（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第14讲 导数的概念与运算（原卷版）

第第页第14讲导数的概念与运算知识点一：导数的概念和几何性质1、概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．知识点诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．2、几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3、物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．知识点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3、复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：【解题方法总结】1、在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．2、过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．题型一：导数的定义【例题1-1】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（

）A．B．C．D．【变式1-1】已知函数的导函数是，若，则（）A．B．1C．2D．4【变式1-2】若函数在处可导，且，则（

）A．1B．C．2D．题型二：求函数的导数【例题2-1】求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)【变式2-1】求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．【变式2-2】在等比数列中，，函数，则_______．【变式2-3】已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求__________.【变式2-4】已知函数的导函数为，且，则______．题型三：导数的几何意义方向1、在点P处切线【例题3-1】曲线在点处的切线方程为__________．【变式3-1】曲线在点处的切线方程为______．【变式3-2】若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______．方向2、过点P的切线【例题3-2】已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是______．【变式3-3】已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.【变式3-4】过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.【变式3-5】已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．方向3、公切线【例题3-3】若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.【变式3-6】若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．【变式3-7】已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．方向4、已知切线求参数问题【例题3-4】若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.【变式3-8】若直线与曲线相切，则的最大值为（）A．0B．1C．2D．【变式3-9】已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式3-10】已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．16B．12C．8D．4方向5、切线的条数问题【例题3-5】若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A．B．C．D．方向6、切线平行、垂直、重合问题【例题3-6】若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（

）A．B．C．D．【变式3-11】已知直线与曲线相交于，且曲线在处的切线平行，则实数的值为（

）A．4B．4或-3C．-3或-1D．-3方向7、最值问题【例题3-7】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（

）A．B．C．D．【变式3-12】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A．B．C．D．【变式3-13】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A．B．C．D．【例题3-14】若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A．B．C．D．第14讲导数的概念与运算1．已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A．B．C．D．2．已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（

）A．B．C．D．3．如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（

）A．B．C．D．4．设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（

）A．2B．-1C．1D．5．函数的图象在点，（1）处的切线方程为A．B．C．D．6．曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．7．已知函数，都有的最小值为0，则的最小值为（

）A．B．C．D．8．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的