云南省宣威市部分学校2025-2026学年高二上学期12月考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省宣威市部分学校2025-2026学年高二上学期12月考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】直线的斜率为.故选：B.2.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得：，故选：B.3.若双曲线的渐近线与圆相切，则（）A.4 B.5 C.2 D.3【答案】A【解析】因为双曲线，所以，，因此，，即渐近线方程为：，即，因为圆的方程为，则圆心为，半径为，又因为直线与圆相切时，则圆心到直线的距离等于半径，所以，所以，故.故选：A.4.（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】.故选：B.5.若一个正方体内切球的表面积为，则该正方体的棱长为（）A.3 B.6 C. D.【答案】D【解析】设正方体棱长为，则内切球的半径为，所以，得，所以正方体的棱长为.故选：D.6.已知函数若函数只有1个零点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题的零点问题可以转化为函数与图象的交点个数，画出的图象，如图所示，结合图象可知函数与只有一个交点时.故选：C.7.已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为直线过点且与直线平行，所以，为抛物线上的动点，设焦点为，到的准线的距离等于，所以的最小值即点到直线的距离.故选：C.8.若函数在上有最小值，无最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，当时，，由函数在上有最小值，无最大值，即相位区间必须包含正弦函数的最小值点，且不能包含最大值点，故可得不等式组：，解得，又因为，所以，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙、丙三人选择不同的交通工具各自均从云南大理市出发去昆明市，若在4小时内到达昆明市，则意味着按时到达昆明市，甲、乙、丙三人各自可以按时到达昆明市的概率分别为0.7，0.6，0.5，且甲、乙、丙三人各自是否按时到达昆明市相互独立，则（）A.这三人都按时到达昆明市的概率为0.2B.这三人中只有甲按时到达昆明市的概率为0.14C.这三人都未按时到达昆明市的概率为0.06D.这三人中至少有一人按时到达昆明市的概率为0.84【答案】BC【解析】对于A，这三人都按时到达昆明市的概率为，故A错误；对于B，这三人中只有甲按时到达昆明市的概率为，故B正确；对于C，这三人都未按时到达昆明市的概率为，故C正确；对于D，这三人中至少有一人按时到达昆明市的概率为，故D错误.故选：BC.10.已知，复数，，点，则（）A.当的共轭复数为时，P的纵坐标为3B.当时，P的轨迹是离心率为的椭圆C.当的实部为4时，P的轨迹是焦距为的双曲线D.当的实部为4时，P的轨迹是短轴长为的椭圆【答案】ABD【解析】对于A，当的共轭复数为时，则，所以P的纵坐标为3，故A正确；对于B，当时，则，化简得，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其离心率，故B正确；对于CD，由复数，得，而的实部为4，则，即，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其焦距为，短轴长为，故C错误，D正确.故选：ABD11.若的定义域为，是奇函数，且是偶函数，则必有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因为是奇函数，所以，用替换得，所以关于中心对称，因为是偶函数，所以，用替换得，所以关于轴对称，点关于对称的点为，所以，故B正确；无法确定A一定正确；因为，，所以，用替换得，所以，用替换得，所以C正确；因为的周期，由关于中心对称得关于中心对称，因为，所以，故D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，，若中只有个元素，且，则______.【答案】【解析】因为集合中只有个元素，所以，所以，解得或，当时，，此时不符合；当时，，满足，综上，.故答案为：.13.在正三棱锥中，，，D为棱AB的中点，则正三棱锥的体积为______，______，______.【答案】①.或②.0③.或【解析】过点作垂直于平面，连接，由正弦定理得，所以，则正三棱锥的体积为：，，.故答案为：；；14.已知双曲线离心率为，，为上一点，且在第一象限，直线与直线交于点，直线与交于点与关于轴对称，则___________，的最小值为___________．【答案】①.3②.【解析】如图，是焦点在轴上的双曲线，则，且其实半轴长，虚半轴长，则离心率，解得，故双曲线方程为.因为上在第一象限上的点，可设，则，且，即.由，可知直线的方程为，令，可得，即得，直线的方程为，令，可得，即得.依题意，，则，设，则，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，故时，，此时取得最小值180，即的最小值为.故答案：3；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，，求的周长.解：（1）在中，因为，所以由正弦定理得，而，则，得到，结合同角三角函数的基本关系可得.（2）因为，所以，联立方程组，解得（负根舍去），由题意得，，由余弦定理得，解得（负根舍去），则的周长为.16.为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人.（1）求图中a，b的值并估计B餐厅满意指数的第40百分位数；（2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）附：若数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差.解：（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为.频率分布直方图组距为2，故所有区间频率的和为，即，解得，因为的频率为，的频率为，所以B餐厅满意指数的第40百分位数在上，故第40百分位数为，所以估计B餐厅满意指数的第40百分位数为.（2）餐厅满意指数平均数.餐厅满意指数平均数.故.（3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数为7，方差为2；第四组人数为，平均数为9，方差为1.混合数据平均数.方差.17.如图，在直四棱柱中，底面为菱形．（1）证明：；（2）若，，，二面角为，求．（1）证明：在直四棱柱中，连接，由四边形为菱形，得，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）解：由，得菱形是正方形，而，则，直四棱柱为正四棱柱，矩形是其对角面，连接，则，在平面内过点作于，则，过作交于，连接，由，得，平面，则平面，又平面，因此，是二面角的平面角，即，在中，，则斜边，，而，在中，，所以.18.已知椭圆C：的长轴长为4，，分别为C的左、右焦点.（1）求C的方程；（2）设P为C上的动点，延长至点Q，使得，求动点Q的轨迹方程；（3）设（2）中动点Q的轨迹为曲线，若直线l：与C交于A，B两个不同的点，且l被截得的弦长为，求.解：（1）由题知，椭圆的焦点在轴上，长轴，得，椭圆方程为：.（2）根据椭圆的定义，，又，则，即动点到的距离是定长，则在以为圆心，半径为的圆上运动，轨迹方程为：（3）圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式，，解得，得或；当，直线，显然此时直线和椭圆相切于，这和直线和椭圆相交于不同两点矛盾；当，直线和椭圆联立得到，解集为，设直线和椭圆的交点，由弦长公式，.19.已知抛物线经过点，且为的焦点．（1）求的坐标．（2）设为上两个不同的点，且三点不共线，的斜率分别为，且．（i）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．（ii）证明：存在关于轴对称的两个定点，使得直线过或．（1）解：抛物线经过点，将点坐标代入抛物线方程得：，左边计算：于是解得.抛物线方程为，其焦点坐标为，即.（2）（i）解：，由在上，有,直线斜率