自动控制原理 课件-第2章-自动控制系统的数学模型

自动控制原理

第2章自动控制系统的数学模型自动控制原理课程组机械与电子控制工程学院北京交通大学1教学目标1.能够描述建立系统微分方程的方法和步骤2.能够正确解释传递函数的概念3.能够描述结构图的组成以及绘制方法4.能够运用结构图等效变换和化简的方法求取传递函数2

2.1微分方程32.1微分方程4控制对象检测装置输入量偏差扰动量输出量反馈量中间环节数学模型

是描述控制系统输入、输出及内部物理量之间关系的数学表达式。在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。2.1微分方程微分方程结构框图信号流图传递函数52.1微分方程建立数学模型的方法：辨识算法未知系统输入量输出量（1）解析法（物理定律）：根据物理方程推公式，重点掌握（2）试验法（系统辨识）：根据输入和输出进行系统辨识6数学模型2.1微分方程(1)编写步骤：首先确定系统的输入量、输出量;从系统各个环节开始，确定各环节的输入输出量，写出环节的微分方程；消去中间变量；最后得到系统的动态微分方程。(2)理解动态微分方程式72.1.1机械系统mFx输入：F输出：x输入：F输出：xxFxFB为阻尼系数k为弹性系数机械直线运动82.1.1机械系统输入：外作用力F输出：质量块位移x【例】

下图为具有质量、弹簧、阻尼器的机械位移系统注：在该系统中，弹簧通常在初始状态下就已经因为重力而产生了一定的拉伸或压缩，从而达到了一个平衡状态。也就是说，重力作用仅影响系统的静态平衡状态，不直接影响系统的动态特性，故该情况下建立系统微分方程时无需考虑重力。是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反是弹簧弹性力，其方向与运动方向相反92.1.1机械系统转动惯量力矩弹性力矩黏性摩擦阻尼力矩输入：外加转矩T输出：转角

机械旋转运动粘性摩擦系数转动系统的惯性矩扭簧的弹性系数102.1.2电气系统电阻输入：u输出：i电容输入：u输出：i电感输入：u输出：iRiuCiuLiu电路元件112.1.2电气系统输入：电压u输出：电容电压uc简单电路系统（1）明确输入量输出量（2）列出原始微分方程式（3）消去中间变量12数学模型的相似性机械直线运动13机械旋转运动电路系统不同类型的物理系统可以具有同一形式的数学模型。故基于标准模型的控制系统分析理论具有广泛的普适性，能够应用于机械系统、电气系统以及其他类型的物理系统。2.1.2电气系统输入：电压ui输出：电压uo14简单电路系统2.1.3液压系统15（1）滑阀的流量方程（2）液压缸连续性方程（3）液压缸和负载的力平衡方程或阀控液压缸系统2.1.4热工系统16热工系统数学模型见附录2.1.5非线性系统的线性化17由于非线性系统分析较为复杂，在一定范围内可以将非线性特性进行线性化处理，从而将非线性系统近似为线性系统来处理。非线性系统的线性化方法见附录。

2.2传递函数182.2.1拉普拉斯变换数学模型引入拉普拉斯变换（也称拉氏变换）：微分方程拉普拉斯变换传递函数19求解方便。拉氏变换是求解微分方程的简洁方法。

可以转化为代数方程求解。新数学模型。微分方程→传递函数，由此发展了用传递函数的零极点分布、频率特性等方法设计系统的方法。拉普拉斯变换的目的：2.2.1拉普拉斯变换定义在[0，∞)区间的函数x(t)，其拉氏变换为：拉氏反变换拉氏变换20式中：

称为原函数，是

t

的函数。

称为象函数，是s

的函数。2.2.1拉普拉斯变换典型信号的拉普拉斯变换（1）单位阶跃信号(unit-stepsignal)212.2.1拉普拉斯变换（2）单位斜坡信号222.2.1拉普拉斯变换（3）指数函数信号232.2.1拉普拉斯变换（4）正弦函数信号242.2.1拉普拉斯变换25

实际应用中，拉普拉斯变换可以通过查表得到！2.2.1拉普拉斯变换用于任何情况（1）

线性定理26拉氏变换的性质与定理设

，则有2.2.1拉普拉斯变换用于从微分方程转换为传递函数（2）

微分定理27拉氏变换的性质与定理各初值为02.2.1拉普拉斯变换（3）

积分定理28拉氏变换的性质与定理用于从微分方程转换为传递函数各初值为02.2.1拉普拉斯变换（5）终值定理29拉氏变换的性质与定理用于求解稳态误差（4）初值定理2.2.2传递函数的定义1）系统的微分方程（注意输入和输出）2）拉氏变换（注意：初始条件为零）3）得到输出量的拉式变换为各阶导数初始值为0302.2.2传递函数的定义令：31则：

定义：G(s)为系统的传递函数。可写成：2.2.2传递函数的定义传递函数transferfunction文字定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。数学定义：设输入为r(t),输出为y(t)，则系统的传递函数为G(s)322.2.2传递函数的定义求传递函数举例（1）电路网络33拉式变换微分方程传递函数2.2.2传递函数的定义求传递函数举例（1）电路网络34复阻抗法：2.2.2传递函数的定义复阻抗法：352.2.2传递函数的定义（2）机械系统mKBx(t)f(t)36微分方程拉式变换传递函数2.2.2传递函数的定义关于传递函数的几点说明（1）传递函数描述系统的固有特性。只与系统内部结构参数有关，与输入量等外部因素无关。传递函数忽略了初始条件的影响。（3）传递函数是物理系统的数学模型，不同的物理系统可以有相同的传递函数。（2）实际系统的传递函数是s的有理分式372.2.2传递函数的定义（4）传递函数的拉氏反变换是单位脉冲响应函数。（5）传递函数只适合线性定常系统。（6）传递函数的分母构成系统的特征方程，特征方程的解，称为特征根，也称为极点。分母中s的最高阶次表示系统的阶次。0零点：

分子多项式的根。极点：

分母多项式的根。382.2.2传递函数的定义（7）只要把微分方程中各阶导数用相应阶次的变量s代替，就很容易得到系统的传递函数。（8）初始状态为零的系统，可不通过拉氏反变换求解在典型信号下的动态过程，可以直接通过系统传递函数的某些特征来研究系统的性能。（9）对系统性能的要求也可以转换成对传递函数的要求，简化系统的设计过程。392.2.2传递函数的定义传递函数的几种典型表达形式：40（1）传递函数的有理分式形式（多项式形式）（2）传递函数的零点、极点形式—首1标准型这种用零点和极点表示传递函数的方法在根轨迹法中使用较多，

也称为根轨迹增益。零点极点2.2.2传递函数的定义传递函数的几种典型表达形式：41（3）时间常数形式—尾1标准型这种尾1标准型表示传递函数的方法在稳态误差分析和频域分析法中使用较多。时间常数时间常数放大系数2.2.3典型环节的传递函数（1）比例环节微分方程传递函数方框图输出是输入的比例（倍数）422.2.3典型环节的传递函数（2）积分环节

举例：运算放大器电路43微分方程传递函数由运算放大器组成的积分器，由于运算放大器具有很大的开环放大系数，因此A点的对地电位很低，可近似认为比例系数2.2.3典型环节的传递函数（3）微分环节

举例：RC实际微分电路44微分方程传递函数时间常数理想微分环节理想微分环节在实践中是不能实现的，因此还要研究实际微分环节。当

时2.2.3典型环节的传递函数（4）惯性环节

举例：具有一个储能元件，RC电路45微分方程传递函数比例系数时间常数2.2.3典型环节的传递函数（5）振荡环节

举例：RLC电路46微分方程传递函数阻尼系数时间常数自然振荡角频率2.2.3典型环节的传递函数（6）延迟环节

在生产实际中，特别是在一些液压、气动或机械传动系统中，都可能遇到时间迟后现象。在计算机控制系统中，由于运算需要时间，也会出现时间延迟。47微分方程传递函数对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并省略高次项，得到如下的简化时滞环节传递函数：时滞时间

时滞环节在一定条件下可以近似为惯性环节。

2.3自动控制系统的结构图及等效传递函数482.3自动控制系统的结构图及等效传递函数49一个控制系统总是由许多环节组合而成。从信息传递的角度去看，可以把一个系统划分为若干环节，每一个环节都有对应的输入量、输出量以及它们的传递函数。考虑传递函数的通式，是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数。比例环节积分环节惯性环节二阶微分振荡环节一阶微分2.3.1系统结构图组成（1）信号线（2）方框（或环节）（3）引出点（分支点）（4）比较点（相加点）50为了表明每一个环节在系统中的功能，在控制工程中，常常应用“结构图”的概念。绘制各环节的方框图，方框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明其连接关系，按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来，构成系统结构图。控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，包含四种基本单元：2.3.1系统结构图组成RCiiuou绘制实例151画出下列电路的系统结构图解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换(可用复阻抗方法)拉氏变换2.3.1系统结构图组成52将图（b）和(c)组合起来得到图(d)（2）根据列出的2个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。2.3.1系统结构图组成53绘制实例2解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换(可用复阻抗方法)

画出下列电路的系统结构图2.3.1系统结构图组成54（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。2.3.2结构图的等效变换和简化

为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由相应环节的方块经串联、并联和反馈

三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。

552.3.2结构图的等效变换和简化（1）串联三种典型连接的传递函数56等效变换（2）并联等效变换2.3.2结构图的等效变换和简化（3）反馈三种典型连接的传递函数57等效变换2.3.2结构图的等效变换和简化对于典型负反馈系统几种常用传递函数58开环传递函数主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比闭环传递函数输出信号Y(s)与输入信号R(s)之比前向通路传递函数开环传递函数误差传递函数误差信号E(s)与输入信号R(s)之比开环传递函数代入闭环传递函数式，消去G(s)即得：2.3.2结构图的等效变换和简化【例】试求下图所示多回路系统的闭环传递函数。592.3.2结构图的等效变换和简化60闭环传递函数2.3.2结构图的等效变换和简化【例】设多环系统的结构图如下图所示，试对其进行简化，并求闭环传递函数。61不能直接进行简化，怎么办呢？2.3.2结构图的等效变换和简化比较点：两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。

比较点的前后次序可以变。比较点或相加点622.3.2结构图的等效变换和简化引出点：表示信号测量或引出的位置。注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。P(s)P(s)R(s)C(s))(1sW)(2sW引出点632.3.2结构图的等效变换和简化（4）比较点和引出点的移动相加点和引出点的移动时，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，不是位置上的前后。

64在系统结构图简化过程中，有时为了便于进行方框的串联、并联或反馈连接的运算，需要移动比较点或引出点的位置。注意：在移动前后必须保持信号的等效性，而且比较点和引出点之间一般不宜交换位置。2.3.2结构图的等效变换和简化前移后移比较点移动示意图652.3.2结构图的等效变换和简化

引出点移动示意图前移后移66引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H167G2H1G1G3比较点移动向同类移动G1G2G3H1G1682.3.2结构图的等效变换和简化结构图等效变换方法总结69三种典型结构可直接用公式相邻相加点可互换位置3相邻分支点可互换位置注意事项：不是典型结构不可直接用公式,尤其是有交叉的情况更不能直接用公式。2引出点比较点相邻，不可互换位置2.3.2结构图的等效变换和简化【例】设多环系统的结构图如下图所示，试对其进行简化，并求闭环传递函数。702.3.2结构图的等效变换和简化71闭环传递函数系统中有两个相互交错的局部反馈，因此在化简时首先应考虑将信号引出点或信号比较点移到适当的位置，将系统结构图变换为无交错反馈的图形，移动时遵守等效变换原则。2.3.2结构图的等效变换和简化用结构图的等效法则，求下图所示系统的传递函数C(s)/R(s)

思考题722.3.2结构图的等效变换和简化73输出对扰动的结构图利用公式，直接可得：重点掌握输出对扰动的传递函数假设R(s)=02.3.2结构图的等效变换和简化74误差对扰动的传递函数假设R(s)=0

误差对扰动的结构图2.3.2结构图的等效变换和简化752）只有扰动作用的输出量？3）两个输入同时作用的输出量？1）只有给定作用的输出量？

2.4自动控制系统的信号流图及等效传递函数76除结构图外，控制系统的信号流图也是描述系统组成的各环节之间信号传递关系的常用方法。具体见附录。

2.5用MATLAB描述系统模型772.5.1系统数学模型的MATLAB生成（1）传递函数多项式模型（tf模型）78单输入单输出阶线性定常系统的传递函数为：方法一num=[bm,bm-1,⋯,b1,b0];

%定义系统传递函数的分子系数den=[an,an-1,⋯,a1,a0];

%定义系统传递函数的分母系数sys=tf(num,den);

%根据分子和分母系数创建传递函数模型，sys为构建的系统模型方法二s=tf('s');

%定义s算子sys=(bm*sm+bm-1*sm-1+...)/(an*sn+an-1*sn-1+...);

%直接用s构建传递函数2.5.1系统数学模型的MATLAB生成【例1】设线性定常系统的传递函数如下，使用MATLAB表示该系统的传递函数。79方法一num=[3167-8];

%定义系统传递函数的分子系数den=[640230];

%定义系统传递函数的分母系数sys=tf(num,den)

%根据分子和分母系数创建传递函数模型，sys为构建的系统模型方法二s=tf('s');

%定义s算子sys=(3*s^3+16*s^2+7*s-8)/(6*s^5+4*s^4+2*s^2+3*s);

%构建传递函数运行结果：sys=3s^3+16s^2+7s-8---------------------------6s^5+4s^4+2s^2+3sContinuous-timetransferfunction.2.5.1系统数学模型的MATLAB生成【例2】设系统的传递函数如下，使用MATLAB表示该系统的传递函数。80num=18*conv([1,9],conv([1,4],[1,4]));%计算传递函数的分子系数den=conv([1,0],conv([1,12,4],[1,22]));%计算传递函数的分母系数G2=tf(num,den)%创建传递函数模型对于分子或者分母中包含有多项式混合乘项的传递函数，可利用conv()函数完成。注意：conv函数只能实现两个多项式的混合乘，三个以上的多项式相乘，需要使用多个conv函数嵌套来完成运行结果：G2=18s^3+306s^2+1584s+2592--------------------------------s^4+34s^3+268s^2+88sContinuous-timetransferfunction.2.5.1系统数学模型的MATLAB生成（2）传递函数零极点模型（zpk模型）81零极点模型是线性定常系统传递函数的另一种表现形式。对原系统传递函数的分子分母多项式进行因式分解，即可获得系统的零极点因式表达式：z=[z1,z2,⋯zm];%定义系统的零点p=[p1,p2,⋯pn];%定义系统的极点K=[K];%定义系统的增益值sys=zpk(z,p,k)%创建一个零极点增益模型2.5.1系统数学模型的MATLAB生成【例】一个系统的传递函数如下，使用MATLAB建立该系统的零极点模型。82z=[-2];%定义系统的零点p=[-9,-1+j,-1-j];%定义系统的极点k=2;%定义系统的增益值为2g1=zpk(z,p,k)%创建一个零极点增益模型运行结果：g1=2(s+2)--------------------(s+9)(s^2+2s+2)2.5.2系统数学模型间的转换83对系统的特点和性能需求，控制系统的分析与设计常需要进行数学模型表示的相互转换，MATLAB控制工具箱中提供了控制系统模型相互转换的函数，以满足不同的使用需要。[z,p,k]=tf2zp(num,den);%多项式传递函数转换为零极点形式[num,den]=zp2tf(z,p,k);%零极点形式转换为多项式形式2.5.2系统数学模型间的转换84【例】设系统的传递函数如下，使用模型转换函数求该系统的零极点。方法一num=[2,6,4];%定义传递函数的分子系数den=[1,7,17,17,6];%定义传递函数的分母系数[z,p,k]=tf2zp(num,den)%将传递函数从分子分母形式转换为零极点增益形式方法二G=tf([2,6,4],[1,7,17,17,6]);%创建传递函数模型G1=zpk(G);%将传递函数模型转换为零极点增益形式的模型方法一运行结果：z=-2-1p=-3.0000+0.0000i-2.0000+0.0000i-1.0000+0.0000i-1.0000-0.0000ik=2方法二运行结果：G1=2(s+2)(s+1)-------------------(s+3)(s+2)(s+1)^22.5.3环节模型间的连接85（1）利用连接函数的方法【例】求如图所示系统的总传递函数。2.5.3环节模型间的连接86n1=[11];d1=[112];n2=[1];d2=[21];n3=[20];d3=[01];n4=[20];d4=[110];G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G3=tf(n3,d3);G4=tf(n4,d4);GA=feedback(G2,G3,-1);%G2与G3使用负反馈连接（-1表示负反馈），生成系统GAGB=series(G1,GA);%将G1和GA串联起来，形成GB系统G=parallel(G4,GB)%将G4和GB并联起来，最终形成系统G运行结果：G=4s^6+10s^5+28s^4+55s^3+84s^2+53s+10--------------------------------------------------------2s^6+25s^5+63s^4+145s^3+165s^2+156s+60Continuous-timetransferfunction.2.5.3环节模型间的连接87（2）利用符号函数运算的方法【例】求如图所示系统的总传递函数。2.5.3环节模型间的连接88symsG1G2G3G4H1;%定义符号变量G1,G2,G3,G4,H1GA=G3/(1+G3*H1);%计算反馈系统GA，其中G3与H1形成负反馈GB=G1*(G2+G4);%GB由G1与(G2和G4的并联)串联而成GC=GA*GB;%GC为GA和GB的串联结果，即两者输出相乘GG=GC/(1+GC);%GG为GC与其他部分形成的闭环系统，通过除以1+GC来实现负反馈pretty(GG)%显示更加结构化的结果表达式运行结果：G1G3(G2+G4)-----------------------------------/G1G3(G2+G4)\(G3H1+1)|---------------+1|\G3H1+1/2.5.3环节模型间的连接89（3）利用Simulink模块搭建的方法【例】已知某复合控制系统结构图如图所示，试用Simulink搭建系统。2.5.3环节模型间的连接90在Simulink环境下搭建出如下图所示的系统模块图，输入用In1模块连接，输出用Out1模块接收。保存在当前默认的路径下，模块文件取名为Chapter2Exam2_12.slx。

2.6循序渐进设计实例——直流电机调速系统912.6.1直流电机建模92直流电机结构原理示意图直流电机的工作原理：由输入的电枢电压Ud在电枢回路中产生电枢电流Id，再由电流