全品高考备战2027年数学一轮学生用书14培优专训(八)圆锥曲线中的融合、交汇问题【答案】作业手册

培优专训(八)圆锥曲线中的融合、交汇问题1.ABD[解析]抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),故C选项错误;设{an}的公差为d,由a2=3,a5=9,得a5-a2=3d=6,则d=2,所以a1=a2-d=1,故A选项正确;|PnF|=an+1=1+2(n-1)+1=2n,|PnF|-|Pn-1F|=2n-2(n-1)=2(n≥2),所以数列{|PnF|}是等差数列,故B选项正确;|P1F|+|P2F|+…+|P50F|=2+4+…+100=50×(2+100)22.解:(1)如图①.设双曲线C1的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c,因为直线x=0(倾斜角为90°)与直线y=33x(倾斜角为30°)为双曲线的两条渐近线,所以直线y=3x(倾斜角为60°)为双曲线的一条对称轴设直线y=3x与双曲线C1交于A1,A2两点,由y=3x3+32x,y=3x则|A1A2|=6,即a=3,又ba=33,所以b=3,则c=2所以双曲线C1的焦点坐标为(-3,-3),(3,3).(2)如图②,由(1)可得双曲线C2的方程为x29-y23=1,则F由题意知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+23,与C2的方程联立,消去x,整理可得(m2-3)y2+43my+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),易知m2-3≠0,Δ>0,则y1+y2=-43mm2-3,y所以OA·OB=x1x2+y1y2=(my1+23)(my2+23)+y1y2=(m2+1)3m2-3+23m-43mm2-3+12=21,化简可得m2=1,解得m=±1,此时均满足故直线l的方程为x+y-23=0或x-y-23=0. 3.解:(1)椭圆x24+y2=1的上顶点为(0,1),则抛物线C:x2=2py的焦点F的坐标为(0,1),所以p2=1,则p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=4y,其准线方程为(2)易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+1,P(x1,y1),Q(x2,y2).由y=kx+1,x2=4y,消去y得x2-4kx-4=0,Δ=16k2+16>0,所以x1+x则|PQ|=1+k(x1+16k2+16=4(1+k2)=8,解得k=±1,所以直线l的方程为x-y+1=0或x+(3)证明:设M(t,-1),A(x3,y3),B(x4,y4).由y=14x2,得y'=12x,因此抛物线C在点A处的切线方程为y-y3=12x3(x-x3),即2y-2y3=x3x-4y3,整理得x3x=2(y+y3),同理得抛物线C在点B处的切线方程为x4x=2(y+y4),而点M(t,-1)是这两条切线的交点,则tx3=2(-1+y3),tx4=2(-1+y4),于是直线AB的方程为tx=2(y-1),显然直线AB过点(0,1),所以A,B,4.解:(1)不妨设点A在x轴上方,当AB⊥x轴时,Ap2,p,Bp2,-p.由|所以抛物线的方程为y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0>y2).依题意知,直线l1,l2的斜率均存在且不为0,设lAB:x=my+1(m≠0),将其与y2=4x联立,消元整理得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,因为|y1-y2|=(y1+所以|AB|=1+m2·|y1-y2|=4(m2+1).因为CD⊥AB,所以lCD:x=-1my+1,同理可得|CD|=41m2+1,则S四边形ACBD=12|AB|·|CD|=8(m2+1)1m2(3)如图,设A,B关于y轴的对称点分别为A',B'.记将等腰梯形ABB'A'绕y轴旋转一周得到的圆台的体积为V1,以AA'为底面直径,O为顶点的圆锥的体积为V2,以BB'为底面直径,O为顶点的圆锥的体积为V3,则所求旋转体的体积V=V1-V2-V3=π3(x12+x22+x1x2)(y1-y2)-π3x12y1+π3x22y2=π3(x12+x22+1)(y1-y2)-π3x12yπ3-y1242y2+y22故该旋转体体积的最小值为8π3.5.解:(1)设圆P的半径为r,点P(x0,y0),因为|O1O2|=2,圆O1的半径为1,圆O2的半径为3,所以圆O1与圆O2内切,又圆P与圆O1外切,与圆O2内切,所以|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4>2=|O1O2|,则点P的轨迹是以O1,O2为焦点,长轴长为4的椭圆(除去点(-2,0)).设曲线C1的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则半焦距c=1,2a=4,即a=2,所以b=3,故曲线C1的方程为x设Q(x',y')(x'≠-2)为曲线C2上任意一点,则点Q1x',y'3在曲线C1上,即x'24+y'323=1,即x'2(2)如图,由题意知直线AM,BM的斜率均存在,记直线AM,BM的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),则直线AM:y=k1(x+2),直线BM:y=k2(x-2).设M(x1,y1)(x1>0,y1>0),则x124+y129=1,即y12=94(4-x12),所以k1k2设D(x2,y2),E(x3,y3),N(x4,0),由y=k1(x+2),x24+y23=1,得(3+4k12)x2+16k12x+16k1同理可得x3=8k由y=k1(x+2),x24+y29=1,得(9+4k12)(i)由AD=54DM,得AD=59AM,则x2+2=59(x1+2),即6-8又k1>0,所以k1=62所以直线AM的方