江苏南菁高级中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试题 含答案

/江苏省南菁高级中学2025-2026学年度第二学期高二年级期中考试数学试卷本试卷满分150分考试时间120分钟一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，每小题5分，共40分）1.已知函数满足，则（）A.1 B.-1 C. D.【正确答案】A【分析】利用导数的运算法则先求导，再求即可.【详解】由题意得：，所以，解得，故选：A.2.方程的解集是（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】，根据组合数的定义，应满足：，解得：，又因为，则或，即：或，所以或，方程的解集为.3.随机变量X的分布列为：X123Pa则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用分布列的性质计算即可求解.【详解】由题意可得，解得，所以.故选：C.4.函数的部分图象大致是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据函数的对称性和单调性判断图像的大致形状，对照各个选项可得答案.【详解】因为，所以是奇函数，函数图像关于原点对称，可排除B．对部分求导可得：，所以在上为负，在上为正，所以在上单调递增，在上单调递减，结合图像函数在时的图像形状应当是先上升再下降，同时排除A，D．5.已知函数在处取得极小值，则（）A. B. C.1 D.3【正确答案】B【分析】先对函数求导，利用极值点的导数等于0求出的可能值，再利用导数分析函数的单调性讨论求出．【详解】函数求导得，由题意知，则，解得或，当时，，由或；由.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值.当时，，由或；由.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极大值.满足条件的是．6.某单位安排甲、乙、丙、丁4人在国庆7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲连续值班3天，乙连续值班2天，丙、丁各值班1天，则不同的值班安排方法种数为（）A.28 B.24 C.20 D.16【正确答案】B【分析】按照甲连续值班的情况分类讨论，结合排列数和组合数计算出每种情况下的安排方法种数，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】记国庆7天假期的编号依次为1，2，⋯，7，则甲、乙值班安排方法的情况及相应值班安排方法种数如下表：甲乙不同的值班安排方法种数1，2，34，55，66，72，3，45，66，73，4，51，26，74，5，61，22，35，6，71，22，33，4根据分类加法计数原理可知共有（种）不同的值班安排方法.故选：B．7.已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】因为所以由全概率公式可得.8.设是定义在R上的连续的函数的导函数，（e为自然对数的底数），且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数单调性即得.【详解】设，则，∵，∴，函数在R上单调递增，又，∴,由，可得，即，又函数在R上单调递增，所以，即不等式的解集为.故选：C．二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，每小题6分，共18分）9.盒子内有7个大小相同的球编号为，其中有4个蓝球，3个红球，现从中取出3个球，则（

）A.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种B.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种C.取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种D.取出的3个球中至少有1个红球的取法有种【正确答案】AD【详解】恰好有个蓝球：需从个蓝球中取个，个红球中取个，取法数为：.故A正确，B错误.至少有个蓝球（含蓝红、蓝红）：蓝红：，蓝红：，总取法数.故C错误.至少有个红球（总取法全蓝球取法）：总取法：，全蓝球取法：，总取法数.故D正确.10.镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（）A. B.C. D.【正确答案】BCD【分析】利用独立事件的乘法公式和条件概率公式，以及概率的加法公式求解即可.【详解】事件表示第一位出场和第二位出场的都是男教师，，A错误；表示第一位出场是男教师的情况下，剩余男女，第二位出场是男教师的概率为，故，B正确；，有两种情况，第一种：第一位出场的男教师，且第二位出场的是男教师，概率为，第二种：第一位出场的女教师，第二位出场的是男教师，概率为，故，，C选项正确；，D选项正确.故选：BCD11.已知函数，则（）A.若，则直线为曲线的一条切线B.若，则C.若，函数在的切线与的图像交于另一个点，则D.若函数有三个零点，则【正确答案】ACD【分析】先代入确定函数解析式，再求导得到导函数，结合切线斜率为12列方程求出切点横坐标，代入原函数算出切点纵坐标，最后由点斜式写出并整理切线方程，验证该直线存在即可判定选项A正确；先代入得到解析式，分别求出与代入一特殊值可快速判断选项B错误；函数求导，写出切点处切线方程，联立函数与切线方程，因式分解化简得到方程根，得出两交点横坐标的关系式，进而判定选项C正确；先将三次函数因式分解为三根形式，利用导数乘积法则求出各根处导数值，代入所求代数式通分合并，化简分子恰好抵消为，整体式子值为，从而证明选项D正确.【详解】对于选项A：当时，，求导得.令，即，解得或.当时，，曲线在点处的切线方程为，整理得，所以直线为曲线的一条切线，故A正确.对于选项B：当时，，令，则f−1−1+对于选项C：函数在的切线方程为，与联立可得，所以2x所以或2x2故或2x2所以或x−x所以，故，时，，故C正确.对于选项D：，假设有三个零点，满足fxi=0i可令fxf'所以f'同理f'故1=x三、填空题（将答案填写在答题卡上，每小题5分，共15分）12.若（）的展开式中存在常数项，则的最小值为______.【正确答案】5【详解】展开式的通项为：，令，得，因为，所以当时，取得最小值5.13.若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________.【正确答案】【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算即可.【详解】因为，，所以，，因为，所以.设，，则.当时，，在上单调递增，在上单调递增，所以，此时在上单调递增，不合题意.当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，所以，因为函数在上不单调，且，所以，即，所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为.14.已知，，，则的最小值为______．【正确答案】【分析】对已知条件进行变形，结合同构法构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值即可.【详解】由，得，即.取函数，，则.因为，所以在上单调递增，所以，即，所以.记，，则.令，则，解得.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以的最小值为.故答案为.四、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，本题共5小题，共77分）15.已知函数.（1）当时，求在上的单调区间；（2）当时.证明：，；【正确答案】（1）在上的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）证明见解析【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可.（2）构造函数gx【小问1详解】当时，，则.令，即，，解得，.当时，.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在上的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】当时，，令gx=f则g'x=cosx−12，令当时，.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取得极大值.又g0=sin所以在上恒成立，即在上恒成立，所以当时，，.16.已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成．（1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率；（2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望．【正确答案】（1）（2）分布列见解析，期望为3【分析】（1）根据全概率公式即可计算结果.（2）由题意可知的取值为1，3，5，然后求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望．【小问1详解】设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生”则【小问2详解】，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队,X的可能取值为1、3、5，则,,故的分布列为：X135P数学期望为17.某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研，请解答下列问题：（用数字回答）（1）若每人必须且只能选择一种模型，则有多少种不同的安排方案?（2）若每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型，则：（i）共有多少种不同的安排方案？（ii）若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有多少种不同的安排方案?【正确答案】（1）729（2）（i）540；（ii）160【分析】（1）6位同学独立选择，每人都有3种模型可选，根据分步乘法计数原理计算即可.（2）（i）先将6人分为3个非空组，再将3组分配到3个模型，结合分类加法计数原理计算即可.（ii）按模型是否包含甲乙进行分组，再结合分类加法计数原理计算即可.【小问1详解】若每人必须且只能选择一种模型，则每人都有3种选择，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案有（种）.故每人必须且只能选择一种模型，则有729种不同的安排方案.【小问2详解】（i）先将6人分成3组，有，，三种分法.按分组，有种方法；按分组，有种方法；按分组，有种方法；再将分好的3组全排列，安排到3种模型，有种排法.所以共有15+60+15×6=540（ii）甲负责模型：从除甲、乙外的4人中选1人负责模型，有种.剩余4人分配到、两种模型，共有种，剩余4人全在模型或模型，有2种，所以此类方案数：4×16−2乙负责模型：有4×16−2=56甲、乙都不负责模型：从剩余4人中选2人负责模型，有种.甲负责模型，则乙负责模型，剩余2人均有2种选择，种，乙负责模型，则甲负责模型，剩余2人均有2种选择，种，所以此类方案数：6×4+4故共有种不同的安排方案.18.已知.（1）当时，，求取得最大值时k的值；（2）若f（i）求;（用含n的式子作答）（ii）求证：bk【正确答案】（1）（2）（i）（ii）证明见解析.【分析】（1）将函数直接按二项式定理展开得到各项系数，利用系数全为正的特点，通过相邻两项比较建立不等式组，解出使系数最大的项的序号；（2）（i）通过换元把函数写成以为变量的多项式，接着对等式两边关于求导，再代入，直接得到所求系数线性组合的值；（ii）先由二项式定理得到的表达式，再利用2的幂的二项展开和组合恒等式，将其变换为题中所求证的和式形式.【小问1详解】当时,,,则，显然时,,设为最大项,其中,当时,得ak≥a解得11−k≥4k又因为且，经验证得.所以取到最大值时,的值为.【小问2详解】（i）由题意知，，令，则，可得2+tn=对求导得，即，令，得，所以.（ii）令，得又因为,所以，而，代入得,由组合恒等式可得，所以，令，则当时，；当时，，所以，即得证.19.设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质．（1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由；（2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围；（3）若函数具有性质，求的取值范围．【正确答案】（1）具有性质，理由见解析（2）（3）【分析】（1）设，利用零点存在定理即可求解；（2）由题意得存在实数，使得，即，即，设，利用导数研究单调性进而求解；（3）由得，，设，利用导数研究单调性，根据的情况分类讨论，进而求解.【小问1详解】由得，，设，当时，，又，则存在，使得，即故函数具有性质；【小问2详解】由得，，因为函数具有性质，所以存在实数，使得，即，即，即存在实数，使得有三个实数根设，则，令，解得或，列表如下：00+0↘极小值0↗极大值