：A.5.双曲线的实轴长为2，且双曲线经过点，则该双曲线的方程可以为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，双曲线的实轴长为2，则，即，当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以，无解；当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以，解得，则双曲线的方程为.故选：D.6.已知点，点，当变化时，的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】已知点和点，根据两点间距离公式可得：，故当时，.故选：A.7.已知非零向量满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：已知，，代入，得，若，则，因此，充分性成立.必要性：，因为是非零向量，所以，必要性成立.综上，是的充要条件.故选：C.8.在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（）A.点可以在点处B.点在底面上的轨迹为线段C.点的轨迹是直角三角形D.直线与点的轨迹所在平面相交【答案】D【解析】根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，令，则，，，，,,设点，故，，由于，则，即；对于选项，当在时，，，故选项正确；对于选项，当在底面时，，即，则，由于，故在底面上的轨迹是，与中点连线所在的线段，故选项正确；对于选项，由前两项的分析可知，，在上符合题意，故，连接，，面，则三角形就是的轨迹，由于，，，故，则三角形为直角三角形，故选项正确；对于选项，三角形就是的轨迹，且面，则为面的法向量，由于，，故面，且直线上没有点在平面内，故面，故选项错误；故选：.9.若函数满足对任意的，都有，则可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，由，则，而，当时，，，此时，故A错误；对于B，由，则，而，设，当时，令，，则，函数开口向下，对称轴为，所以时，，则，即，满足，故B正确；对于C，由，则，而，当时，，，此时，故C错误；对于D，由，则，而，当时，，，此时，故D错误.故选：B.10.已知数列满足，对任意成立.数列为周期数列，即存在，使得对任意成立，给出下列两个结论：①对任意，存在，使得为递增数列；②对任意，存在，使得为等差数列；则下列判断正确的是（）A.①②都正确 B.①正确，②错误C.①②都错误 D.①错误，②正确【答案】D【解析】对于①，不妨取，因为数列为周期数列，即存在，使得对任意成立，所以，此时数列不是递增数列，①错；对于②，因为，则，令，则，则数列为常数列，不妨设，即，所以数列的奇数项和偶数项分别成公差为的等差数列，当为奇数时，设，可得，则，当为偶数时，设，可得，则，不妨取，则，显然对任意的，，即数列是周期为的周期数列，此时，即为等差数列，故对任意，存在，使得为等差数列，②对.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知等比数列的前项和为，且，则__________.【答案】【解析】因为，所以或（舍去），所以，故答案为：.12.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，则的坐标为__________；点在上，且，则__________.【答案】；3【解析】由为抛物线的焦点，则的坐标为，由可得：的横坐标为，代入抛物线可得：，即可得的纵坐标为，所以，故答案为：；3.13.在中，是边上的中线，且，的面积为，则__________，__________.【答案】2；【解析】因为是边上的中线，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以，故答案为：.14.已知函数，①若关于的方程恰好有一个解，则的一个取值为________；②若关于的方程恰好有三个解，则的取值范围为___________.【答案】2（答案不唯一）；【解析】作函数图象，如图，由图象可知，当或时，方程恰好有一个解，故可取（答案不唯一）；因为过定点，在同一平面直角坐标系内作的图象，如图，由图象可知，当时，方程恰好有三个解.故答案为：2（答案不唯一）；.15.已知曲线，给出以下四个结论：①曲线是轴对称图形；②曲线不经过整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积；④曲线与直线有公共点.其中所有正确结论的序号是________________.【答案】①③【解析】对于①，设为曲线上任意一点，则，又因为关于的对称点为，且，所以在曲线上，所以曲线关于的对称，所以曲线是轴对称图形，故①正确；对于②，因为，所以点在曲线上，故②错误；对于③，设曲线与轴正半轴交点为，与轴负半轴交点为，设曲线，易知曲线与曲线关于轴对称，所以曲线过交点，设曲线与轴负半轴交点为，设直线与曲线和曲线在第二象限的交点分别为，，于是可得，即，下面分析的大小，若，则，所以，所以或，即或，显然均不成立，故；若，则，所以，所以，所以，所以，所以或，即或，显然与矛盾，故不成立；若，则，所以，所以，所以，所以，所以且，即且，显然与可以同时满足，故成立，所以曲线在第二象限的面积小于曲线在第二象限的面积，进而可知曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积，故③正确；对于④，联立，消去得，因为，所以方程无根，所以曲线与直线无公共点，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，为锐角，.（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的周长.条件①：；条件②：；条件③：.解：（1）在中，由正弦定理，所以，因为，所以，又，所以，因为为锐角，所以；（2）选择条件①：，由（1）得，所以，由余弦定理，得，所以（舍），的周长为.选择条件③：，由余弦定理，得，所以，所以，所以，的周长为.选择条件②：，由（1）得.由正弦定理得：，此时三角形不存在.17.如图，在五面体中，底面为正方形，，=，为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面所成角的余弦值.解：（1）证明：方法一：连接，与相交于点，连接，因底面为正方形，则为中点，又为中点，，因为，所以，所以四边形为平行四边形，故.又因为平面，平面，所以平面.方法二：取中点，连接，在中，为中点，为中点，所以为中位线，所以，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以平面，又因为平面，所以平面.（2）解：因为，为中点，所以，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，所以，又，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，，故可取，又因为，平面，所以平面，平面，，又因为平面，所以平面，所以平面的一个法向量可取为，设平面与平面所成角为，所以，所以平面与平面所成角的余弦值为.18.某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表：小组所需专用服务器台数11121314151617月数11231841B小组所需专用服务器台数681012141618月数12611622为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器.假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立，用频率估计概率.（1）估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率；（2）若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记.估计的数学期望；（3）经公司讨论，有以下三种备选租赁方案：方案一：，；方案二：，；方案三：，.在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器，特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记.在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明）解：（1）根据题中数据，在30个月的数据中，小组所需专用服务器不超过14台的月数为，故小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率可估计为；（2）由题意知，当时，随机变量的所有可能取值集合为，根据题中数据，由（1）知可估计为，可估计为，可估计为，可估计为，因为，所以可估计为；（3）方案三的数学期望最小.提示：对于小组，当时，由（2）知；当时，，所以；当时，，所以；对于小组，当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.综上，方案一：，，此时；方案二：，，此时；方案三：，，此时.因为，所以方案三的数学期望最小.19.已知椭圆：的左顶点为，请从下面条件中任选两个作为已知.条件①：椭圆的离心率为；条件②：椭圆经过点；条件③：点到椭圆的左焦点的距离为1.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆的另一个交点为，与轴交于点.过点作的垂线交直线于点.若是等腰直角三角形，求的斜率.解：（1）选择条件①和②：因为椭圆的离心率为，所以，即.因为椭圆经过点，所以，解得.又，所以，解得，所以.所以椭圆的方程为.选择条件①和③：因为椭圆的离心率为，所以，即.因为点到椭圆的左焦点的距离为1，所以，即，解得，所以.又，所以.所以椭圆的方程为.选择条件②和③：因为椭圆经过点，所以，解得.因为点到椭圆的左焦点的距离为1，所以，即.又，所以，即，所以，.所以椭圆的方程为.（2），设直线的方程为，，，.由，得，，所以，因为，所以.又，，所以.因为，，所以.因为是等腰直角三角形，所以，即，整理得.当时，整理得，解得；当时，整理得，解得；所以直线的斜率为或.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距；（2）若函数在上单调递增，求的值；（3）若函数在处取得极小值，求的取值范围.解：（1）当时，当时，，所以，又，曲线在点处的切线为，令，得，曲线在点处的切线在轴上的截距为17.（2）因为函数在处连续，所以在上单调递增等价于在和上单调递增，因为，当时，恒成立，所以，所以，当，恒成立，所以所以，所以的值是0.（3）当时，根据（2）函数无极值点，不合题意，当时，令，得到（舍）所以的变化情况如下表：0+0-无定义+极大值极小值因为，所以，当时，令，即，得到（舍）所以的变化情况如下表：0+无定义-0+极大值极小值所以，所以，综上，当时，，当时，.21.对有穷数列，用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换，将数列变换成数列.对有穷数列，，令数列.若=，则称为阶完美数列.（1）写出所有的2阶完美数列；（2）若数列为3阶完美数列，求集合的元素个数；（3）是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由.解：（1）2阶完美数列有4个，分别为；；；.（2）设；；.依题意，，不妨设，则，即，