小学数学第六章　作业17　余弦定理、正弦定理的综合运用

作业17余弦定理、正弦定理的综合运用分值：100分单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.已知△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+b=4，c=7，C=π3，则△ABCA.334 B.3 C.32.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2+bA.π2 B.π3 C.π43.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=π3，且sinA=2sinC，则bA.3 B.2 C.7 D.54.如图，在四边形ABCD中，B=C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积为A.43B.53C.63D.735.(多选)在△ABC中，若3a=2bsinA，则B等于A.π3 B.π6 C.2π6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=5，C=60°，且△ABC的面积为53，则△ABC的周长为A.8+21 B.9+21C.10+21 D.147.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=π4，BC边上的高等于aA.cosC=255 B.sinAC.tanA=3 D.b2-c2=a8.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，c=3，B=π3，则AC边上的高为9.如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACD=45°，∠BDC=30°，∠BCA=15°，AB=55，则CD的长为.10.(10分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC(1)求B的大小；(5分)(2)若b=13，a+c=4，求a的值.(5分)11.如图，在△ABC中，B=45°，AC=8，D是BC边上一点，DC=5，DA=7，则AB的长为A.42 B.43C.8 D.4612.(多选)如图，△ABC的内角∠CAB，B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，3(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsinB，且∠CAB=π3.若D是△ABC外一点，DC=1，AD=3A.△ABC的内角B=πB.△ABC的内角∠ACB=πC.四边形ABCD面积的最大值为53D.四边形ABCD的面积无最大值13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAsinBcosC=sin2C，则a2+b2c2=14.(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosA=c.(1)判断△ABC的形状，并加以证明；(5分)(2)如图，△ABC外存在一点D，使得在四边形ABCD中，∠BAD=π3，AD=2，BD=5，且BC=23，求CD.(7分15.(15分)已知D为△ABC所在平面内一点，且点B，D位于直线AC的两侧，在△ADC中，2AD-DC=AC(1)求∠ADC的大小；(6分)(2)若∠BAD=π3，∠ABC=5π6，AB=1，DC=2，求AC的长.(9

答案精析1.A2.C3.A4.B5.AC6.B7.ABD[如图，过点A作AD⊥BC于点D，所以AD=a3由B=π4，可得BD=a3，CD=c=AB=23a，b=AC=53所以cosC=a2a2+59a由cosC=255，可得sinC=由asin∠BAC=可得sin∠BAC=31010，故由tan∠DAC=2a3所以∠DAC>π4而∠BAD=π4，所以∠BAC>π所以cos∠BAC=-1010tan∠BAC=-3，故C错误；又b2-c2=5a29-2a29=8.39.103解析在△BDC中，因为∠BDC=30°，∠BCD=15°+45°=60°，则∠CBD=90°，设BC=x，则CD=2x，BD=3x，在△ACD中，∠ACD=45°，∠ADC=30°+45°=75°，故∠CAD=60°，由正弦定理可得ADsin45°=CD则AD=CDsin45°sin60°=在△ABD中，由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos45°=83x2+3x2-2×263x×3x×22=5解得x=53(负值舍去)，故CD=2x=103.10.解(1)因为cosBcosC所以由正弦定理得cosBcosC所以2sinAcosB=-sin(B+C)，又sinA=sin(B+C)≠0，所以cosB=-12又0<B<π，所以B=2π3(2)将b=13，a+c=4，B=2π3代入b2=a2+c2-2accosB得，13=a2+(4-a)2-2a(4-a)·cos2π3即a2-4a+3=0，解得a=1或a=3.11.D[在△ADC中，因为DC=5，DA=7，AC=8，所以cos∠ADC=72+5因此cos∠ADB=-17所以sin∠ADB=43在△ABD中，又B=45°，由正弦定理DAsinB=得AB=DA·sin∠ADBsinB=7×12.ABC[∵3(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsinB，∴3(sin∠CABcos∠ACB+sin∠ACBcos∠CAB)=2sin2B，∴3sin(∠CAB+∠ACB)=2sin2B，∴3sinB=2sin2B.又sinB≠0，∴sinB=32∵∠CAB=π3，∴B∈0,∴B=π3，∴∠ACB=π-∠CAB-B=π3，因此A，四边形ABCD的面积等于S△ABC+S△ACD=34AC2+12AD·DCsin=34(AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC+12AD·DCsin∠=34(9+1-6cos∠ADC)+12×3×sin∠ADC=532≤532+3，当且仅当∠ADC-π3=π2，即∠ADC=5π6时，等号成立，因此C13.2π解析∵2sinAsinBcosC=sin2C，∴2abcosC=c2⇒a2+b2-c2=c2⇒a2+∴cosC=a2+b2-∵0<C<π，∴0<C≤π3当且仅当a=b时取等号.即角C的最大值为π314.解(1)△ABC为直角三角形.证明如下：在△ABC中，由bcosA=c及正弦定理得sinBcosA=sinC，又A+B+C=π，所以sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，化简得sinAcosB=0，因为A∈(0，π)，所以sinA>0，所以cosB=0，又因为B∈(0，π)，所以B=π2所以△ABC是直角三角形.(2)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠BAD=由题设知5sinπ3所以sin∠ABD=2×325由(1)知∠ABC=π2cos∠CBD=cosπ=sin∠ABD=35在△BCD中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠CBD=52+(23)2-2×5×23×35=25所以CD=5.15.解(1)因为在△ADC中，2AD-DC=AC所以AD2+DC2-AC2=AD·DC，在△ADC中，由余弦定理得AD2+DC2-AC2=2AD·DCcos∠ADC=AD·DC，所以cos∠ADC=12因为在△ADC中，∠ADC∈(0，π)，所以∠ADC=π3(2)在△ACD中，设∠CAD=α，则由正弦定理得ACsin∠DCsin∠CAD，即AC×sin∠ADC=3sinα，又在△ABC中，∠CAB=π3-α，∠BCA=π-5π6-π3-α则由正弦定理得ACsin∠AB