湖南大学附属中学等校2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷（模拟三）数学试题 含答案

/数学一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域是（）A. B. C. D.2.下列图形中，可以表示函数的是（）A. B.C. D.3.设，且，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.24.设为实数，，若，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.45.命题“”的否定为（）A. B.C. D.6.已知集合，，，则M的子集共有（）A.2个 B.4个 C.8个 D.16个7.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A.30，91 B.31，91 C.30，90 D.31，908.使得函数为减函数，且值为负数的区间为（）A. B. C. D.9.直线与函数的图象的交点个数是（）A. B. C. D.无数个10.设，则（）A. B. C. D.11.为了得到，的图象，只需把正弦曲线上所有点的（）A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变12.（）A. B. C. D.13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（）A. B. C. D.14.函数是幂函数，则实数的值是（）A. B. C.或 D.且15.设，则的值为A.0 B.1 C.2 D.-116.某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为A. B. C. D.17.下列函数中，在区间上为增函数的是.A. B. C. D.18.已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19.计算_____________20.请写出一个满足以下两个条件的函数______.①是偶函数；②在上单调递增.21.若一次函数的图象经过点，则______．22.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______．三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求a，b的值；（2）求这100名员工月销售额的第70百分位数；（3）若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率.24.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值及单调增区间.25.如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.

数学一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由.所以函数的定义域为.2.下列图形中，可以表示函数的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由函数的定义即可得解.解答过程：通过平移直线，只有B选项的图象满足：其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意.故选：B.3.设，且，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：B解析：思路：由基本不等式的乘“1”法即可求解.解答过程：，等号成立当且仅当，所以的最小值为4.故选：B.4.设为实数，，若，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.4答案：A解析：思路：根据集合相等得到，解得即可.解答过程：因为，若，所以，解得.故选：A5.命题“”的否定为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用全称量词命题的否定直接判断得解.解答过程：命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求的否定是.故选：B6.已知集合，，，则M的子集共有（）A.2个 B.4个 C.8个 D.16个答案：C解析：思路：根据给定条件，求出集合，进而求出其子集个数.解答过程：由集合，，得，所以集合的子集个数为.故选：C7.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A.30，91 B.31，91 C.30，90 D.31，90答案：D解析：思路：根据平均数、方差的性质计算可得．解答过程：因为，，，，的平均数是10，方差是10，所以的平均数是，方差是．故选：D．8.使得函数为减函数，且值为负数的区间为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用正弦函数的图象与性质判定选项即可.解答过程：由的图象与性质可知时，函数单调递减，且函数值为负数.故选：C9.直线与函数的图象的交点个数是（）A. B. C. D.无数个答案：A解析：思路：利用余弦函数的有界性可得结论.解答过程：因为，故直线与函数的图象没有公共点，故选：A.10.设，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：结合完全平方公式及三角函数平方关系求解即可.解答过程：因为，，所以.故选：D.11.为了得到，的图象，只需把正弦曲线上所有点的（）A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变答案：B解析：思路：根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果.解答过程：，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．故选.12.（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由差角公式计算即可.解答过程.故选：D13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由正弦定理可求得，进而由同角的平方关系可求.解答过程：在中，由正弦定理可得，即，解得，且不等于0，当为锐角时，，当为钝角时，.综上所述.故选：B.14.函数是幂函数，则实数的值是（）A. B. C.或 D.且答案：C解析：思路：根据幂函数的定义列方程求解即可.解答过程：由幂函数的定义知，即，解得或．故选：C15.设，则的值为A.0 B.1 C.2 D.-1答案：B解析：思路：选取解析式代入可得结论．解答过程：由题意．故选：B．方法提示：本题考查分段函数，分段函数求值关键是要判断自变量的范围，根据不同范围选取不同的表达式计算．16.某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为A. B. C. D.答案：C解析：思路：样本点总数为9，取出的球恰好是白球含4个样本点，计算得到答案.解答过程：从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为,故选：C.方法提示：本题考查了古典概率的计算，属于简单题.17.下列函数中，在区间上为增函数的是.A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A的底数大于0小于1、C是图象在一、三象限的单调减函数、D是余弦函数，在（0，+∞）上不单调，B的底数大于1，在（0，+∞）上单调增,故选B考点：函数的单调性点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键．18.已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解.解答过程：函数在上单调递增，依题意，，而，因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根，函数在上单调递减，函数值集合为；在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根，得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19.计算_____________答案：解析：思路：借助对数运算法则计算即可得.解答过程：.故答案为.20.请写出一个满足以下两个条件的函数______.①是偶函数；②在上单调递增.答案：（答案不唯一）解析：思路：根据偶函数和增函数的定义结合基本函数求解即可.解答过程：因为是偶函数，且在上单调递增，所以函数可以是（答案不唯一），故（答案不唯一）21.若一次函数的图象经过点，则______．答案：3解析：思路：根据一次函数图象经过的点求出解析式，进而可求函数值.解答过程：因为一次函数的图象经过点，所以，解得，所以，所以，故答案为:3.22.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______．答案：1解析：思路：根据余弦定理计算即可.解答过程：,故1.三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求a，b的值；（2）求这100名员工月销售额的第70百分位数；（3）若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率.答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解；（2）根据百分位数的概念求解；（3）根据古典概型列出基本事件计算得解.（1）由已知得，所以，又因为，所以，.（2）由于样本在的频率为，在的频率为，所以这100名员工月销售额的第70百分位数为.（3）月销售额在这一组的人数为.其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b，从中随机抽取2人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，其中，事件“至少有一名女职工”包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，所以，所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为.24.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值及单调增区间.答案：（1）（2）最大值为，单调增区间为，解析：思路：（1）借助降幂公式与辅助角公式将化为正弦型函数后即可得；（2）运用正弦型函数的性质计算即可得.（1），则；（2）由，故，即函