河北唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学试题 含答案

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i为虚数单位，则复数的虚部为（）A.-1 B.1 C.-2 D.22.已知向量，若，则（）A.-2 B.0 C.2 D.83.已知集合，则（）A. B. C. D.4.已知，则（）A. B.-1 C. D.-25.若，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.6.设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（）A. B. C. D.7.已知随机变量，随机变量，则（）A. B.C. D.8.在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（）A.11 B.12 C.13 D.14二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.为偶函数 B.在上单调递增C.的最小正周期是 D.的一条对称轴为10.在四棱锥中，平面，，则下列说法正确的是（）A.当时，直线平面PABB.当时，直线CE与PB所成角为C.当时，直线CE与平面PAD所成角为D.当时，三棱锥的外接球表面积为11.设是一个随机试验中的两个事件，记P(AA.若，则B.若，则C.P(D.|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为______．13.已知直线与圆相切，若直线过抛物线的焦点，与的准线相交于点，则__________．14.已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点是边AC中点，，且.（1）若，求的面积；（2）当时，求.16.甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）．已知甲先赢了前两局．（1）若，求：（i）乙获胜的概率；（ii）比赛打满七局的概率；（2）设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围.17.在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为2的菱形，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点．（1）若焦距为12，求的方程；（2）当时，若，证明：轴；（3）若，求的最大值.19.设函数，若有两个极值点，且.（1）求的取值范围；（2）当时，记为最大零点.（i）①证明：有两个零点；②证明：；（ii）比较与的大小，并给出证明.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i为虚数单位，则复数的虚部为（）A.-1 B.1 C.-2 D.2答案：A解析：解答过程：,所以复数的虚部为.2.已知向量，若，则（）A.-2 B.0 C.2 D.8答案：D解析：解答过程：解：，，，解得．3.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解不等式得到，由函数定义域得到，再求交集即可．解答过程：解：，解得，即，，，解得，即，．4.已知，则（）A. B.-1 C. D.-2答案：C解析：思路：根据二倍角公式即可求解.解答过程：由题意得，由于，所以，因此且，则，故C正确.5.若，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先确定焦点位置，再由即可求解．解答过程：解：，，则椭圆焦点在轴，，．6.设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求得曲线在处的切线斜率表达式，再由垂直关系计算可得.解答过程：由可得，所以在点处的切线斜率为，又因为切线与直线垂直，即可得，因此．故选：A7.已知随机变量，随机变量，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据正态曲线的性质逐项判断即可.解答过程：因为，，则，因为，，则，对于A，，A错误；对于B，，故，B错误，对于CD，，，则，D正确；所以，C错误.8.在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（）A.11 B.12 C.13 D.14答案：C解析：思路：差数列的公差为，根据条件推出，判断出当时，；时，，再根据，判断出对取正负的影响，进而可得出结果.解答过程：设等差数列的公差为，所以，因此，所以，所以，，因此，当时，；时，，因为，所以当时，，当时，，当时，，当时，因为，所以；因为，所以，当时，取得最大值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.为偶函数 B.在上单调递增C.的最小正周期是 D.的一条对称轴为答案：BD解析：思路：A利用奇偶性的定义求证；B利用在上的单调性判断；C举反例；D求证即可.解答过程：令，得，故的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误；因为在上单调递增，且，所以在上单调递减，故在上单调递增，故B正确；因为，，所以，故C错误；，所以的一条对称轴为，故D正确.10.在四棱锥中，平面，，则下列说法正确的是（）A.当时，直线平面PABB.当时，直线CE与PB所成角为C.当时，直线CE与平面PAD所成角为D.当时，三棱锥的外接球表面积为答案：ACD解析：思路：对A，以A为原点建立空间直角坐标系，求出时点坐标与向量，验证与平面内两个不共线的向量共面，且不在平面内，可判断线面平行成立；对B，得到​时和的向量坐标，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值判断；对C，得到时坐标与平面的法向量，利用线面角的向量计算公式得到线面角的正弦值判断；对D，得到时三棱锥四个顶点的坐标，设外接球球心坐标，根据球心到各顶点距离相等求出球心与半径，计算得到外接球表面积.解答过程：因为AD//BC,∠以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，由得OE→=OP→对于A：当时，，CE→=(−1,0,12)因为，且不在平面内，故平面，A正确；对于B：时，CE→=(−1,0,12)，PB=(则

cosθ=CE对于C：当时，E(0,25,平面的法向量为AB→=(1,0,0)，设直线与平面所成角为，则

sinα=CE对于D：当时，四点坐标：A(0,0则，所以是直角三角形，其外接圆圆心为，半径，因为平面平面，球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，所以可设外接球球心为0,1,k，则由球心到各顶点的距离相等，可得02解得，所以球心为，半径，故外接球表面积S=4πR211.设是一个随机试验中的两个事件，记，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.答案：ACD解析：思路：根据条件概率公式即可判断A，根据事件的独立性即可判断B，根据德摩根定律即可判断C，根据概率的基本性质即可判断D.解答过程：对于A，若γ≠0，由概率的基本公式有，代入PA则α=由条件概率有，且PAP则有PA对于B，已知PAB=β若，则，这说明事件相互独立，由于PA+P必须有，而事件相互独立并不意味着，故B错误；对于C，由德摩根定律AB因此PA对于D，令PA=x,P由概率的基本性质得max0,要证β−γ≤即证z−xy≤①先证z−xy≤14则z−而函数fx=x1−x因此，z−xy≤②再证−14≤z−所以−z因此xy−当时，此时minxy,因此xy−z≤当时，此时minxy,因此xy−综上所述，有−1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为______．答案：-20解析：思路：由二项式定理，展开式的通项公式求出指定项的系数.解答过程：展开式的通项公式，令，解得：，则，所以的系数为-20.故-2013.已知直线与圆相切，若直线过抛物线的焦点，与的准线相交于点，则__________．答案：10解析：思路：根据直线与圆相切求出斜率，再由直线过焦点得出即可求解.解答过程：因为直线与圆相切，所以，解得或，由知，代入直线方程，可得，当，显然不满足，当时，由，所以抛物线方程为，焦点，准线方程，代入直线方程，可得，即，所以.14.已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________．答案：解析：思路：由欧拉函数的定义可求出，进而得到，可得，再根据错位相减法求和即可.解答过程：因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，则，即，所以集合当时，集合为，则；当时，集合为，则；当时，，则，综上所述，，则，设数列前项和为，当时，；当时，，则，两式相减得，，则,显然满足上式，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点是边AC中点，，且.（1）若，求的面积；（2）当时，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理求出，知道点是边AC中点，再由的面积公式即可得出答案；（2）分别在和进行余弦定理化简即可得出答案.（1）在中，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，又因为点是边AC中点，所以的面积.（2）在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，又因为，解得.16.甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）．已知甲先赢了前两局．（1）若，求：（i）乙获胜的概率；（ii）比赛打满七局的概率；（2）设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围.答案：（1）（i）；（ii）（2）或解析：思路：（1）（i）应用独立事件乘积公式计算求解；（ii）应用n次独立重复试验应用互斥事件概率和公式计算；（2）应用n次独立重复试验和互斥事件概率和公式计算得出概率范围.（1）（i）乙获胜有两种情况：①乙连胜四局，概率为，②乙第三局到第六局胜三局且第七局胜，概率为，所以当甲先赢了前两局时，乙获胜的概率为.（ii）记“比赛打满七局甲胜”为事件，“比赛打满七局乙胜”为事件，则，，所以比赛打满七局的概率为.（2），，由已知整理得：，解得：或，因为，所以或，综上：或时，．17.在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为2的菱形，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）借助面面垂直性质定理与线面垂直判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系后，可求出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得.（1）因为侧面是边长为2的菱形，，所以，取中点，连接，则，又因为，所以，又因为底面侧面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面ABC，所以，因为，满足，所以，又因为平面，所以平面，又平面，所以，因为侧面是菱形，所以，又因为，、平面，所以平面；（2）以为坐标原点，AC，AD，AB所在直线的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，故，，设平面与的法向量分别为、，则m⋅AB=0m⋅AC1令，则，，，，所以，所以，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点．（1）若焦距为12，求的方程；（2）当时，若，证明：轴；（3）若，求的最大值.答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）根据焦距为12可得，进而求出，即可求解；（2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及题设可得，进而求出坐标，即可证明；（3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出|MN||ST|=（1）因为，则，所以，解得，所以的方程为.（2）当时，直线的方程为，设，联立y=−2x+6则Δ=36−4−9−2a而F23a,0，故整理得，同理，所以M，解得（负根舍去），则双曲线，则的坐标为，而方程，即为，解得或，则，所以轴．（3）当时，双曲线，直线的方程为，设，联立y−4=k(则，所以xM将直线与渐近线分别联立得：，因为，令，即，则，则，即时，的最大值为，经检验符合题意．19.设函数，若有两个极值点，且.（1）求的取值范围；（2）当时，记为最大零点.（i）①证明：有两