甘肃定西市岷县第一中学、第二中学、第三学校、第四中学2025-2026学年高三三诊模拟考试数学试题 含答案

/2025-2026学年岷县第一中学､第二中学､第三学校､第四中学高三三诊模拟考试（数学）试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合．1.集合的元素个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【分析】根据集合的代表元素及需满足的条件，用列举法表示出集合，即可得到结果.【详解】解：所以集合中含有个元素故选：本题考查列举法表示集合及集合元素的个数问题，属于基础题.2.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A.24 B.48C.60 D.72【正确答案】D【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.【考点】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．3.函数是（）A.奇函数，且最小值为 B.奇函数，且最大值为C.偶函数，且最小值为 D.偶函数，且最大值为【正确答案】D【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A、B不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解.【详解】由函数，可得其定义域，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，因为，所以为的一个周期，不妨设，若时，可得，因为，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得；若，可得，因为，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得，综上可得，函数的最大值为，最小值为.故选：D.4.“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（）A.小明根据散点图判断气温与日期无相关关系B.小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为）C.小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱D.小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关【正确答案】D【分析】由散点图，回归直线方程的性质，变量间的相关关系分别判断即可求解．【详解】对于A，观察散点图，横轴代表日期，纵轴代表气温，图中的散点分布并不是杂乱无章的，而是呈现出一种带状分布，且整体趋势是随着日期的增加，气温也在逐渐升高，这种趋势表明气温与日期之间存在密切的联系，即存在相关关系，故A错误；对于B，回归直线方程中，斜率反映了变量随的变化趋势，若表示变量随的增大而增大，为正相关，若表示变量随的增大而减小，为负相关；由散点图可知，气温随日期的增大而升高，属于正相关，所以回归方程的斜率应为正数，而小华计算最高气温与日期的经验回归方程斜率为，故B错误；对于C，的值越大，相关性越强，小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很强，故C错误；对于D，由散点图可知，无论是最高气温还是最低气温，其数据点都呈现出随日期增加而上升的趋势，为正线性相关，故D正确．5.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量()A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等【正确答案】D【详解】正n边形n条边相等,故这n个向量的模相等.故选：D.6.已知曲线在处的切线方程是，则与分别为A.5， B.，5 C.，0 D.0，【正确答案】D【分析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5，得到纵坐标即f（5）．【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．故选D．本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．7.如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用向量线性运算可得，令可得，利用四点共面和基本不等式可求得的最小值，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】连接，由题意知：；令，则，，四点共面，（当且仅当时取等号），；设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，又，，，即的最小值为.故选：C.关键点点睛：本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解.8.已知，其中i为虚数单位，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念即可求解.【详解】因为，所以所以.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为等比数列，其前项和为，公比为，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则【正确答案】BCD【分析】利用等比数列的通项公式与前项和公式计算即可逐一判断.【详解】对于A，为等比数列，，则，，故A错误；对于B，因为等比数列，则，又，因，故，即B正确；对于C，当时，因，，所以，故C正确；对于D，由，得，则，所以，又，即，又因为，即，因，则得，故D正确.10.设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（）A.若A与B相互独立，则B.若A与B互斥，则C.若，则D.若，则【正确答案】ACD【分析】对于A，利用和事件的概率公式，及相互独立事件同时发生的概率公式即可求解；对于B，利用互斥事件的关系即可求解；对于C，根据积事件的概率公式，及事件的关系即可求解；对于D,根据和事件的概率公式求出再由相互独立事件的定义得到A与B相互独立再利用和事件的概率公式即可求解【详解】若A与B相互独立，则，∴，故A正确；若A与B互斥，则，∴，故B错误；∵，∴，∴，故C正确；∵，∴，∴A与B相互独立.∴与B相互独立，A与相互独立.∴，故D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，的最小值为B.若有两个极值点，则实数的取值范围为C.当时，的值域为D.若存在，使得成立，则实数的最大值为【正确答案】BCD【分析】A选项，求导后求单调区间，进而求最小值即可；B选项，将问题转化成有两个不同的解，构造新的函数，使和有两个交点即可；C选项，直接利用导数分析的值域即可；D选项，令，设出的根，保证即可.【详解】，求导得A选项，当时，，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即的最小值为，所以A选项错误；B选项，有两个极值点，等价于有两个不同的实数根，即有两个不同的解，令，则，在上单调递减，在上单调递增，则，且当时，；当时，；且时，，，所以当时，有两个不同的解，即有两个极值点，所以B选项正确；C选项，若，则，，所以在定义域内单调递增，当时，；当时，；则的值域为，所以C选项正确；D选项，存在，使得，即存在，使得，令，则，由B选项解析可知，当时，若，则，不妨设为的根，即，当，单调递减，当，单调递增，则在处取得最小值，，需要满足存在，使得成立，令，则，其中，令，解得，所以在上单调递减，在单调递增，则，此时满足题意，所以，所以D选项正确.本题需要构造不同的函数，利用新函数的导数去研究原函数的单调性和取值范围，构造函数的时候需要注意自变量的取值范围.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.角终边经过点，且，，则实数a的取值范围是__________.【正确答案】【分析】根据三角函数定义解题即可【详解】由于，，根据三角函数定义得到，解得.故答案为.13.若实数，满足，则的最大值为______.【正确答案】【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.【详解】由，得，设，其中，则，从而，故记，则，要求最大值，则只需考虑，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为.14.已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为______．【正确答案】【分析】利用余弦定理、基本不等式可得，进而有时，的周长最大，结合抛物线对称性，设，应用抛物线的定义及点在抛物线上求参数，即可得答案.【详解】设，，在中，，由余弦定理得，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，即时，的周长最大，此时不妨设点，所以，化简，解得（舍去），故抛物线的标准方程为．故四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，，边上的中线，相交于点．（i）求；（ii）求．【正确答案】（1）（2）（i）；（ii）【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及辅助角公式得到关于的方程进而得解；（2）（i）通过求向量的模长即可得结果；（ii）通过余弦定理求出，（法一）根据重心的性质求出和，最后通过余弦定理可得结果；（法二）通过求得到结果.【小问1详解】由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴．∵∴，即．【小问2详解】（i）∵，∴．（ii）在中，由余弦定理得，即（法一）由题知是的重心，∴，∴，在中，由余弦定理得．（法二）又，∴．∴．16.甲､乙两位同学进行一场乒乓球比赛，约定采用五局三胜制，当一人赢得三局胜利时，该同学获胜，比赛结束，在每局比赛中，都不会出现平局，且甲同学先发球该局甲获胜的概率为，乙同学先发球该局甲获胜的概率为．经抽签，第一局甲先发球，第二局乙先发球，依次轮流发球．（1）求甲连胜三局的概率．（2）求需要进行第五局比赛的概率．（3）比赛结束时，设甲获胜局数为X，求X的分布列和数学期望．【正确答案】（1）（2）（3）X的分布列为X0123P数学期望为【分析】（1）利用概率的乘法公式计算；（2）分甲发球的两局甲都胜，其余都负、乙发球的两局甲都胜，其余都负、甲发球的两局甲胜一局，乙发球的两局甲胜一局，其余都负三种情况求出概率；（3）根据独立事件和互斥事件结合前两问逐一求出概率，最后利用期望公式求出.【小问1详解】甲连胜三局的概率．【小问2详解】需要进行第五局比赛，说明前四局甲胜两局负两局，有三种情况：甲发球的两局甲都胜，其余都负，其概率为34乙发球的两局甲都胜，其余都负，其概率为1−3甲发球的两局甲胜一局，乙发球的两局甲胜一局，其余都负，其概率为C2故需要进行第五局比赛的概率为．【小问3详解】X的所有可能取值为0，1，2，3P(的情况是比赛四局，前三局甲胜一局负两局，第四局甲负，则甲发球胜一局的概率为C2乙发球甲胜一局的概率为1−3所以；P(P(X=3)=所以X的分布列为X0123P所以．17.设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，．（1）求曲线的方程；（2）设直线的方程为，求直线的斜率；（3）若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）求出的坐标，即可得到的坐标，从而求出抛物线方程；（2）设，，，，联立直线与抛物线方程，求出，的坐标，再由向量的关系求出的坐标，即可得解；（3）推导出，同理，即可得到，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出过定点坐标，再求出的最小值.【小问1详解】抛物线的焦点为，由为线段的中点，可得，所以曲线的方程为；【小问2详解】设，，，，联立，消去x整理得，解得，，则，，因为，则，因为，，则，所以，所以，，即，直线的斜率为；【小问3详解】因为，，，，所以，，因为，所以因为，，，，所以，①由代入①得，由得，因为，，所以，所以，同理，所以且，所以，因为，所以，所以，得，即，设，联立消去x，得，所以，所以，则，所以过定点，则，当且仅当，即时取等号，所以，所以四边形面积的最小值为18.如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，.（1）求证：平面平面；（2）若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为.（ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）求点到平面的距离.【正确答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）【分析】（1）根据题意先证平面，再根据面面垂直的判定即可证明；（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，设点，利用向量法求平面角求出，确定点；（ⅰ）根据空间向量法求线面角即可；（ⅱ）【小问1详解】解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，因此，又因为正方形ABCD，所以，，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】以点A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，，，，，.若存在点P，设点，，设平面PBD的法向量为，，，则，令，则，设平面与平面的夹角为，易得平面的法向量为，由已知有，即，整理有，解得，或（舍）；所以，，，（ⅰ）设直线与平面所成角为，，所以，直线与平面PBD所成角的正弦值为；（ⅱ）易知，设点到平面的距离为d，故.点到平面PBD的距离为.19.