初中数学九年级上册第四章等可能条件下的概率单元复习导学案

初中数学九年级上册第四章等可能条件下的概率单元复习导学案

一、单元整体解读与核心素养导航

【单元地位概述】

本章内容是苏科版九年级上册第四章，是“统计与概率”领域的重要组成部分。它建立在学生已经初步感受随机现象、了解简单概率意义的基础上，进一步系统研究等可能试验背景下概率的计算方法与实际应用。本章既是对小学阶段“可能性”知识的深化与量化，也为高中阶段学习古典概型、几何概型以及更复杂的概率模型奠定了坚实的思维基础和技能储备。在初中数学体系中，它承担着培养学生随机观念、数据分析观念和逻辑推理能力的关键任务，是连接确定性数学与不确定性数学的桥梁。

【课程标准要求】

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本章教学需达到以下要求：一是通过大量重复试验，体会随机事件与概率的意义；二是能区分确定事件与随机事件，了解事件发生的可能性是有大小的；三是能计算简单随机事件发生的概率，特别是通过列表、画树状图等方法列出所有等可能结果，并计算指定事件的概率；四是知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率。这些要求共同指向学生“数据观念”“模型观念”“应用意识”和“推理能力”等核心素养的培育。

【核心素养聚焦】

1.数据观念：通过对随机现象的分析，理解概率是刻画随机事件发生可能性大小的数学模型，能够用概率的眼光看待现实世界中的不确定现象。

2.模型观念：在面对一个实际问题时，能够判断其是否符合等可能条件，并建立恰当的古典概型模型，进而运用列举法或公式法求解。

3.推理能力：在运用列表法或树状图法分析问题时，能够做到不重不漏、有条理地思考，这是逻辑思维严密性的重要体现。

4.应用意识：能将所学概率知识应用于解释游戏公平性、决策判断等生活实际问题，体会数学的应用价值。

【本章重难点定位】

【重中之重】掌握等可能条件下概率的计算公式P(A)=m/n，并能熟练运用列表法和树状图法分析和解决涉及两步或三步试验的概率问题。

【核心难点】准确判断试验结果是否满足“等可能性”这一前提，以及在“放回”与“不放回”、“有序”与“无序”等不同情境下，如何正确构建所有等可能结果的空间。

【高频考点】求简单随机事件的概率（特别是摸球、掷骰子、转盘、游戏公平性等问题）；用列表法或树状图法求概率；概率在实际生活中的应用。

二、知识体系重构与基础自清

【活动设计】请同学们以小组为单位，回顾本章所学内容，尝试用自己喜爱的方式（如思维导图、知识树、概念图谱等）梳理本章的知识框架，并在班级内进行展示交流。此活动旨在激活学生已有的认知经验，将零散的知识点串联成线、编织成网。

【知识清单梳理】

1.确定性现象与随机现象：在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件；一定不会发生的事件称为不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定事件。在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件或不确定事件。

2.概率的定义：一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率。通常用P(A)表示随机事件A发生的概率。

3.等可能性的含义：一次试验中，所有可能出现的结果是有限个，并且每个结果出现的可能性相等。这样的试验称为等可能试验，其概率模型称为古典概型。

4.概率的计算公式：【基础】【核心】一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=m/n。

5.概率的取值范围：【重要】任何事件A的概率P(A)都满足0≤P(A)≤1。其中，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。概率越接近1，表示事件发生的可能性越大；概率越接近0，表示事件发生的可能性越小。

6.列举法求概率：

直接列举法：适用于试验步骤简单、结果总数较少的情况。需注意有序地列举，防止遗漏。

列表法：【高频考点】【重点】当一次试验涉及两个因素（或两个步骤），并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。表格的行与列分别代表两个因素的各种可能情况，交叉格即为一种结果。

树状图法：【高频考点】【难点】当一次试验涉及三个或更多因素（或步骤）时，列表法就不适用了，这时需要采用画树状图法。树状图可以清晰地展示出事件发展的脉络和所有可能的分支路径，是解决多步试验概率问题的利器。

7.频率与概率：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定于某个常数，这个常数就是该事件的概率。频率是试验值的统计值，具有随机性；概率是理论值，是频率的稳定值。

8.游戏的公平性：判断一个游戏是否公平，关键看参与游戏的各方获胜的概率是否相等。若概率相等，则游戏公平；反之，则不公平。

三、典型问题剖析与方法提炼

【环节一】夯实基础，辨析概念

【例1】（基础热身）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？

1.太阳从西边升起。

2.买一张电影票，座位号是偶数。

3.通常情况下，抛出的石块会下落。

4.掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是7。

【解析】本题考查事件类型的判断。必然事件：3。不可能事件：1、4。随机事件：2。解题关键在于把握事件发生的确定性。

【环节二】建模分析，精准计算

【例2】（重点巩固）一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同。

1.【基础】从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率是多少？

2.【重要】从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出第2个球。求两次摸出的球都是红球的概率。

3.【高频考点】【难点】从袋子中随机摸出1个球，不放回，再摸出第2个球。求两次摸出的球颜色相同的概率。

【解析】

问题1：直接运用公式。所有等可能结果有3个（红1、红2、白），事件“摸到红球”包含2个结果（红1、红2）。P(摸到红球)=2/3。

问题2：此为“有放回”问题。试验分两步，涉及两个因素，且每一步都有3种可能。可采用列表法或树状图法。

树状图法：第一层为第一次摸球，有红、红、白三种可能（记作红1、红2、白）；第二层为第二次摸球，由于放回，仍有红1、红2、白三种可能。总共有3×3=9种等可能结果。其中两次都是红球的结果包含：（红1,红1）、（红1,红2）、（红2,红1）、（红2,红2），共4种。P(两次红)=4/9。

问题3：此为“不放回”问题。总结果数发生变化。

列表法：列一个3×3的表格，但要注意对角线上的（红1,红1）、（红2,红2）、（白,白）在“不放回”的条件下是不存在的，因为它们表示第一次和第二次摸到同一个球。所以有效结果总数为3×2=6种。事件“两次颜色相同”包含：（红1,红2）、（红2,红1），共2种。P(颜色相同)=2/6=1/3。

【方法提炼】解决此类问题的关键有三步：一审（审题，明确是“放回”还是“不放回”），二定（确定用列表法还是树状图法），三查（检查所有等可能结果是否“不重不漏”）。【非常重要】

【环节三】联系实际，解决问题

【例3】（热点应用）小明和小华设计了一个转盘游戏。如图所示，两个可以自由转动的转盘A、B，都被等分成三个扇形。转盘A标有数字1、2、3，转盘B标有数字4、5、6。游戏规则如下：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针各指向一个数字（若指针指在分界线上，则重转一次），将所指的两个数字相乘。如果积为奇数，则小明得1分；如果积为偶数，则小华得1分。连续做10次，得分高者获胜。你认为这个游戏公平吗？请说明理由。

【解析】判断游戏公平性，即比较双方获胜概率是否相等。

第一步：列出所有等可能结果。这是一个两步试验问题，且每个转盘的结果有3种，共有3×3=9种结果。可采用列表法。

表格的行表示转盘A的结果（1,2,3），列表示转盘B的结果（4,5,6）。表格中的每个格子为两数之积：

456

1456

281012

3121518

第二步：统计事件包含的结果数。积为奇数的情况有：(1,5)和(3,5)，共2种。积为偶数的情况有9-2=7种。

第三步：计算概率。P(小明胜)=2/9，P(小华胜)=7/9。

第四步：得出结论。因为2/9≠7/9，所以游戏不公平，对小华有利。

【变式思考】若要修改游戏规则使游戏公平，你能提出一个方案吗？引导学生从概率相等入手，逆向设计规则。

四、综合拓展与能力提升

【探究活动】“放回”与“不放回”的深度辨析

【情境】一个口袋中装有4个完全相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4。

任务1：从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，摇匀后再摸出一个球，请计算“两次摸出的球上数字之和为5”的概率。

任务2：从袋中随机摸出一个球，记下数字后不放回，再从剩下的球中摸出一个球，请计算“两次摸出的球上数字之和为5”的概率。

任务3：比较任务1和任务2的结果，思考为什么概率会不同？这体现了概率问题中的什么思想？

【实施过程】

学生分组合作，分别用树状图或列表法完成任务1和任务2。

任务1（有放回）：总结果数4×4=16种，和为5的组合有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4种，概率为4/16=1/4。

任务2（无放回）：总结果数4×3=12种，和为5的组合同样有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4种，但此时总结果数变少，概率为4/12=1/3。

【深度思辨】引导学生发现，虽然满足条件的事件结果数相同，但由于试验方式（放回与否）改变了所有等可能结果的总数，从而导致概率不同。这警示我们在解决概率问题时，必须首先明确试验的具体步骤和规则，这是建模的第一步，也是至关重要的一步。【非常重要】

五、当堂检测与反馈矫正

【A组·基础达标】

1.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数。则掷得点数为奇数的概率是______；掷得点数大于4的概率是______。

2.一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个黄球和2个白球，从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______。

3.两道单选题都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，恰好全部猜对的概率是______。（用列表或树状图分析）

【B组·能力提升】

4.【2018徐州中考改编】不透明的袋中装有1个红球与2个白球，这些球除颜色外都相同，将其搅匀。

(1)从中同时摸出2个球，求摸到的两个球都是白球的概率。

(2)从中同时摸出2个球，求摸到的两个球中恰好有一个红球的概率。

5.甲、乙、丙三位同学玩“手心、手背”游戏。游戏规则：三人同时随机出手心或手背，若恰好有两人出手势相同（手心或手背），则这两人获胜，另一人淘汰；若三人手势完全相同，则平局，重新开始。求一次游戏就能决出胜负（即不是平局）的概率。

【C组·拓展探究】

6.现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字-2，-1，1，2。将这四张卡片背面朝上洗匀。

(1)从中随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字是负数的概率。

(2)先从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并洗匀，再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法，求两次抽取卡片上的数字之积为正数的概率。

(3)若抽取规则改为“从中随机抽取一张卡片，记下数字后不放回，再随机抽取一张”，此时两次抽取卡片上的数字之积为正数的概率是否发生变化？请说明理由，并重新计算。

六、课堂小结与反思升华

【知识内化】

请同学们闭上眼睛，在脑海中回放本节课的内容。

首先，我们复习了概率的核心概念，什么是等可能性？什么是P(A)=m/n？【基础】

其次，我们重点操练了求概率的两件“利器”——列表法和树状图法，大家要明确它们各自的适用场景：两步试验，结果较多时用列表；两步以上或多步试验，用树状图。【重要】

再次，我们特别强调了审题的重要性，尤其是“放回”与“不放回”的区别，这是解题正确与否的关键分水岭。【难点】

最后，我们将概率知识应用到游戏公平性的判断中，体会了数学与生活的紧密联系。

【思想升华】

概率论是研究随机现象的数学分支，它告诉我们，世界并非全是确定的，不确定性才是常态。学会用概率的思维去理解、分析并应对生活中的不确定事件，用数据和逻辑做出理性的决策，这是我们学习本章最大的收获。希望同学们不仅能算对题，更能养成一种“随机思维”和“数据意识”，这将是你们终身受益的核心素养。

七、课后作业与预习指南

【巩固性作业】

完成课本