小学五年级数学《因数与倍数的意义》教学设计（人教版下册）

小学五年级数学《因数与倍数的意义》教学设计（人教版下册）

  一、教材深度解构与学情精准分析

  （一）学科知识图谱中的定位与价值

    “因数与倍数”的认识是“数与代数”领域中的一个核心概念节点，隶属于“数的认识”这一主题范畴。本课内容在人教版五年级下册第二单元《因数与倍数》中处于起始和奠基的关键位置。从知识发展的纵向脉络审视，它上承四年级学习的整数四则运算及整除知识，是学生理解数的组成与关系的一次质的飞跃；下启五年级后续的质数与合数、最大公因数、最小公倍数的学习，更是为六年级深入理解分数的基本性质、约分、通分以及初中学习整式因式分解、分式运算等提供不可或缺的理论基石和思维模型。因此，本课绝非简单的两个定义的学习，而是帮助学生从“运算”视角转向“关系”视角审视整数世界的重要转折点。它旨在引导学生超越具体的计算，去探索整数之间内在的、结构化的联系，初步构建关于整数的“网络化”认知结构，这对于发展学生的抽象思维、逻辑推理能力和模型意识具有不可替代的作用。

  （二）基于核心素养的内涵解析

    本课教学的核心素养指向明确且多元。首先，它直指“数感”的深化发展。学生通过对因数、倍数关系的探寻，能够从“量”（多少）和“关系”（关联）两个维度丰富对整数的感知，理解数不再是孤立的个体，而是处于一个相互依存、相互制约的网络之中，这对于提升学生对数的敏锐度和整体把握能力至关重要。其次，它着力培育“推理意识”。因数与倍数概念的定义建立在严格的整除关系之上，其性质的探索（如一个数的因数个数有限，倍数个数无限；一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身等）需要学生经历观察、归纳、猜想和说理的初步过程，这是逻辑推理训练的绝佳载体。再者，本课内容蕴含着清晰的“模型思想”。“因数”与“倍数”本身就是刻画两个整数之间整除关系的一对数学模型。学生需要理解这一对概念是对具体实例（如12÷2=6）的共性抽象，并学会运用模型去解释和解决新的问题（如寻找一个数的所有因数）。最后，在探究过程中，学生的符号意识、语言表达能力也能得到同步锻炼。

  （三）学习者认知基础与潜在障碍分析

    五年级的学生，其思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已熟练掌握了表内、表外乘除法，具备了较好的口算和笔算能力，对“整除”现象有大量无意识的感知经验（如平均分物品、乘法口诀的逆向思考等）。然而，将这些经验上升为形式化的数学概念，对他们而言仍是一个挑战。其认知准备与潜在障碍主要体现在以下几个方面：

    1.概念抽象性障碍：“因数”与“倍数”描述的是一种关系，而非孤立的数。学生容易将“因数”等同于除法算式中的“除数”，将“倍数”等同于乘法算式中的“积”，而忽略其“相互依存”的二元关系本质。例如，在理解“3是12的因数，12是3的倍数”时，可能割裂看待，难以建立“成对出现”的观念。

    2.语言表述转换障碍：从“12能被3整除”这样的运算语言，转换为“3是12的因数，12是3的倍数”这样的关系语言，学生需要一个适应和练习的过程。语言的精确使用是概念精确理解的体现。

    3.探究方法的系统性缺失：在自主寻找一个数的全部因数或一定范围内的倍数时，学生容易出现遗漏或重复，缺乏有序、全面的思考策略。例如，寻找36的所有因数，可能随机罗列，难以做到不重不漏。

    4.生活经验的负迁移：日常生活中，“倍”常用来表示数量间的比较关系（如“苹果是橘子的2倍”），这与数学中“倍数”的严格定义（基于整除）存在差异，可能造成理解上的混淆。

    基于以上分析，本教学设计将着力于创设结构化、操作化的探究情境，引导学生亲历从具体实例抽象出概念，再运用概念指导探究其性质的全过程，通过丰富的数学活动搭建思维阶梯，化解认知障碍，实现概念的深度建构。

  二、教学目标制定

    依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段“数与代数”领域的要求，结合教材内容和学生实际，确立以下多维教学目标：

  （一）知识与技能目标

    1.结合具体情境和整数除法算式，理解因数与倍数的意义，明确因数与倍数的相互依存关系。

    2.掌握求一个数的因数的方法，能有序地找出一个数的全部因数；掌握求一个数的倍数的方法，能在指定范围内找出一个数的倍数。

    3.能准确判断一个数是否是另一个数的因数或倍数，并能用规范的语言进行表述。

  （二）过程与方法目标

    1.经历观察、操作、比较、归纳等数学活动，发展抽象概括能力和初步的推理能力。

    2.在探索求一个数的因数和倍数的过程中，体会有序思考的重要性，掌握有序枚举的数学方法。

    3.尝试从不同角度（如乘法、除法）分析和解决问题，体验解决问题策略的多样性。

  （三）情感态度与价值观目标

    1.在探索数学知识内在联系的过程中，体验数学的严谨性和趣味性，增强学习数学的自信心。

    2.通过数学史（如完全数、亲和数）的适度渗透，感受数学文化的悠久魅力，激发探究欲望。

    3.在小组合作交流中，学会倾听、表达与质疑，培养合作精神和科学态度。

  三、教学重难点研判

  （一）教学重点

    理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数和倍数的方法。

  （二）教学难点

    1.理解因数与倍数是一对相互依存的概念，不能独立存在。

    2.探索并掌握有序、不遗漏地找出一个数的全部因数的方法。

  四、教学准备

  （一）教师准备

    1.多媒体课件：包含情境动画、互动探究工具（如动态拼摆图形）、概念生成图示、分层练习题组、数学文化微视频等。

    2.教具：数字卡片（1-30）、用于板书的概念关系磁贴。

    3.学习任务单（每人一份）：包含操作记录表、探究引导单、分层练习区。

  （二）学生准备

    1.学具：每人12个完全相同的小正方形纸片（或面积为1平方厘米的方格纸）。

    2.课前知识回顾：复习整数乘除法，特别是整除的概念。

  五、教学过程设计与实施

    【第一阶段：情境激疑，孕伏关系(预计用时：8分钟)】

    环节一：生活情境导入，激活已有经验

      师：（课件出示班级队列训练图片）同学们，学校运动会需要我班组建一个方阵，要求每排人数相等，全班36人，可以怎样排列队形？请大家用手中的12个小正方形（代表12名同学）摆一摆，看看能摆出几种不同的长方形（代表方阵）。将你的摆法和对应的算式记录在学习单的“操作记录表”中。

      （学生动手操作，教师巡视，选取典型摆法：摆成1排，每排12个；摆成2排，每排6个；摆成3排，每排4个。）

      师：谁能将你的摆法和算式分享给大家？

      生1：我摆成了长12、宽1的长方形，算式是12×1=12。

      生2：我摆成了长6、宽2的长方形，算式是6×2=12。

      生3：我摆成了长4、宽3的长方形，算式是4×3=12。

      师：（同步课件演示三种长方形及算式）这三种摆法，长和宽都是整数，面积都是12。从乘法的角度看，1、12、2、6、3、4这些数都与12有着紧密的乘法关系。如果从除法的角度看呢？

      生：12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4，12÷4=3，12÷6=2，12÷12=1。这些除法算式都能正好除尽，没有余数。

      师：像这样，在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。今天，我们就一起来深入研究这种特殊的整数关系——“因数与倍数”。（板书课题：因数与倍数的意义）

    设计意图：从贴近学生生活的“排列方阵”问题切入，借助直观的图形操作（拼摆长方形），将抽象的“数”与形象的“形”相结合。学生通过动手实践，自然呈现出12的所有整数乘法因子对，并顺理成章地引出对应的整除算式。这一过程不仅激活了学生关于乘除法和整除的已有认知，更在具体情境中为“因数与倍数”概念的诞生提供了丰富的、有意义的“原型”支撑，使学生感受到新知识源于实际需要，孕伏了“因数与倍数”描述的是整数间一种特定关系的雏形。

    【第二阶段：操作探究，建构概念(预计用时：22分钟)】

    环节二：基于算式抽象，形成初步概念

      师：我们聚焦12÷3=4这个算式。根据刚才的定义，我们可以说：12是3的倍数，3是12的因数。谁能仿照这个例子，再说说从12÷2=6这个算式中，你能得出什么结论？

      生：12是2的倍数，2是12的因数。

      师：那么，根据12÷4=3呢？

      生：12是4的倍数，4是12的因数。

      师：同学们说得很好。请大家观察这几个表述，有什么发现？

      生：12既是3的倍数，也是2和4的倍数；3、2、4都是12的因数。

      师：也就是说，在一个能整除的算式里，被除数和除数同时具备了两种身份。这就是我们说的“相互依存”的关系。我们不能单独说“12是倍数”或“3是因数”，必须说清楚“谁是谁的”。就像我们不能单独说“小明是弟弟”一样，必须说“小明是小红的弟弟”。请大家同桌互相说一说，从拼摆长方形的其他算式中，找出这样的因数和倍数关系。

      （学生互说，教师巡视指导语言表述的规范性。）

    环节三：概念辨析与巩固

      师：（课件出示）判断下列说法是否正确，并说明理由。

      1.因为15÷5=3，所以15是倍数，5是因数。（）

      2.因为4.5÷0.9=5，所以4.5是0.9的倍数，0.9是4.5的因数。（）

      3.因为20÷4=5，所以20是4的倍数，4是20的因数。（）

      （学生独立思考后全班交流）

      生1：第1题错。倍数和因数是相互依存的，必须说“15是5的倍数，5是15的因数”。

      生2：第2题错。我们研究的因数与倍数，指的是在整数除法中。4.5和0.9都不是整数（或者说是小数），所以不能说因数和倍数。

      师：补充得非常到位！因数和倍数的研究范围是“非零自然数”（或正整数）。这是我们概念的一个重要前提。（板书：研究范围：非零自然数）

      生3：第3题对。符合整数除法且没有余数的条件。

      师：通过辨析，我们对概念的理解更清晰了。谁能总结一下，要说明两个数存在因数与倍数的关系，需要满足哪些条件？

      生：第一，两个数都是非零自然数；第二，大数除以小数（或小数除大数）商是整数，没有余数。

    设计意图：此环节是概念形成的核心。通过从具体算式（12÷3=4）的范例引导，到学生模仿举例，再到同桌互说，实现从“教师示范”到“学生模仿”再到“同伴互助”的表述训练闭环，逐步内化概念的语言表达形式。紧接着设计一组有针对性的辨析题，直击概念理解的三个关键点：依存关系、研究范围、定义条件。学生在“纠错”与“说理”中，完成了对概念内涵的深度辨析和精确把握，特别是明确了“非零自然数”这一研究范围，避免了后续学习中的概念泛化。

    【第三阶段：深化理解，探索方法(预计用时：25分钟)】

    环节四：探究求一个数的因数的方法

      师：刚才我们找到了12的一些因数。一个数，除了这些，还有别的因数吗？怎样才能有顺序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数呢？让我们以18为例进行探究。请大家借助乘法或除法，把18的所有因数找出来，写在学习单上，并思考你的寻找策略。

      （学生独立尝试，教师巡视，发现不同的寻找策略：有的从除1开始想除法算式；有的从乘1开始想乘法算式；有的无序罗列。）

      师：现在我们来分享成果。请几位同学说说他们找到的18的因数，并说说你是怎么想的。

      生1：我用除法想的：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，所以因数有1,18,2,9,3,6。（教师板书）

      生2：我用乘法想的：1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以因数也是1,18,2,9,3,6。

      师：两位同学找的结果是一样的。大家看看，这些因数排列起来感觉有点乱。怎样才能让它们有序地呈现，并且确保找全了呢？观察这些因数，你有什么发现？

      生3：最小的因数是1，最大的因数是18。

      生4：这些因数是成对出现的：1和18，2和9，3和6。

      师：太棒了！你们发现了求一个数因数的秘密！我们可以从最小的因数1开始，用这个数依次去除以1,2,3……，如果能整除，那么除数和商就是一对因数，直到除数和商接近或相等为止。这样按顺序找，就不会遗漏。我们可以把18的因数这样写：（板书：18的因数：1,2,3,6,9,18。）通常按从小到大的顺序排列。

      师：请大家用这种有序的方法，快速找出24的所有因数，并记录在学习单上。

      （学生练习，教师订正：1,2,3,4,6,8,12,24。）

      师：观察12、18、24的因数，你还能发现一个数在因数方面有什么共同特点吗？

      生：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。因数的个数是有限的。

      （教师引导学生总结并板书：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的。）

    环节五：探究求一个数的倍数的方法

      师：我们学会了如何找一个数的因数。那如何找一个数的倍数呢？比如说，2的倍数有哪些？你是怎么找的？

      生：用2去乘1，乘2，乘3……2×1=2，2×2=4，2×3=6……所以2的倍数有2,4,6,8,10……

      师：对！找一个数的倍数，就是用这个数依次乘以非零自然数1,2,3……所得的积就是这个数的倍数。这样找下去，能找得完吗？

      生：找不完，因为自然数是无限的。

      师：所以，我们在表示一个数的倍数时，通常写出几个后加上省略号，或者在一定的范围内去找。例如，50以内7的倍数有哪些？

      （学生口答：7,14,21,28,35,42,49。）

      师：观察2、7的倍数，你能总结出一个数的倍数有什么特点吗？

      生：一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。倍数的个数是无限的。

      （教师引导学生总结并板书：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；一个数的倍数的个数是无限的。）

    设计意图：此环节将教学推向纵深，从概念理解转向方法探究和能力形成。求因数的方法探究是本课难点。设计让学生先独立尝试找18的因数，暴露思维过程（有序与无序），再通过交流分享，引导学生观察、比较、归纳，自主发现“成对出现”、“有序思考”的诀窍，教师在此基础上提炼方法，实现算法的优化。随后即时应用方法找24的因数，巩固技能。在观察多个数的因数后，引导学生归纳因数的共性特征，完成从特殊到一般的概括。求倍数的方法相对容易，采用迁移策略，让学生类比推理，并着重理解“无限性”和表示方法。最后归纳倍数特征。整个环节充分体现了“探索-发现-归纳-应用”的数学学习路径，突出了学生的主体地位和教师的引导作用。

    【第四阶段：分层应用，内化拓展(预计用时：12分钟)】

    环节六：巩固练习，分层递进

      师：下面我们通过一组练习来检验和巩固今天所学。请大家完成学习单上的“分层练习区”。

      A层（基础巩固）：

      1.说一说：根据算式，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

        20÷4=5  63÷9=7  21÷21=1

      2.写一写：写出下面各数的因数（按从小到大的顺序）和50以内各数的倍数。

        16的因数：（    ）   8的倍数：（    ）

        35的因数：（    ）   11的倍数：（    ）

      B层（综合应用）：

      3.判一判：判断对错，并说明理由。

        （1）6是因数，30是倍数。（）

        （2）一个数的因数一定比它的倍数小。（）

        （3）一个数越大，它的因数个数就越多。（）

      4.猜一猜：老师的年龄既是6的倍数，又是8的倍数，老师可能多少岁？（老师在30-40岁之间）

      C层（拓展延伸）：

      5.探一探：完全数探秘。阅读材料：如果一个数恰好等于它本身之外的所有因数之和，那么这个数就叫“完全数”。例如，6的因数有1,2,3,6。除去它本身6，其余因数之和1+2+3正好等于6。所以6是一个完全数。你能找出20以内的另一个完全数吗？（提示：28）

      （学生独立或小组合作完成，教师巡视指导，重点关注A层学生的掌握情况和C层学生的探究过程。完成后进行集体讲评，重点讲解B层第（2）（3）题和C层的完全数，引导学生深入思考因数和倍数的深层属性。）

    设计意图：练习设计遵循“面向全体、关注差异、发展思维”的原则，设置了三个层次。A层紧扣概念本质和基本方法，确保所有学生掌握基础；B层在应用中深化理解，特别是第（2）（3）题，需要学生运用概念的本质属性进行推理判断，能有效暴露并纠正理解误区（如混淆因数与倍数的数量关系和大小关系）；C层引入“完全数”这一数学文化元素，将课内知识向数学史和趣味数学延伸，满足学有余力学生的求知欲，激发全体学生对数学奥秘的探索兴趣，体现了数学的人文价值和拓展性。

    【第五阶段：反思总结，勾连展望(预计用时：8分钟)】

    环节七：课堂总结与评价

      师：回顾今天的学习旅程，你有哪些收获和体会？可以从知识、方法或感受等方面分享。

      （学生自由发言，教师引导从以下方面梳理）

      生1：我知道了什么是因数和倍数，它们是一对好兄弟，必须一起说。

      生2：我学会了怎么有序地找一个数的所有因数，怎么找一个数的倍数。

      生3：我发现了一个数因数和倍数的一些特点：因数最小是1，最大是它自己，个数有限；倍数最小是它自己，没有最大，个数无限。

      生4：我觉得数学很奇妙，像完全数。

      师：同学们的收获真丰富！我们不仅学到了知识，掌握了方法，还感受到了数学的规律之美和历史的厚重。（结合板书，形成知识结构图）今天我们认识了数与数之间一种重要的关系——因数与倍数，这是打开整数世界大门的一把钥匙。利用这把钥匙，下节课我们将继续探索哪些数是“质数”，哪些数是“合数”，它们又会构成怎样精彩的数字王国呢？让我们共同期待。

    环节八：课后作业布置

      1.必做题：人教版五年级下册练习二第1、2、3题。

      2.选做题：（1）利用今天所学，设计一道关于因数或倍数的趣味题考考你的家人或同学。（2）查阅资料，了解“亲和数”（如220和284）的故事，并记录下来。

    设计意图：通过开放式的总结，引导学生自主回顾学习过程，梳理知识点、方法策略和情感体验，将零散的认知整合成结构化的网络。教师的总结提升，将本课置于整个单元的知识体系中，既点明了本课的核心地位，又设置了悬疑，激发了后续学习的期待。作业布置体现弹性，必做