陕西铜川市联考2026届高三下学期模拟预测（三）数学试题 含答案

/数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求）1.已知复数z满足，则（）A.2 B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（）若，则A.4077 B.5436 C.1359 D.27184.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（）A. B. C. D.5.已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（）A. B.8 C. D.6.若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（）A. B. C.2 D.7.等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（）A. B. C. D.8.已知函数f(x)=sinωx−3cosωx(ω>0)，g(x)=A.22π,+∞ B.36π二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.已知，之间的关系满足，假设，若，之间具有线性相关关系，且与对应的线性回归方程为，B.已知随机变量，则C.若，，则D.若随机变量的概率分布为且是常数，则10.主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数B.函数在区间上单调递减C.，使得D.的值为定值11.设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率可能为（）A.3 B.4 C. D.5三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，向量，且，则______．13.的展开式中常数项为__________．14.＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为_________.四、解答题（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤）15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，求的周长；（3）若外接圆的半径为，求数列的前项和.16.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值.17.如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面．（1）证明：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设点为线段上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答．①；②；是否存在满足所选条件的点，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．18.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，求；（2）若函数有两个极值点，求的取值范围.19.甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙；乙传给甲、丙的概率分别为，；丙传给甲、乙的概率分别为，．第1次由甲将球传出，记第次传递后球在甲手中的概率为．（1）求，；（2）求；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则．记前次（即从第1次到第次）传递后球在甲手中的次数为，求．

数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求）1.已知复数z满足，则（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数的除法运算求得复数z，再根据复数模的计算求得答案.解答过程：复数z满足,故，故，故选：B2.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据对数函数的定义域，利用集合的交集，可得答案.解答过程：集合表示函数的定义域，则，则.故选：B.3.某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（）若，则A.4077 B.5436 C.1359 D.2718答案：A解析：思路：利用正态分布的性质，结合区间概率，即可求解.解答过程：学生的抽测成绩服从正态分布，则，由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为，故选：A．4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用余弦定理求出角，再由面积公式求面积.解答过程：中，由，得，由余弦定理，，得，又，所以.5.已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（）A. B.8 C. D.答案：D解析：思路：通过令指数部分为0求出定点坐标，代入直线得到线性关系，再运用基本不等式求最小值即可.解答过程：令，即，，所以恒过定点，因为点在函数的图象上，则有，，当且仅当，即时等号成立.则的最小值为.6.若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（）A. B. C.2 D.答案：A解析：思路：由椭圆与抛物线的基本概念及性质求解即可.解答过程：椭圆的长轴长是短轴长的倍，所以，即，所以，抛物线的焦点为，该焦点为椭圆的右焦点，所以，所以，即.故选：A7.等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得，，化简得，又，，即，故，，，故数列的前20项和为.8.已知函数，，假如，，是曲线，上从左往右依次连续相邻的三个交点，，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先利用辅助角公式化简，再根据函数图象的平移规律得到，数形结合得到为等腰三角形，通过添加辅助线，得到关于的不等式，进而求解的取值范围.解答过程：∵f∴g所以将的图象向左平移个单位长度后可得到的图象，如图所示：是与图象从左往右依次连续相邻的三个交点，为等腰三角形，，由，得sinωx−3cos又因为sin2解得sinωx故交点的纵坐标为，过作交于点，由对称性可知，为等腰三角形，MQ=NQ=1，0°<∠MPQ<45∘，得0<∴tan∠实数的取值范围为3π6,+故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.已知，之间的关系满足，假设，若，之间具有线性相关关系，且与对应的线性回归方程为，B.已知随机变量，则C.若，，则D.若随机变量的概率分布为且是常数，则答案：AB解析：解答过程：对A，，则，，故，故A正确；对B，，故B正确；对C，，故，故C错误；对D，由可知，，而，解得，故D错误.10.主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数B.函数在区间上单调递减C.，使得D.的值为定值答案：ABD解析：思路：由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C．解答过程：因为经过，所以，即，，解得，，又，所以，则，对于A，，时，令，可得，故为奇函数，所以A正确；对于B，时，，对于在上单调递减，可得在上单调递减，所以B正确；对于D，，所以恒为，即对的值为定值，所以D正确；对于C，当，时，，当，时，，当，时，，所以C错误．故ABD.11.设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率可能为（）A.3 B.4 C. D.5答案：BC解析：思路：利用双曲线的定义，结合图形，利用图形的几何性质构造的关系，转化为关于的方程进行求解.解答过程：设双曲线的半焦距为，∵分别为双曲线的左、右焦点，∴，，∵，∴点在双曲线的右支，设的内切圆半径为，则r=设，则，∵，即，∴，设外接圆的半径为R，由正弦定理有：，即a2+即的外接圆半径为，∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍，∴a2+c∴，∴或.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，向量，且，则______．答案：5解析：思路：先根据向量数量积的坐标运算求出，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出.解答过程：，即，解得.∴，，∴，∴.故513.的展开式中常数项为__________．答案：29解析：思路：先求出展开式的通项公式，分别令和，求出k值，代入求解，分析计算，即可得答案.解答过程：展开式的通项公式为，令，解得，则；令，解得，则，所以的展开式中常数项为.14.＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为_________.答案：解析：思路：根据正方体的对称性可知,该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积.解答过程：如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接，∵分别为的中点，则，∴正方体的边长为，故，可得，根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，故该半正多面体外接球的表面积为.故四、解答题（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤）15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，求的周长；（3）若外接圆的半径为，求数列的前项和.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求出；（2）由(1)知，又，可求出边，进而求出周长；（3）由正弦定理可求出，进而求出，再用求和公式即可求出.（1）因为，所以，即，所以.因为，所以.（2）由，得，解得（负根已舍去），所以的周长为（3）设外接圆的半径为，则，所以，得，所以.16.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案.（2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案.（1）由题意，所以，因为，所以，又离心率，解得，联立解得，所以椭圆的标准方程为.（2）将直线与椭圆联立，得，设，则，又，所以，所以.17.如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面．（1）证明：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设点为线段上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答．①；②；是否存在满足所选条件的点，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．答案：（1）证明见解析（2）（3）存在，为线段的中点解析：思路：（1）根据题意可得，结合面面垂直的性质分析证明即可；（2）建系并标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角；（3）设（），可得，，若选①：根据空间向量的数量积运算求解；若选②：可得，结合模长公式运算求解.（1）因为，，则，即．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，因为为等边三角形，且，则，且，以为坐标原点，，，平行的直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，可得，，，设面的一个法向量为，则，令，得，，可得；设平面的一个法向量为，则，令，得，，可得；则，所以平面与平面所成角的余弦值为．（3）由（2）可知，，因为点在线段上，设（），则（），因为，，若选①：存在一点，使得，理由如下：因为，解得或（舍去），所以当为线段的中点时，．若选②：存在一点，使得，理由如下：因为，可得，又因为，即，解得或（舍去），因此当为线段的中点时，．18.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，求；（2）若函数有两个极值点，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先求导，再求，由两切线垂直进而求解；（2）求，令，得，令，进而得与有两个不同的交点，利用导数研究单调性，作出函数图像，利用数形结合即可求解.（1）由题意得：，又，所以，又，又因为在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，所以，所以；（2）由题得的定义域为，又，所以，令，即，令，又函数有两个极值点，所以与有两个不同的交点，所以，令，解得，由，得，由，得，所以在单调递增，在单调递减，所以，作出函数的图像：由图可知：，所以.19.甲、乙、丙三人相