初中数学九年级下册《直线与圆的位置关系及切线性质》单元教学设计

初中数学九年级下册《直线与圆的位置关系及切线性质》单元教学设计

  一、单元整体概述与设计理念

  本单元教学设计以北师大版初中数学九年级下册第三章《圆》的第六节为核心内容进行重构与深化。圆作为最基本的几何图形之一，与直线的位置关系是平面几何知识体系中的关键节点，它不仅是前期点与圆位置关系的自然延伸，更是后续学习圆与多边形、正多边形与圆、弧长与扇形面积等知识的逻辑基础，在初中几何教学中起着承上启下的枢纽作用。从学科本质来看，直线和圆的位置关系是解析几何中二次曲线与直线关系的雏形，其研究范式——通过量化特征（圆心到直线的距离d与半径r的比较）来刻画定性关系（相交、相切、相离）——深刻体现了数学中“数形结合”与“化归”的核心思想。切线的性质与判定定理，则是几何论证与计算中应用极为广泛的工具，是连接“形”的直观与“数”的严谨的典范。

  本设计秉持“素养导向、学生中心、深度理解”的教学理念，超越对知识点的碎片化传授，致力于构建一个结构化、情境化、探究式的学习历程。我们将本单元内容整合为一个连贯的主题单元，强调从现实世界抽象出数学问题，通过数学活动探究数学原理，最终将数学结论应用于解释和解决实际问题，完整地经历“现实情境—数学抽象—模型建构—推理验证—应用拓展”的数学化过程。设计中特别注重发展学生的几何直观、逻辑推理、数学抽象和数学建模等核心素养，通过信息技术赋能、跨学科关联（如物理学中的光学反射、工程学中的位置设计）以及多元化、层次化的任务驱动，引导学生在自主探索与合作交流中达成对知识本质的深刻理解，并形成可迁移的数学思维能力和问题解决能力。

  二、学情深度分析

  教学对象为九年级下学期学生。从知识储备看，学生已经系统学习了圆的基本概念（定义、弦、弧、圆心角、圆周角）、点与圆的位置关系，以及三角形全等与相似、勾股定理、轴对称图形等核心几何知识，具备了进行本单元学习所需的认知基础。从能力发展看，九年级学生已初步具备观察、猜想、归纳等探究能力，以及一定的逻辑推理和演绎证明能力，但将实际问题抽象为数学模型的能力、复杂几何图形中的综合分析能力以及严谨的代数与几何综合运用能力仍有待提升。

  从认知心理与学习障碍预分析，学生可能面临的困难主要包括：第一，从“点与圆”的静态关系到“线与圆”的动态关系的思维跃迁存在挑战；第二，对切线的“唯一公共点”这一双重性（既是位置关系，又是特殊的数量关系）的理解易停留于表象；第三，在运用切线性质定理和判定定理时，容易混淆条件与结论，或在复杂图形中识别不出基本模型；第四，从几何直观猜想过渡到严格的演绎证明，书写规范性和逻辑严密性仍需强化。此外，面对中考复习的压力，学生可能更关注解题套路而非知识生成过程。因此，教学设计需通过创设生动直观的情境、设计循序渐进的探究阶梯、提供丰富的变式训练以及渗透数学思想方法，来激发内在动机、化解认知难点、促进深度学习。

  三、单元教学目标

  基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对本部分内容的要求，结合学科核心素养的培养指向，制定如下三维教学目标：

  （一）知识与技能目标

  1.能够准确识别并表述直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）。

  2.掌握直线与圆位置关系的数量化判定方法：通过比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系（d>r，d=r，d<r），来精确判断位置关系。

  3.理解切线的定义，掌握切线的两个核心性质定理：（1）圆的切线垂直于过切点的半径；（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

  4.掌握切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。并能灵活运用该定理进行切线的证明。

  5.能够综合运用直线与圆位置关系的知识、切线的性质与判定定理，解决与切线相关的计算、证明及简单应用问题。

  （二）过程与方法目标

  1.经历从实际情境和动态演示中抽象出直线与圆位置关系的过程，体会“数形结合”思想方法在几何研究中的强大作用。

  2.通过动手操作（如折纸、画图）、合作探究、猜想验证等活动，发展观察、实验、归纳、类比等合情推理能力。

  3.在探索切线性质与判定定理的过程中，经历“观察猜想—操作验证—推理论证”的完整数学探究流程，提升严谨的逻辑推理和演绎证明能力。

  4.在解决综合问题的过程中，学会分析复杂图形，分解基本模型，运用代数方程解决几何计算问题，提升综合分析与问题解决能力。

  （三）情感态度与价值观目标

  1.通过感受直线与圆位置关系在自然界（如日出日落）、日常生活和现代科技中的广泛存在，体会数学的实用价值和美学价值，增强学习数学的兴趣和应用意识。

  2.在探究活动中体验成功的喜悦和克服困难的毅力，培养合作交流、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

  3.感悟数学知识之间的内在联系（如与点圆关系、三角形知识、对称性的联系），形成系统的知识网络观和结构化的思维方式。

  四、教学重点与难点

  教学重点：直线与圆位置关系的数量化判定；切线的性质定理（特别是垂直于过切点的半径）及其应用；切线的判定定理及其应用。

  教学难点：切线的判定定理的灵活运用，特别是在复杂图形中准确添加辅助线（连接圆心和切点）的意识与能力；综合运用切线性质、判定以及其他几何知识解决较为复杂的问题，实现代数与几何的融会贯通。

  五、教学策略与方法

  1.情境创设法：利用多媒体动画（如太阳从地平线升起）、实物演示（转动的车轮与地面、用直尺靠近圆形纸片）创设生动、直观的问题情境，激发探究欲望。

  2.探究发现法：设计系列化的探究任务，引导学生通过观察、操作、测量、猜想、验证等环节，自主“发现”直线与圆位置关系的判定方法及切线的性质，变被动接受为主动建构。

  3.启发讲授法：在关键概念的形成、定理的严谨证明、思想方法的提炼处，教师进行精讲点拨，确保知识的科学性和思维的深刻性。

  4.合作学习法：组织小组讨论、合作探究，鼓励学生交流想法、碰撞思维，共同攻克难点，培养团队协作精神。

  5.变式训练法：设计由易到难、层层递进的例题和练习，通过图形变式、条件变式、结论变式等，深化对知识本质的理解，提升灵活应用和举一反三的能力。

  6.信息技术融合法：充分利用动态几何软件（如GeoGebra）进行实时演示和互动探究，让抽象的位置关系动态可视化，让定量的d与r关系实时可测，极大地增强几何直观，突破思维难点。

  六、教学资源与工具准备

  教师准备：多媒体课件（含动画、GeoGebra交互课件）、圆形纸片、直尺、三角板、激光笔（模拟光线）、教学用圆规。

  学生准备：每人圆形纸片若干、直尺、三角板、量角器、圆规、练习本。小组准备：安装有GeoGebra软件的平板电脑或笔记本电脑（可选，用于深度探究）。

  七、单元教学整体安排

  本单元计划用时4课时完成。

  第一课时：探究直线与圆的三种位置关系及其数量化判定。

  第二课时：探究切线的性质定理（垂直于半径、切线长定理）。

  第三课时：探究切线的判定定理及其初步应用。

  第四课时：直线与圆位置关系及切线性质的综合应用与问题解决。

  八、教学实施过程详案

  第一课时：直线与圆的位置关系——从形到数的跨越

  （一）情境导入，提出问题（预计用时：8分钟）

  教师播放一段精心剪辑的短视频：清晨，太阳从海平面缓缓升起的过程（动画突出太阳圆形轮廓与海平线的关系）；公园里，小朋友滚动一个圆形呼啦圈，呼啦圈与地面接触的瞬间；工程师用水平仪检查圆形桥墩与基准线的位置关系。

  师：同学们，在这些生动的生活场景中，隐藏着一个共同的几何图形关系，你发现了吗？

  引导学生回答：都涉及到一个圆和一条直线。

  师：非常好！那么，一个圆和一条直线在平面上可能存在哪些不同的相对位置关系呢？我们能否像研究“点与圆的位置关系”那样，找到一种精确的数学方法来判断和刻画这些关系？这就是我们今天要共同探索的课题。

  （二）操作探究，归纳定义（预计用时：12分钟）

  活动一：“纸与尺”的对话。

  任务：学生手持一个圆形纸片代表圆O，用直尺的一条边代表直线l。在练习本上固定圆O，缓慢移动直尺，观察并画出直线与圆可能出现的所有不同的公共点个数情况。

  学生动手操作，教师巡视指导。随后请学生代表上台展示并描述他们观察到的三种情况：

  情况A：直线与圆没有公共点。

  情况B：直线与圆有且只有一个公共点。

  情况C：直线与圆有两个公共点。

  教师引导学生类比点与圆的位置关系，共同归纳并命名这三种情况：

  当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。

  当直线与圆有且只有一个公共点时，称直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

  当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。

  （板书：三种位置关系：相离、相切、相交；相关概念：切线、切点、割线）

  （三）深入探究，建立模型（预计用时：15分钟）

  活动二：从“形”的定性到“数”的定量。

  师：我们仅凭公共点的个数就能判断位置关系，但这是一种定性的描述。数学追求精确。回想一下，我们如何精确判断点与圆的位置关系？

  生：比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小。

  师：那么，对于直线和圆，是否也存在一个关键的“距离”量，可以与半径比较来判定位置关系呢？这个距离应该是谁到谁的距离？

  引导学生思考并得出：圆心到直线的距离。

  教师利用GeoGebra软件制作动态交互课件：一个固定半径的圆和一条可平移、可旋转的直线。软件实时显示圆心O到直线l的距离d（用垂线段OH表示，H为垂足）和圆的半径r的数值。

  探究任务：请同学们拖动直线，观察在三种不同位置关系下，垂线段OH的长度（即d）与半径r的数值大小关系有何规律？小组合作，记录观察结果。

  学生分组利用课件进行探究，热烈讨论。教师巡视，点拨学生注意观察相切时垂足H与切点的位置关系。

  各小组汇报发现：

  当直线与圆相离时，d>r。

  当直线与圆相切时，d=r，并且垂足H恰好就是切点！

  当直线与圆相交时，d<r。

  教师对学生的发现给予高度肯定，并引导学生进行严格的几何论证（以相切为例）：若d=r，则垂足H在圆上。因为OH⊥l于H，且OH=r，所以直线l上除H点外的任意一点到圆心O的距离都大于r（直角三角形斜边大于直角边），故直线l与圆O只有一个公共点H，因此l是⊙O的切线。反之，若l是⊙O的切线，切点为H，连接OH，根据切线的定义（唯一公共点），可证OH⊥l，且OH=r。从而完善结论。

  （板书核心判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：

  直线l与⊙O相离⇔d>r；

  直线l与⊙O相切⇔d=r；

  直线l与⊙O相交⇔d<r。）

  强调“⇔”符号表示等价关系，既可以由位置关系推数量关系，也可以由数量关系判位置关系，这是数形结合的完美体现。

  （四）典例精析，初步应用（预计用时：8分钟）

  例1：已知⊙O的半径为5cm，根据下列条件判断直线l与⊙O的位置关系：

  (1)圆心O到直线l的距离为4cm；

  (2)圆心O到直线l的距离为5cm；

  (3)圆心O到直线l的距离为6cm。

  （学生口答，巩固直接应用）

  例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。以点C为圆心，r为半径画圆。当r为何值时，⊙C与直线AB：（1）相交？（2）相切？（3）相离？

  教师引导学生分析：欲判断⊙C与直线AB的位置关系，关键是求圆心C到直线AB的距离d，即斜边AB上的高。先由勾股定理求AB=10cm，再由面积法求d=(AC×BC)/AB=4.8cm。然后比较r与4.8的大小即可得出结论。

  本题将判定方法融入具体几何图形中，需要学生综合运用勾股定理、面积法求高，体现了知识的初步综合。

  （五）课堂小结，布置作业（预计用时：2分钟）

  小结：引导学生从知识（三种位置关系、判定方法）、方法（从公共点数定性到比较d与r定量、数形结合）、思想（转化、模型思想）三个层面回顾本节课收获。

  作业：

  1.基础题：教材对应练习题。

  2.思考题：生活中还有哪些直线与圆位置关系的实例？尝试用今天所学的数量关系进行解释。

  3.预习题：圆的切线有哪些特殊的性质？如何准确画出一条圆的切线？

  第二课时：切线的性质探究——垂直与等长的奥秘

  （一）温故引新，聚焦切线（预计用时：5分钟）

  师：上节课我们认识了圆的“亲密伙伴”——切线。它和圆“保持距离，恰到好处”（只有一个公共点）。这个特殊的伙伴，身上一定有一些特殊的性质等待我们去发现。首先，请回顾：当直线l是⊙O的切线，切点为H时，圆心O到直线l的距离d与半径r有何关系？垂足在哪里？

  生：d=r，垂足就是切点H。

  师：这意味着什么？用几何语言如何描述？

  引导学生得出：连接圆心O与切点H，则OH是圆心到切线的距离，且OH⊥l。

  （板书猜想1：圆的切线垂直于过切点的半径。）

  （二）实验验证，推理论证（预计用时：12分钟）

  活动一：验证垂直性质。

  任务：请同学们在纸上画一个⊙O及其切线l（切点为H），用三角板或量角器验证OH与l是否垂直。你能用所学的几何知识证明这个猜想吗？

  学生动手画图、测量，直观感受垂直关系。教师引导学生进行反证法证明：

  已知：直线l是⊙O的切线，H为切点。

  求证：OH⊥l。

  证明：假设OH与l不垂直，过点O作OM⊥l于M。

  则OM<OH（垂线段最短）。

  因为H在圆上，所以OH=r。

  所以OM<r。

  根据上节课的判定，d=OM<r⇒直线l与⊙O相交。

  这与已知l是切线（只有一个公共点H）矛盾。

  所以假设不成立，故OH⊥l。

  师生共同总结：切线的性质定理1：圆的切线垂直于过切点的半径。

  （板书定理及几何语言：∵l是⊙O的切线，H是切点，∴OH⊥l。）

  强调辅助线添加规律：见切点，连半径，得垂直。这是利用切线性质解题的关键突破口。

  （三）再探新知，发现“等长”（预计用时：15分钟）

  活动二：从一点出发的两条切线。

  师：如果点P在圆外，我们可以过点P作圆的切线吗？最多能作几条？

  学生利用圆形纸片和直尺尝试画图，发现可以作两条。

  教师用GeoGebra演示：在⊙O外取一点P，利用软件“切线”工具作出两条切线PA、PB，切点分别为A、B。连接OP、OA、OB。

  探究任务：观察图形，测量并猜想：

  （1）线段PA与PB的长度有什么关系？

  （2）∠APO与∠BPO有什么关系？

  （3）OP与AB有什么位置关系？（进阶思考）

  学生分组探究，测量、讨论，形成猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO，且OP垂直平分AB（或OP平分∠AOB）。

  教师组织学生证明猜想（1）和（2）。引导学生分析：要证PA=PB，可考虑证明△OAP≌△OBP。已知OA=OB（半径），OP=OP（公共边），还需一个条件。由切线性质，OA⊥PA，OB⊥PB，故∠OAP=∠OBP=90°，从而可由HL定理证明全等，进而得到PA=PB，∠APO=∠BPO。

  师生共同总结切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

  （板书定理及几何语言：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA=PB，∠APO=∠BPO。）

  对于猜想（3），引导学生作为课后思考题，利用全等和等腰三角形“三线合一”的性质进行证明。

  （四）应用新知，解决问题（预计用时：10分钟）

  例1：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠P=50°，求∠AOB的度数。

  引导学生分析：连接OA、OB。由切线性质得OA⊥PA，OB⊥PB。在四边形OAPB中，已知∠P=50°，可求∠AOB=130°（四边形内角和360°）。另解：由切线长定理，OP平分∠APB，再结合三角形内角和或外角性质亦可解。

  例2：一块三角形铁皮ABC，现要从中剪下一个面积最大的圆形工件，如何确定这个圆的圆心和半径？（数学化：求三角形的内切圆）

  教师引导学生将实际问题转化为数学问题：要使圆与三角形三边都相切。画出草图，回忆角平分线的性质（到角两边距离相等），启发学生猜想内切圆圆心（内心）的位置——三条角平分线的交点。然后利用切线的性质（圆心到切线的距离等于半径）进行解释。此题为后续学习三角形的内切圆做铺垫，体现知识的连贯性。

  （五）课堂小结，分层作业（预计用时：3分钟）

  小结：本节课我们探究了切线的两大核心性质：“垂直关系”和“等长关系”。它们不仅是解题的重要工具，更展现了圆的对称之美。

  作业：

  1.基础题：证明切线长定理中OP垂直平分弦AB。

  2.巩固题：教材相关习题，重点练习运用切线性质进行角度和线段的计算。

  3.实践题：寻找生活中包含“从一点出发的两条切线相等”原理的实例（如：从卫星发射点到与地球表面相切的两条信号路径）。

  第三课时：切线的判定——如何证明“亲密接触”

  （一）创设冲突，明确问题（预计用时：7分钟）

  复习回顾切线的定义（公共点个数）和性质（垂直于过切点的半径）。

  师：我们知道，如果一条直线是圆的切线，那么它垂直于过切点的半径。反过来，如果一条直线经过半径的外端，并且垂直于这条半径，那么这条直线是圆的切线吗？这为我们提供了一种新的、更便于操作的判定切线的方法。

  （板书课题：切线的判定定理）

  （二）猜想验证，形成定理（预计用时：10分钟）

  已知：如图，直线l经过⊙O上一点A，且OA⊥l。

  求证：直线l是⊙O的切线。

  引导学生分析：要证l是切线，根据定义，需证l与⊙O有且只有一个公共点A。已知A在圆上，是公共点。还需证明直线l上其他任意点都不在圆上。如何证明？

  学生思考。教师提示：在直线l上任取异于点A的一点P，连接OP。在Rt△OAP中，由于OA⊥l，所以OA是直角边，OP是斜边，故OP>OA=r。因此点P在圆外。由于点P是任意选取的，所以直线l上除点A外所有点都在圆外，即l与⊙O只有一个公共点A。所以l是切线。

  师生共同总结切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

  （板书定理及几何语言：∵OA是⊙O的半径，OA⊥l于点A，∴l是⊙O的切线。）

  强调定理使用的两个条件缺一不可：“经过半径外端”和“垂直于这条半径”。对比性质定理（已知切线，得垂直）和判定定理（已知垂直，证切线），明确其互逆关系。

  （三）辨析应用，掌握方法（预计用时：18分钟）

  师：判定一条直线是圆的切线，有哪些方法？

  引导学生归纳：

  方法1（定义法）：证明直线与圆有且只有一个公共点。（不常用，难以严格证明唯一性）

  方法2（数量关系法）：证明圆心到直线的距离等于圆的半径。（若已知垂直关系或便于计算距离时常用）

  方法3（判定定理法）：证明直线经过半径的外端，并且垂直于这条半径。（最常用、最有效的判定方法）

  例1：如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB。求证：AT是⊙O的切线。

  分析：点A在⊙O上，是半径OA的外端。只需证AT⊥OA即可。由AT=AB，∠ABT=45°，可推得△ABT为等腰直角三角形，∠BAT=90°，又AB是直径，故OA与AB重合，从而AT⊥OA，得证。本题示范了判定定理的典型应用思路。

  例2：已知，OC平分∠AOB，D是OC上一点，⊙D与OA相切于点E。求证：OB与⊙D相切。

  分析：欲证OB是切线，但不知切点。自然想到过点D作DF⊥OB于F，然后证明DF等于⊙D的半径DE（即方法2）。由角平分线性质（D在∠AOB平分线上，且DE⊥OA，DF⊥OB）可直接得到DE=DF，从而得证。本题展示了当切点未知时，常作垂直证半径（d=r）的方法。

  通过两例对比，强化学生对不同判定方法的适用情境的理解。

  （四）综合练习，内化技能（预计用时：8分钟）

  学生独立完成课堂练习，教师巡视，个别辅导。

  练习1：如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。

  引导学生分析：已知AB是切线，连接OD，则OD⊥AB。要证AC是切线，但切点未知。可考虑作OE⊥AC于E，连接OA。利用等腰三角形“三线合一”及角平分线性质或全等证明OE=OD即可。

  此题为典型的需要添加辅助线（作垂直）的切线判定问题，巩固判定方法2，提升学生分析综合图形的能力。

  （五）小结梳理，布置作业（预计用时：2分钟）

  小结：师生共同梳理切线的三种判定方法，强调判定定理的核心地位及其使用要点（两个条件），总结辅助线添加的常见思路（已知切点，连半径；未知切点，作垂直）。

  作业：

  1.基础题：完成教材练习题，规范书写证明过程。

  2.提高题：自编一道同时涉及切线性质和判定定理的几何证明题，并给出解答。

  3.预习下一节综合应用内容。

  第四课时：综合应用与问题解决——让知识“活”起来

  （一）知识梳理，构建网络（预计用时：10分钟）

  教师引导学生以思维导图形式，回顾本单元核心知识结构。

  中心主题：直线与圆的位置关系及切线。

  一级分支：

  1.位置关系：三种（相离、相切、相交）→定义→数量化判定（d与r比较）。

  2.切线：

   (1)性质：①垂直于过切点的半径；②切线长定理（从圆外一点引的两条切线）。

   (2)判定：①定义；②d=r；③判定定理（过半径外端且垂直）。

  3.重要思想方法：数形结合、转化与化归、模型思想、分类讨论。

  通过构建网络，使学生零散的知识系统化，明确各知识点的内在联系和应用指向。

  （二）典例剖析，融会贯通（预计用时：25分钟）

  本环节设计两道综合性例题，由浅入深，覆盖本单元核心考点。

  例1（几何计算与证明综合）：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。直线DC与AB的延长线交于点E。

  （1）求证：AC平分∠DAB；

  （2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径。

  教师引导学生逐问分析：

  （1）连接OC。由CD是切线，得OC⊥DE。又AD⊥DE，所以OC∥AD。由平行得∠1=∠3，由OA=OC得∠1=∠2，故∠2=∠3，即AC平分∠DAB。本题综合运用了切线性质（垂直）、平行线的判定与性质、等腰三角形性质。

  （2）设半径为r。在Rt△OCE中，OC=r，OE=OB+BE=r+3，CE=4，由勾股定理列方程：r^2+4^2=(r+3)^2，解方程得r=7/6。本题将几何问题代数化（方程思想），是常见的综合题型。

  例2（动态几何与最值问题）：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8。⊙O的圆心在边AB上，且与AC、BC都相切。设⊙O的半径为r。

  （1）用含r的代数式表示线段AO的长度；

  （2）求r的值；

  （3）点P从点B出发，沿线段BC以每秒1个单位向点C运动，同时点O从点B出发，沿线段BA以每秒1个单位向点A运动。当点P到达点C时，两点同时停止运动。设运动时间为t秒。当t为何值时，以点P为圆心、PC长为半径的⊙P与⊙O外切？

  本题难度较大，具有中考压轴题特征。教师引导小组合作探究：

  （1）连接OD、OE（D、E为切点），则OD⊥AC，OE⊥BC。易证四边形ODCE为正方形。由△AOD∽△ABC，得AO/AB=OD/BC，即AO/10=r/8，所以AO=(5/4)r。

  （2）由AB=AO+OB，且OB=√(OE^2+BE^2)=√(r^2+(8-r)^2)。代入AB=10，AO=(5/4)r，得到关于r的方程，解之得r=24/7（舍去不合题意的解）。

  （3）运动t秒后，BP=t，BO=t，则PC=8-t，O在AB上的位置需重新计算。根据⊙P与⊙O外切，圆心距PO=PC+r（⊙P半径）+r（⊙O半径）。需用t表示PO，建立关于t的方程求解。此问计算复杂，重点分析思路，具体计算可课后完成。

  通过此例，培养学生处理复杂图形、建立动态模型、运用相似与方程等工具解决综合问题的能力。

  （三）课堂检测，反馈提升（预计用时：8分钟）

  发放当堂检测题（精选3-4道小题，涵盖判定、性质、简单计算），学生独立完成。教师快速批阅或投影展示答案，针对共性问题即时讲解，实现教学效果的及时反馈与矫正。

  （四）联系实际，拓展延伸（预计用时：2分钟）

  师：我们学习的知识并非束之高阁。请看：（展示图片）

  1.自行车挡泥板的设计：为什么要做成弧形？如何保证与轮胎（圆）恰好相切又不接触？

  2.卫星信号接收器（抛物面天线）：其焦