浙江省浙南名校联盟2025-2026学年高二下学期4月期中考试 数学试卷

本题共4页，满分150分，考试时间120分钟答题前，在答题卡指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效结束后，只需上交答题卡一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一已知集合Ax∣y

2,

已知i为虚数单位，复数zi2i，复数z的模为 ​

​

D. 3 π

A. kπ,1k B.62,0k C.62,1k D.32,1k

线的离心率为

D.从含甲和乙的六人中选四人参加学校4100m接力比赛，已知甲被选中且只跑第一棒或第四棒，若选 A. B. C. D.六个边长为2的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的四点O,A,B,C均为正六边形的顶点，且A,B的位置如图所示，则OBACOAAC的值在下列哪个范围内（

已知圆Ox2y21xABM是直线txy30上任意一点.设AMBπ

已知正实数x,y满足ln2xlnyx2y2，则xyyx的值为

二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 点A到BDA的距离为 BCAC ABABCD 1 已知抛物线y24x的焦点为F,O为坐标原点，过点F的直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2两点，分别过A,B两点作准线的垂线，垂足为C,D,M是CD的中点，则（ ABx1x2AM已知数列a的通项a ，其中θ0,π.记S为其前n项和.则下列正确的是

2n1 若θπaanan

1cos2nθ

1,S

16 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.若函数fxx3xasinx1的图象在点0,f0处的切线平行于x轴，则a 记VABCAB,Cabc，已知cosBccosBbcosC1ab2c2acb ，则SVABC n1，设答对mP(X=

P

P(Xm)11

3m5，则 小值 .（参考数据：lg20.30,lg30.48四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤600人，高二年400100名学生展开调查.2402人达标的概率100

nadabcdacbd

nabc独立性检验临界表（部分已知等差数列annSna2a3a5S3a7若数列(1)na2的前2nPP2027nPABCPABABCPAABAB3AC4PA6BAC60.EPBPE2EBFBC中点PAABCAEFPAC所成夹角的余弦值PABC的外接球球心为OPOAC夹角的余弦值已知椭圆C: y1ab0,Aa,0,B0,b分别为右顶点和上顶点 若b1，离心率e

2，求该条件下椭圆的标准方程Pab作直线l交椭圆CMN两点（MN的右侧）BMBNBMBNk1k21

为定值.（ab表示a2b1BMx轴于T，记VBNTS1,VOMTS2S1S25时，求直线l的斜率fxlnxax1 x a1fx的单调区间若0a1fxxxxx

x 本题共4页，满分150分，考试时间120分钟答题前，在答题卡指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效结束后，只需上交答题卡一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一已知集合Ax∣y

2,

【答案】xyx

已知i为虚数单位，复数zi2i，复数z的模为 ​

​

D.【答案】【详解】因为zi2i2ii212i，所以z 3 π

A. kπ,1k B.62,0k C.62,1k D.32,1k 【答案】【详解】令2xπkπkZxπkπkZ y π

sin2x3的对称中心为620kZ fx π

sin2x31的对称中心为62,1kZ

线的离心率为

D.【答案】1a1ab

计算求解【详解】若过点a00b的直线的倾斜角为120b0b31a1ab 1c

2从含甲和乙的六人中选四人参加学校4100m接力比赛，已知甲被选中且只跑第一棒或第四棒，若选 A. B. C. D.【答案】23432×A3482242人排列，2A224种；3242人排列，3A236种；因此所有不同的参赛方案共有4824361082的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的四点OABC且A,B的位置如图所示，则OBACOAAC的值在下列哪个范围内

【答案】OBACOAACABACO的位置无关.建立竖直方向的坐标，确定点C作为正六边形顶点时纵坐标的最大值和最小值，即可求出该数量积的取值 【详解】由向量运算可得OBACOAACOBOAACABACBBAy轴建立平面直角坐标系，取向上方向为正方向所以相邻顶点在竖直方向上的高度差可能为1或3，A0,10B00A外，点C的纵坐标最大为9B外，点C因此0y9，从而101010y100已知圆Ox2y21xABM是直线txy30上任意一点.设AMBπ

【答案】【详解】因为圆Ox2y21xAB两点，所以圆OAB因为AMBπMAB为直径的圆OM是直线txy30上任意一点，所以直线txy30与圆Ott2t00

1，所以t219，解得

t 所以t的可能取值范围为2222.已知正实数x,y满足ln2xlnyx2y2，则xyyx的值为

【答案】ln2xlnyx2y2lnxln2yx12y1lntt1t0xyxyyxgtt1lntt0gt11t1 当0t1gt0；当t1gt0g10gt0，即lntt1，等号当且仅当t1时成立．由题意得ln2xlnyx2y2x0,y0，所以ln2xlnyln2xylnxln2y，于是lnxln2yx12y1．由lntt1t0可得lnxx1ln2y2y1，两式相加得lnxln2yx12y1．又已知lnxln2yx12y1，x1且2y1y1 1 所以xyyx122

1 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 点A到BDA的距离为 BCAC ABABCD 1 【答案】B1C1平面CBB1C1AB平面CBB1C1B∈平面CBB1C1，ABB1C1A正确；ABDA1d，由VA

=VA-ABD1

V

d1

V

又 1ABBDsin6012222 3 V 2 SV

1ABAD1222 123d122d23B 又因为VABC是等边三角形，所以ACBπC错误； 1 所以B1AEAB1ABC1D1所成的角，2又sinBAEB1E 1，所以BAEπ，故D正确2 已知抛物线y24x的焦点为F,O为坐标原点，过点F的直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2两点，分别过A,B两点作准线的垂线，垂足为C,D,M是CD的中点，则（ ABx1x2AM【答案】y24xF10x1FABxmy1 y1y2y4my40y

1

x11,

x21AB

AF

x1x22Qx1my11,x2my21ABxx2my

44m24 m0AB4A

yy

121 14B 已知CDABM是CD

,M1,y1y2

–––→1x,y2y1

CF2,y

，

1

y

y

AMCF21x1 1y12111

12210 AMCF，CQM1,y1y2y1y21y

2 又Qy1y24m4m2m1ABx1y1y2x22D已知数列a的通项a

π.记S为其前n项和.则下列正确的是

2n1 若θπaanan

1cos2nθ

1,S

n3θ0,πStanθ 16 【答案】sin2

2

3

即可判断A，举反例即可求解B，根据弦切互化可先证明

sin

aa

2 【详解】对于A, ,则

，又

12sin2

故sin2π23，由于72432，故sin2π231 aa2 因此

，故1

sin

A1cos

πa2 π2，但1

62B

cosαcos C,

因

sin 故Snsin2kθtan20θtan21θtan21θtan22θLtan2n1θtan2nθtanθtan2nθk

S3tanθtan8θS3tanθ1tan

tanθ7，只需要证明

tanθ71

, 16 2 由于θ0,π，故0tanθtanπ1，故tan

2 16

1

8

1tan2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.若函数fxx3xasinx1的图象在点0,f0处的切线平行于x轴，则a 【答案】fx3x21acosxx0f03021acos01aQ图象在点0f0xf'001a0a1记VABCAB,Cabc，已知cosBccosBbcosC1ab2c2acb ，则SVABC 【答案】

a2c2

b2a2c2 【详解】由cosBccosBbcosCa，得cosBc

2a 所以cosB

，所以cosB1，又因为0BπBπ 由余弦定理可得b2a2c22accosB，所以2a2c2ac又因为b2c2ac，所以c2ac2a22ac0a2c所以c22c22，即3c22，解得c

6a26

1acsinB126

6 3 3V

n1，设答对mP(X=

P

P(Xm)11

3m5，则 小值 .（参考数据：lg20.30,lg30.48【答案】XP(X=5的表达式.再把P(X=m)代入夺冠概率P的求和式，利用二项式定理化简求和，得到P1

.P4n的最小正整数 XXBn1PXmCm13m0,12,Ln

PPXm111PXm1 3m 1m3

n44 1n44n 将PXmn

代入，得P Cm

1

1

1m3n124因为43m12，所以P1n124

1m3 3 5由二项式定理可得Cm

5因此P1

n n 5 5 由题意，小明夺冠概率不小于，所以1

，即

n

lg6lg5由参考数据得lg5lg101lg2nn的最小值为9

，lg6lg2lg3

n

0.78

8.75四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤600人，高二年400100名学生展开调查.2402人达标的概率

nadabcdacbd

nabc独立性检验临界表（部分

（2）没有99%的把握认为该校学生的课外阅读达标情况与性别有关（1）110060人4020设“21人达标”AA为“2人均不达标602nC21770AmC2190PA1PA1190158 2 100(3525 χ 4.1676.635，50506040 不能拒绝原假设，因此没有99%已知等差数列annSna2a3a5S3a7若数列(1)na2的前2nPP2027n的最小值 （1）ann1a1da12da1aada2da6d1a1d1 ana1n1d1n11n，ann.2令b1)na21)nn2

(1)2n(2n)2(2n)2

(1)2n1(2n1)2(2n1)2b2nb2n1(2n)2(2n1)22n2n12n2n14n13711L4n1 因为P 23123119532027,P 2322322080 nPABCPABABCPAABAB3AC4PA6BAC60.EPBPE2EBFBC中点PAABCAEFPAC所成夹角的余弦值PABC的外接球球心为OPOAC夹角的余弦值（1）（2）（3）（1）O

2323，进而根据向量的坐标运算以及夹角公式求解1QPAABPAPABPABABCPABABCABPA2AAByPAzA0,0,0,B0,3,0,P0,0,6,C23,2,F QPE2EB,E022，由于FBC中点，故320 AE0,2,2,AF3,,0，AP0,0,6,AC23,2,

AEn2y2zAEFnxyz→–––

AFn

3xy0x5y23z23n52323， ––→ mAP APm6z1 ,即–––→ ACm23x12y1令y 令y AEFPAC所成的角为θ，则

→

1156563PAABC，设外接球心Ox2y23，OAOBOC，x2x2y2 x

xy xy x2 y

22

，y2 ，故 ,3，PO ,3,AC23,2, 23 23

PO,

POACPO

4040POAC夹角余弦值为已知椭圆C: y1ab0,Aa,0,B0,b分别为右顶点和上顶点 若b1，离心率e

2，求该条件下椭圆的标准方程Pab作直线l交椭圆CMN两点（MN的右侧）BMBNBMBNk1k21

为定值.（ab表示a2b1BMx轴于T，记VBNTS1,VOMTS2S1S25时，求直线l的斜率 【答案 y（2（i）（ii）（1）由离心率公式ec及c2a2b2ab，从而得到椭圆方程（2（i）BMBN的斜率倒数和化简，证明其为定值（2（ii）a2b1l的参数式形式，与椭圆联立，利用韦达定理表示交点坐标，再根据面l的斜率.（1）b1ec

2,a2c2b22c2bc1,a

x22（2（i） x2y2 b2x2a2[kxbak]2a2b20即b2a2k2x22a2kbakxa4k22a3bkx1x2

b2a2k2

,x1x2

a4k22a3bkb2a2k2

y1bkx1abb x 1

,

111

1 2x1x2ax1x2 kx xa kx

ax

1 1

2a4k24a3bk2a3kbakka4k22a3bk2a3kbaka2b2a2k212a3bk 1

为定值（ii）a2b1x24y24令Yy1xmY2，代入椭圆方程，(mY2)24(Y1)24m24Y24m2Y40Y

Δ16(m2)216m2464m0 m2 1 m2故m0，设t

m24

t4T