宁夏银川市2021年普通高等学校招生全国统一考试（第一次模拟考试）数学(文)试卷

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宁夏银川市2021年普通高等学校招生全国统一考试（第一次模拟考试

）数学（文）试卷

学校：__姓名：__班级：__考号:

题号—二三总分

得分

注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案

正确填写在答题卡上

一、选择题

1.已知集合4=田/一61+540},B={x|y=x/7^3）,AcB等于（）

A.U,+8）B.[1,3]C.（3,5]D.[3,5]

2.已知是纯虚数，若（a+i）.z=3i-l,则实数。的值为（）

A.1B.3C.-1D.-3

3.已知曲线。:/+丁=2（£），之（）），曲线。与坐标轴围成封闭图形历以及函数），=丁的部分图象

如图所示，若向“内任意投掷一点，则该点落入阴影部分的概率为（）

4.任取一个正整数〃?，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上

述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雀猜想”

（又称“角谷猜想”）.如取正整数〃?=3,根据上述运算法则得出3—10-5-16-8->4-2-1,共需

经过7个步骤首次变成1（简称为7步“雹程”）•则下列叙述不正确的是（）

A.当〃7=12时，经过9步直程变成1

B.若胆需经过5步直程首次变成1,则〃?所有可能的取值集合为{5.32}

C.当机越大时，首次变成1需要的雹程数越大

D.当〃2=2"（婕M）时，经过左步雹程变成1

5.若=,则cos纭等于（）

AC.D.-3

-13

6.执行如下图所示的程序框图，输出的S值为（）

零

A.1-Ig3B.1-Ig4C.l-lg5D.l-lg6

7.下图是一个正方体的展开图厕在该正方体中（）

A.直线45与直线CD平行B.直线A8与直线8相交

C.直线.与直线CD异面垂直D.直线与直线8异面且所成的角为60°

8.设抛物线c：V=i2x的焦点为凡准线为/，点〃在C上，点N在/上，且丽=4两（/>0）,

若园F|=4,则2的值（）

BC.3D.2

A.I1

百siav

9.定义行列式运算=%%—%%，将函数/(%)=的图像向左平移〃（〃>。）个单位,

110sx

所得图像关于原点对称，则〃的最小值为（）

57r

A.IB-ID.

10.某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元），下列说法中错误的是（）

（注：月结余二月收入一月支出）

A.上半年的平均月收入为45万元

B.月收入的方差大于月支出的方差

C.月收入的中位数为70

D.月结余的众数为30

22

11.已知产（-5。）是双曲线=〃>0）的左焦点，过户作一条渐近线的垂线与右支交

crlr

于点P,垂足为力，且|A4|=3|A/|,则双曲线方程为（）

12.设函数/（、•）=，一］,直线y=or+〃是曲线），=/3）的切线，则〃+〃的最大值是（）

A.1—-B.lC.€—\D./一2

e

13.下列四个命题：口In2<-；□2021^>2020^'；□2而>15：□3eln2>4x/5.其中真命题的

e

个数是（）

（e为自然对数的底数，e、2718）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

y<x

14.若实数满足约束条件-2x+y+220,则z=-3x+y的最小值为.

x>0

15.已知/（x）是定义在R上的奇函数，当xNO时，/5）=3*+〃？（阳为常数），则/（-1/35）的值为

16.底面为等边三角形的直三棱柱所有顶点都在半径为2的球。上，则该三棱柱的侧面积最大值为

:此时该三棱柱的高为.

三、解答题

17.已知数列｛。“｝满足Sn=2a“一“〃eN*）.

（1）证明：｛4+1｝是等比数列;

（2）求a1+q+&+…+o2n+l\neN"）.

18.如图，三棱锥p-ABC中，底面A/SC是边长为2的正三角形，抬=2，P4_L底面ABC，点

£产分别为AC、尸C的中点.

（1）求证：平面跳F平面E4C；

（2）在线段相上是否存在点G,使得三棱锥3-AEG体积为£?若存在，确定点G的位置：

若不存在，请说明理由.

19.2020年是具有里程碑意义f勺一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020

年也是脱贫攻坚决战决胜之年.（总书记二。二。年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人

口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的

1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我

们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农

村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现

小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.

（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该

区间的中点值作代表）（精确到元）；

（2）2019年7月，为估计该池能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭

2019年I至6月的人均月纯收入如下表：

月份/2019（时间代码工）2356

人均月纯收入（元）275365415450470485

由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，

请求出回归直线方程：由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭

202（）年第一季度（1,2,3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的：，从4月份开始，每月的人

4

均月纯收人均为预估值的由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；

**

①可能用到的数据：£内=9310；

r=l

6_

.、1苍凹=6冷,八

②参考公式：线性回归方程亍=陵+4中，。=号--------，a=y-bx.

斗2-6J2

2（）.已知椭圆6：土+与=1（〃＞。＞0）的左焦点为/（-0,0），月.经过点C（-五,1），A8分别是G

a2b2

的右顶点和上顶点，过原点。的直线/与G交丁p,Q两点（点。在笫一象限〉，且与线段月/3交

于点M

（1）求椭圆G的标准方程：

（2）若的面积是△8MQ的面积的4倍，求直线/的方.程.

21.已知函数/（x）=lnK+x+l,g（x）=/+2x.

（I）求函数y=〃x）-g（"）的极值;

（2）若实数为整数，且对任意的x＞。时，都有/（%）-%（对《。恒成立，求实数"2的最小值.

22.］选修4一4：坐标系与参数方程」

直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为F="8sa（々为参数），曲线c,：《+）舱=1.

y=sina“3

（1）在以。为极点，x轴的E半轴为极轴的极坐标系中，求G，Q的极坐标方程；

（2）射线0=，夕20）与G异于极点的交点为4与G的交点为从求|AB|.

3

23.［选修4-5：不等式选讲］

已知函数

（1）若/（x）弄加-1|恒成立，求实数利的最大值；

（2）记（1）中〃?的最大值为正实数4〃满足/+〃2=M,证明：a+gab.

参考答案

1.答案：D

解析：

2.答案：B

解析：

3.答案：A

解析：

4答案:C

解析：

5.答案：A

解析：已知tana--1=--=tanQf-,解得tana=1，

I4）31+tana2

c7,2cos（Xsin-ct13n~ct、以正E）/古/n、4日玄「3

cos2a=cos-a-sin'a=——；---------,—=--------；—，1等正切值代入得到-.

cos'a+sin*a1+tan'a5

故答案为：A.

6.答案：B

解析：根据程序框图可知：

s=s+lg±z=z+l/<3输出S

初始值11

第1次循环1+lg]2是

J

,,1,2

第2次循环l+lg-+lg-3是

・J

23

第3次循环l+lg-+lg-+lg-=l-lg44否l-lg4

7.答案：D

解析：正方体的展开图的立体图形如图所示:

由图知：

直线AB与直线CD为异面直线，故A8错误;

连接CE,,因为AB//CE,所以Z.DCE或其补角为异

面直线与C。所成角.

又因为ADCE为等边三角形，所以NDCE=60.

所以宜线与直线8异面且所成的角为60。,故C错误，。正确.

故选。

8.答案：C

解析：

9.答案：B

解析：

10.答案：C

解析：由图可得，上半年的平均月收入为4°+60+3。+*)+50+6()=万,故A正确.

6

由图可得，月收入的方差大于月支出的方差，故B正确.

由图可得，1/2月的月收入(单位：万元)分别为：40,60,30,30,50,60,80,70,70,80,

90,80,所以中位数为："吆2=65,故C错误.

2

由图可得，1-12月的月结余(单位：万元)分别为：20,30,20,20,30,30,60,40,30,39,

50,30,所以月结余的众数为30,故D正确.

故选：C.

11.答案：D

解析：设双曲线右焦点为"，连接产/；,左焦点/(-H))到渐近线y=-2x的距离为小故

a

|E41=3/2,在△£40中，cosZAFO=-,由双曲线定义得|P£|=4)-2a,在APg中，曰余弦定

c

理得(48-2〃)2=(4炉+(2c)2-2x4)x2°/,整理得]6必-16时=4(c?_/)=破，即劝=而，又

c

/+从=25,解得/=9、6=16,故双曲线方程为：—-^-=1,故选D

916

12.答案：C

x

解析：由题得f\x)=e-1,设切点(r,/(/)),则/'(/)=e'一/，,⑺=/一1；

则切线方程为：y-(e1-/)=(^一l)(x_),即y=(，-])x+e'(l-又因为y=ar+。，

所以。="_1，〃="(1_/),则6+/7=_]+2/_〃，令8(。=_1+2/_〃，则/(，)=(1_/)/，

则有/>1,g\t)<0;/<1，&'(1)>0,即g(f)在(-00,1)上递增，在(1,+co)上递减，

所以/=1时,g(t)取最大值g([)=-]+2^-e=e-1,即〃+/?的最大值为e-\.故选C

13.答案：A

解析：构造函数/*)=*，易得/0)在区间(0,e)单调递增，在区间七”)单调递减。

x

对于4选项：皿2＜2=也＜小显然成立

e2e

于于4选项：202/。＞202030蚂4＞码丝显然错误

20212020

对于C选项：2岳＞15=2=吧＞^^显然错误

24后

对于。选项：36历2＞4拉。色¥＞处显然错误

2V2e

故选A

14.答案：-4

解析：

15.答案：/(-log35)=-/0og35)=-(-l)=-4

解析：囚为/(八)是定义在RU勺奇函数，所以f(0)-1+，〃-。.所以〃z=-1.所以

/(-log35)=-/(log35)=-(-l)=-4.

16.答案：8,12招

解析：如图所示，设正三楂柱上下底面的中心分别为«,2.

底面边长与高分别为尤力，则。4=无］，在R/AZM。、中，—+—=4，

2343

.fr2+17-r2V

化为〃2=16...s=3xh:.S2=9x2h2=12x2(12-X2)„12^——j=432,

当且仅当x=卡时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为S=126.

故答案为：8,12G

17.答案：(1)由y=2q-l得：％=【，•

因为S”-5n_,=(24-〃)-(2%-(〃-1))(〃22),

1

所以an-24T+，

从而由q+1=2(4_1+1)得乌±L=2(//>2),

%+1

所以｛q+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)由⑴得q=2”-1,

2(\-4n+i)

2z/+l

所以q+a3+a54-----=(2+2'H------------i-2j—(n+1)=——j------5+1)

_22,,+3-3«-5

—1•

3

解析：

18.答案：⑴因为必J_底面A3C，非u底面ABC，

所以易知3f_LAC，E4DAC=A，所以面B4C，-

因为比:u平面8所，所以平面8E尸JL平面产AC

(2)因为EB,EC,E尸两两垂直，所以以E为坐标原点，分别

以EB,EC,EF的正方向为x,y.z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则E(0.0,0).B(x/3,0,0),C(0.1,0)M(0,-l,0),P(0,-l,2),F(0,0,l)，

用=("］，一2),肥=(-6,1,0)，设平面的一个法向量

为〃?=(x,y,z)，

由得『富：；°，不妨设＞1，则产z=5所以正=(i,疯处

设而=ZPB=(644-2%)，则/=/+而=42-2/1)，

由题知：卜os(而，砌=兽"=—2、=叵,

'叫时"J4储+4(1-7

即4分_4/1+1=0,解得/1二'所以在线段距上存在点G为的中点,

9

使得直线4G与平面所成的角的余弦值为五.

7

解析：

19.答案：(1)由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在16,7)的频率为0.18,

所以频率分布直方图如下：

」.…u0.5-0.04-0.10-0.37「2一“’.、

中位数为5+-----------------=5+—=5.133（十兀），

0.3015

=2.5x0.04+3.5x0.10+4.5x0.32+5.5x0.30+6.5x0.18+7.5x0.06=5.16（千元）.

1+2+3+4+5+6275+365+415+450+470+4852460

（2）解:由题意得汇==3.5,y==410,

666

6

Ex；=1+4+9+16+25+36=91,6xx2=6x3.5?=73.5，

/=1

所以辛£—6D_9310-6x3.5x4109310-8610700

改-6/91-73.591-73.5-nJ

r=l

a==410-40x3.5=270,

所以回归直线方程为加40x+270,

设丁为2020年该家庭人均月纯收入，则x=13,1415时，y=l(40x+270),

即2020年前三月总收入为:(790+830+870)=830元；

4

当x=16/7,…,24时，>=一(40x+270)=32x+216,

5

即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728,760....984,

构成以32为公差的等差数列，

所以4月份至12月份的总收入为WB；984)=？72,

所以2020年该家庭总收入为：830+7704=8534>8000,

所以该家庭2020年能达到小康标准.

解析:

c=V2,4=2,

2I

20.答案：解：（1）：依题意可得=1,解得〃="

a1=b2+c2.

所以椭圆的标准方程为三十二=1.

42

（2）设MC%,%）,。（七,兄），则。（一为，一券），易知。<不<2,0<y0<1.

由42,0）,8（0,72）,所以直线4?的方程为x+&），-2=0.

若使△8QP的面积是△8WQ的面积的4倍，只需使得|OQ|=4|MQ|,

口心=?□.

XQ4

y-kx22k、

设直线/的方程为），=依，由x+向，-2=。得‘时

1+5/2^1+\/2.k)

2k

由,-Q

'\ll+2k2)’

代入口可得14/一18巨+7=0,即：7k2-9y/2k+-=0

2

w用〃9灰土89百土8

解得k=-------,所以y=----------x.

1414

解析：

21.答案：⑴设e(x)=/(x)—g(x)=lnx-f—x+i.

—"MN)

XX

令e'(x)>o,贝i」o<x<；；d(x)v0,则x>；；

*,•9（X）在（0,；g，+8）上单调递减,

上单调递增,

・•・8(x)极大=尹(；)=；一M2,无极小值.

⑵由/(力一〃?g(A)<0,即Inx+x+1-〃?(犬+2x)W0在(0,-H»)上恒成立,

・・