2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z在复平面内对应的点为(−2,1)，则复数5z的共轭复数为(

)A.−2−i B.−2+i C.2−i D.2+i2.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则四边形ABCD的周长为(

)A.8+23+6

B.8+23.下列说法中，正确的为(

)A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥

C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa+cosBb=A.13 B.3 C.1 5.某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔OP的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的A，B(A,B与该信号塔的塔底O在同一水平面上)两个测量点：从A点观测该信号塔塔顶P的仰角为30°，从B点观测该信号塔塔顶P的仰角为45°，且cos∠ABP=24，则这座信号塔的高度A.403米 B.402米 C.40米6.瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为(

)A.556π

B.900π

C.732π

D.588π7.如图，在△ABC中，CE=2EA，CD=DB，F为AD与BE的交点，且CA⋅CB=3，则向量CFA.6 B.1 C.2 D.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a+b+c)(b+c−a)=3bc，5cosB−8cosC8c−5b=cosAa，且△ABC的面积S=10A.64 B.84 C.−69 D.−89二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于复数的四个命题正确的是(

)A.若|z|=2，则z⋅z−=4

B.若z(2+i3)=3+i，则z的共轭复数的虚部为1

C.若|z+1−i|=1，则|z−1−i|的最大值为3

D.10.菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为C14H10，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不在一条直线上，菲的分子结构图如图1所示(图中的三个正六边形在同一平面内)，将菲的分子结构图中的14个C原子分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，如图2所示，则A.〈AB,BC〉=2π3 B.AB11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosCcosB+sinCsinB=2aA.若点G是△ABC的重心，则△ABG的面积为32

B.b≥6

C.cosA+cosB+cosC的最小值为32

D.若点O是△ABC的外心，且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为

．13.在梯形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，AB=2CD=3，AD=2，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则CE⋅CF的最小值为______．14.如图，在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=23sinAsinBsinC，在△ABC外取点D，且DB=2，DC=4，则A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(−1,3)，b=(1,−2)，c=a+2b，d=a+b．

(1)求向量c与d的夹角；

(2)若c16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，①2bcosA=ccosA+acosC；②asinB=3bcosA；③cosC+(cosB−3sinB)cosA=0．

(1)求角A的大小；

(2)设△ABC面积为S，且4S=b+c，17.(本小题15分)

已知m=(3sinx,−cosx)，n=(cosx,cosx)，f(x)=m⋅n，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=12．

(1)若b=1，c=2，AD为角A的平分线，且交BC于点D，求AD的长；

(2)若△ABC的面积为23，E为BC18.(本小题17分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC．

(1)求角A的大小；

(2)若B=π4，△ABC的面积S=3+32，求a边的长；

(3)如图，作AB⊥BE(A,E位于直线BC19.(本小题17分)

如图，设Ox，Oy是平面内相交成α(0<α<π)的两条射线，e1，e2分别为Ox，Oy同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系α−xOy中的坐标，记为OP=(x,y)．

(1)在斜坐标系π3−xOy中，OM=(6,5)，求|OM|；

(2)在斜坐标系α−xOy中，OP=(2,1)，OQ=(1,−1)，且OP与OQ的夹角θ=π3．

①求α；

②A，B分别在射线Ox

参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.C

6.D

7.A

8.C

9.AC

10.BD

11.ABD

12.213.15414.π15.解：(1)由a=(−1,3)，b=(1,−2)，

可得c=a+2b=(−1,3)+2(1,−2)=(1,−1)，d=a+b=(−1,3)+(1,−2)=(0,1)，

所以cos〈c,d〉=c⋅d|c||d|=1×0+(−1)×112+(−1)202+11=−22，

因为<c,d>∈[0,π]，

所以<c,d>=3π4；

(2)由a=(−1,3)，b=(1,−2)，

可得a−λb=(−1,3)−λ(1,−2)=(−1−λ,3+2λ)，

由(1)得c=(1,−1)，

所以c⋅(a−λb)=1x(−1−λ)+(−1)x(3+2k)=−4−3λ=0，

解得λ=−43；

(3)由(2)得a−λb=(−1−λ,3+2λ)，

所以|a−λb|=(−1−λ)2+(3+2λ)2=5λ2+14λ+10，

当λ=−75时，|a−λb|的最小值为55．

16.解：(1)若选①：2bcosA=ccosA+acosC，

由正弦定理得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)，

又sin(A+C)=sinB，所以2sinBcosA=sinB，

又sinB>0，所以2cosA=1，即cosA=12，

又0<A<π，所以A=π3；

若选②：asinB=3bcosA，

由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosA，

又sinB>0，所以sinA=3cosA，即tanA=3，

又0<A<π，所以A=π3；

若选③：cosC+(cosB−3sinB)cosA=0，

−cos(A+B)+(cosB−3sinB)cosA=0，

sinAsinB−cosAcosB+cosAcosB−3sinBcosA=0，

即sinAsinB−3sinBcosA=0，

又sinB>0，所以sinA−3cosA=0，即tanA=3，

又0<A<π，所以A=π3；

(2)由bcosC+ccosB=6，

可得b×b2+a2−c22ab+c×c2+a2−b22ac=6，

解得a=18.解：(1)由题意得(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，

根据正弦定理可得：(b−c)2=a2−bc⇒b2+c2−a2=bc，

根据余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc=12，即A=π3；

(2)∵S=12bcsinA=12bc×32=3+32，

则bc=2(3+1)，

由正弦定理得，bc=sinBsinC=222+64=3−1，

∴b=2，

由正弦定理可得，a=bsinAsinB=2×3222=6；

(3)设∠ABC=θ，则∠CBD=π2−θ，∠BDC=θ+π4，

在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC=BDsin∠BCD，

可得，BC=BDsin∠BDCsin∠BCD=2sin(θ+π4)sinπ4=2sin(θ+π4)，

在ABC中，由正弦定理得：ACsinθ=BCsinA，

∴AC=BC⋅sinθsinA=2sin(θ+π4)sinθsinπ3=43sin(θ+π4)sinθ=43(22sinθ+22cosθ)sinθ

=43(22sin2