四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（九）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（九）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2,5，集合B=2,3,5，则∁A.4 B.2,5 C.1,3,4 D.1,2,3,52.已知复数z满足1+2iz=4+3i，则A.15 B.55 C.3.已知向量a=(1,0)，b=(2,3)，c=(1,−1)，若(λa+A.−5 B.−1 C.1 D.54.在一张半圆形纸片(圆心为O)内部剪掉一个小半圆形(圆心为O)，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是(

)A.π6 B.π5 C.π45.若函数y=tanωx的对称中心与函数y=sinx的对称中心重合，则A.1 B.12 C.±1 D.6.直线l的方程为l:5x+39y+1=0，则圆C:x2+y2A.4 B.2 C.1 D.37.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1与F2,A是双曲线C的左顶点，以A.2 B.3 C.2 8.已知函数f(x)=x3+ax+b，a，b∈R.x1，x2∈(m,n)且满足f(x1)=f(n)，f(x2A.n+2x1与m−2x2均为定值 B.n−2x1与m+2x2均为定值

C.n−2x二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.2025年9月20日，四川省城市足球联赛(简称“川超”)开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在10,50的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则(

)

A.a=0.03

B.该场观众年龄众数的估计值为40

C.该场观众年龄50%分位数的估计值为35

D.该场观众年龄平均数的估计值为3510.已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，a1+A.q=2 B.S6S3=9

C.11.事件A、B是随机试验中的两个事件，PA≠0、PB≠0，且PA+PA.事件A、B一定不相互独立 B.若PA=14，则PAB=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.x2−2x6的展开式的第413.已知函数fx=x−aexa∈R，若曲线y=fx14.某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则P(X=5)=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足sinB+sinC=2(1)证明：a(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且|AB|=3，|BD|=1，当点C运动时，探究|CD|−|CA|是否为定值?16.(本小题15分)在△ABC中，∠ACB=π3，AC=4，BC=2，M为AC的中点，如图，沿BM将△CMB翻折至△DMB位置，满足(1)证明：平面DMB⊥平面ABM；(2)线段AB上是否存在点P，使得P在平面DAM内的射影恰好落在直线DM上．若存在，求出AP的长度；若不存在，请说明理由．17.(本小题15分)

某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表：电脑机型甲乙丙概率111

(1)某物管公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记η表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求η的分布列及数学期望．

(2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示.若销量Y(台)与单价X(元)服从线性关系Y=−0.1X+a，且该机型电脑的出厂价为3605元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价．18.(本小题17分)已知O为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2,A为C的左顶点，过右焦点F的直线与C(1)求C的方程．(2)求△POQ面积的最小值．(3)试问x轴上是否存在定点T，使得TP⋅TQ为定值，若存在，求出T19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x+1)ex−a．

(Ⅰ)当a=0时，若曲线y=f(x)在点P处的切线与x平行，求点P的坐标；

(Ⅱ)求证：对于任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，都有f(x2)−f(x1)x参考答案1.C

2.C

3.C

4.D

5.D

6.D

7.D

8.D

9.AC

10.AB

11.AC

12.−160

13.−∞,−4∪14.2310515.解：(1)证明：由sinB+sinC=2sinAcosB，

结合正弦定理可得b+c=2acosB，

结合余弦定理可得b+c=2a×a2+c2−b22ac，

则bc+c2=a2+c2−b2，即a2−b2=bc;

(2)∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

由sinB+sinC=2sinAcosB，

可得sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，

即sinB=sinAcosB−cosAsinB，

即sinB=sin(A−B)，

∵A，B∈(0,π)，

∴B=A−B，或B+A−B=π(舍)，

即A=2B．

由正弦定理可得asinA=bsinB，

即asin2B=bsinB，a2sinBcosB=16.解：(1)在△ABC中，由余弦定理可得AB=23，则AB⊥BC．

又M为AC的中点，

则MA=MB=MD=DB=12AC=2．

取BM的中点O，显然有OD⊥BM．

在△AMO中，∠AMO=120∘，

由余弦定理可得AO=7，

可得DA2=OD2+OA2，所以OD⊥OA，

因为BM∩OA=O，BM、OA⊂平面ABM，

故OD⊥平面ABM，

因为OD⊂平面DMB，

所以平面DMB⊥平面ABM．

(2)建立空间直角坐标系如图，

则C(0,3,0)，B(1,0,0)，M(−1,0,0)，A(−2,−3,0)，D(0,0,3)，

故MA=(−1,−3,0)，MD=(1,0,3)，AB=(3,317.n0123P1221111320

396518.解：(1)设C的焦距为2c，则c2=a2+将x=c代入C的方程，得c2a2所以PQ=2b所以△APQ的面积为12由b2a所以C的方程为x2(2)由(1)知F2,0，易知直线PQ斜率不为0设直线PQ:x=my+2,Px由3x2−y1易知y1y2S▵POQ设p=1+m因为函数y=4p−3p所以当p=1时，y=4p−3p则S▵POQ=64p(3)假设存在，不妨设Tt,0则TP==将y1+y可得TP=若TP⋅TQ为定值，则解得t=−1，此时TP⋅所以x轴上存在定点T−1,0，使得TP

19.P(−2,−e−2)

证明：要证对于任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>1e，

即证f(x2)−f(x1)>1e(x2−x1)，

即证f(x2)−1ex2>f(x1)