2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业第二章解三角形13

课时作业13三角形中的几何计算|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(济南历城区二中调研)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠A＝60°，c＝2，且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则边b的长为()A．4B．3C．2D．1解析：S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),2)，即eq\f(1,2)×b×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以b＝1.故选D.答案：D2．已知△ABC周长为20，面积为10eq\r(3)，A＝60°，则BC边长为()A．5B．6C．7D．8解析：由题设a＋b＋c＝20，eq\f(1,2)bcsin60°＝10eq\r(3)，所以bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以a＝7.即BC边长为7.答案：C3．如图，在四边形ABCD中，已知B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A.eq\r(3)B．5eq\r(3)C．6eq\r(3)D．7eq\r(3)解析：连结BD，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝22＋22－2×2×2·cos120°＝12，即BD＝2eq\r(3).∵BC＝CD，∴∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形．故S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝eq\f(1,2)×2×2×sin120°＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝5eq\r(3).答案：B4．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为eq\f(\r(3),2)，则这个三角形的面积为()A.eq\f(15,4)B.eq\f(15\r(3),4)C.eq\f(21\r(3),4)D.eqD.\f(35\r(3),4)解析：设最大角为θ，则cosθ＝eq\f(a－22＋a2－a＋22,2a－2·a)＝eq\f(a－8,2a－4).因为sinθ＝eq\f(\r(3),2)，若θ＝60°，则eq\f(a－8,2a－4)＝eq\f(1,2)，无解．若θ＝120°，则cosθ＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(a－8,2a－4)＝－eq\f(1,2)，所以a＝5，故三边分别为3,5,7.所以S△ABC＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).故选B.答案：B5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD的长是()A．2B．2或4C．1或2D．5解析：如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°.因为AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，所以eq\f(1,2)×3×AD×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×6×AD×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)×3×6×eq\f(\r(3),2)，解得AD＝2.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6.如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(3)，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析：在△ABC中，由余弦定理，得cosC＝eq\f(22＋2\r(3)2－22,2×2×2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以sinC＝eq\f(1,2).在△ADC中，由正弦定理，得AD＝eq\f(ACsinC,sin∠ADC)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A＝________.解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，∵4·eq\f(1,2)bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.答案：45°8.如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，△BCD为等边三角形，则当四边形ABDC的面积最大时，∠BAC＝________.解析：设∠BAC＝θ，则BC2＝a2＋b2－2abcosθ，所以S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝eq\f(1,2)absinθ＋eq\f(\r(3),4)BC2＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2)＋absin(θ－60°)，则当∠BAC＝θ＝150°时，S四边形ABDC取得最大值．答案：150°三、解答题(每小题10分，共20分)9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝eq\f(4,5)，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．解析：(1)因为cosB＝eq\f(4,5)>0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝eq\f(3,5).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)可得eq\f(a,sin30°)＝eq\f(10,3)，所以a＝eq\f(5,3).(2)因为△ABC的面积S＝eq\f(1,2)ac·sinB，sinB＝eq\f(3,5)，所以eq\f(3,10)ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即4＝a2＋c2－eq\f(8,5)ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.因为a＋c>0，所以a＋c＝2eq\r(10).10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：eq\f(a,b)－eq\f(b,a)＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosB,b)－\f(cosA,a))).证明：由余弦定理的推论得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，代入等式右边，得右边＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2abc)－\f(b2＋c2－a2,2abc)))＝eq\f(2a2－2b2,2ab)＝eq\f(a2－b2,ab)＝eq\f(a,b)－eq\f(b,a)＝左边，所以eq\f(a,b)－eq\f(b,a)＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosB,b)－\f(cosA,a))).|能力提升|(20分钟，40分)11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)，则B的度数为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：因为acosB＋bcosA＝csinC，由正弦定理可得sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C即sin(A＋B)＝sin2C因为sinC≠0，所以sinC＝1，故C＝90°，又S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)，所以sinA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝cosA，所以tanA＝1，故A＝45°，所以B＝45°，故选C.答案：C12．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．解析：因为AB＝eq\r(3)，AD＝1，∠BAD＝30°，所以S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),4).又因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)13．(淄博六中期末)在△ABC中，eq\f(1,2)cos2A＝cos2A－cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.解析：(1)由已知得eq\f(1,2)(2cos2A－1)＝cos2A－cosA，所以cosA＝eq\f(1,2).因为0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)可得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c)＝2，所以b＝2c.因为cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(4c2＋c2－9,4c2)＝eq\f(1,2)，所以c＝eq\r(3)，b＝2eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝eq\f(2\r(3),3)acsinB.(1)求角B的大小；(2)若b＝eq\r(3)，且A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，求边长c的取值范围．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB.因为a2＋c2－b2＝eq\f(2\r(3),3)acsinB，所以2accosB＝eq\f(2\r(3),3)acsinB，所以tanB＝eq\r(3).又因为0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(2)因为A＋B＋C＝π，所以C＝π－A－B＝eq\f(2,3)π－A.由正弦定理，得eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(3),sin\f