定积分的计算方法及其在数学中的应用

目录

1.绪论....................................................................1

2.定积分概念和性质.......................................................5

2.1定积分的概念......................................................5

2.2定积分的性质......................................................5

2.3定积分概念的应用及推广............................................7

3.定积分的计算方法.......................................................8

3.1定义法............................................................8

3.2牛顿-莱布尼茨公式................................................10

3.3定积分的分部积分法...............................................10

3.4定积分的换元积分法...............................................11

3.5牛顿—柯特斯求积公式.............................................12

3.6复合求积公式.....................................................16

3.7龙贝格求积法.....................................................19

3.8高斯积分法.......................................................22

4.定积分在数学中的应用..................................................27

4.1面积问题.........................................................27

4.2概率问题.........................................................28

4.3最值问题.........................................................29

4.4欧拉积分在定积分计算中的应用....................................30

4.5留数在定积分计算上的运用.........................................31

4.6巧用二重积分求解定积分...........................................32

4.7反函数法求解定积分...............................................32

4.8带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用......................33

参考文献.................................................................33

定积分的计算方法及其在数学中的应用

1.绪论

定积分的发展大致可以分为三个阶段:古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶

段以及19世纪的完成阶段.

1.准备阶段

主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.

这个时期随着古希腊灿烂文化的发展，数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.古希腊

数学的发展史大致分为三个时期：

(1)初期的古希腊数学并不是单独的一个分支，而是与天文、哲学密不可分的，其

研究对象以几何学为主.安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，是近代极限理

论的雏形.公元前5世纪以德谟克利特为代表的“原子论”学派，用原子论的观点解释

数学，他认为:线段、面积和立体都是由一些不可再分的原子构成的,而计算面积、体积

就是将这些“原子”累加起来、这种不甚严格的推理方法已带有古朴的积分思想.然后

他利用"原子论''求出了圆锥的体积，即:圆锥体积等于具有同底同高的圆柱体积的三

分之一。

(2)第二个时期:古希腊的数学逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的科学,出现了

三大数学家欧几里德、阿基米德和阿波罗尼奥斯.其中在公元前3世纪数学家兼物

理学家阿基米德将穷竭法与京子论观点结合起来，获得了许多重要结果，例如他在《抛

物线图形求积法》和《论螺线》中，利用穷竭法，借助于几何直观，求出了抛物线弓形的

面积及阿基米德螺线第一周可成的区域的面积，其思想方法是分割求利，逐次逼近.虽

然当时还没有极限的概念，不承认无限，但他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽.

积分的基本思想，是将所求的量分割成若干细小的部分，找出某种关系之后，再把

这些细小的部分用便于计算的形式积累起来，最后求出未知量的值.这利产化整为零''

再“积零为整”的方法在阿基米德的著作中已得到体现.

(3)古希腊数学的第三人时期:主要是在三角学和代数方面取得的发展，随着亚历

山大城被罗马人占领，希腊数学至此告一段落。

公元5-14世纪，被认为是欧洲的“黑暗时期”，这个时期数学的发展较为缓慢.

直到14世纪末，欧洲资本主义萌芽，人们才继续了数学方面的研究.整个16世纪，积

分思想一直围绕着“求积问题”发展，它包括两个方面:一个是求平面图形的面积和由

曲面包围的体积，一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家

开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中，认为给定的几何图形都是由无

穷多个同维数的无穷小图形构成的，用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相

加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中运用元穷小方法的数学家。17世

纪中叶，法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和''及无穷小的性质的观点求积,

更加接近现代的求定积分的方法。可见，利用“分割求和”及无穷小的方法，已被当时的

数学家普遍采用。

2.创立阶段

主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念

的发展.牛顿和莱布尼兹儿乎是同时且相互独立地进入了微积分的大门.17世纪数

学的发展、笛卡儿坐标系的建立将变量引入数学以及函数思想、极限思想的发展，都

为牛顿、莱布尼兹对微积分的进一步研究创造了条件.

牛顿从1664年开始研究微积分，主要贡献反映在1671年、1676年发表的《流

数术与无穷级数》、《曲线求枳术》两篇论文和1687年的《自然哲学之数学原理》中.

早期的微积分常称为“无穷小分析”,其原因在于微积分建立在无穷小的概念之上，牛

顿和莱布尼兹概莫能外，当时所谓的“无穷小”并不是我们现在说的“以零为极限的变

量”，而是含糊不清的，从牛顿的“流数法''中可见一斑.“流数法''的主要思想是把连续变

动的量称为“流量”,流量的微小改变称为“瞬”即“无穷小量”，将这些变量的变化率称为

“流数用小点来表示流数，如£,夕表示变量x,y对时间的流数.他指出:曲线

/（乂丁）=°在某给定点处切线的斜率就是y的流数与x流数之比，从而导出y对x

dy£

的导数就是y的流数与x流数之比，即相当于现在的加=反

在此基础上，牛顿又提出了反问题:给定表示X与流数之比于之间的方程,求函数

y二八外，即反微分.他讨论了如何借助反微分来计算面枳.这是历史上第一次以明

2

显的形式给出了的加=y，其中A表示曲线y=/*）34x4,力下的面积，这个定理给

出了计算面积方法的根据，使得计算趋于一般化、系统化.用现在的符号表示就是面积

A立必

1669年牛顿在《运用无穷多项的分析学》中叙述了计算朋线广3）下的面积

---------十〃

的一般方法.例如:假定有一条曲线，其下面的面积为Z，并z=根+〃，

Z是由曲线和x轴y轴及x处的纵坐标围成的面积

当X获得一个增量瞬。时，有新坐标X+。，并产生以面积的增量（图1-1）,

in+n

则

----a(x+o)n

Z+oy=m+n

运用二项书定理攀撤.得郛一戳为级数:

-------a（x〃+--------x〃+••,）•

Z+oy=ni+n,n+ff,i

消4《川除岐d,得到y二依〃.即:若面积〃

--cix〃一

Z=〃，则梅成面积的曲线为

illIfI

--------CIX〃

面的面积是z=〃---------。

牛顿第一次清楚地说明了求导数问题和求面积问题之间的互逆关系，这就是说牛

顿确定的积分实际上是不定积分。

莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题，他在《数学笔记》中指出:求曲线的切

线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比（当这些差值变成无穷小时）；求积依赖于在横坐

标的无限小区间上纵坐标之和或无限小矩形之和，并且莱布尼兹开始认识到了求和与

求差运算的可逆性，他用dy表示曲线上相邻点的纵坐标之差，把Jdy表示为所有这些

差的和,y=Jdy，明确指出:可”意味着和,d意味着差，从和差的互逆关系可知可”和d的

互逆关系.这样莱布尼兹明确指出了:作为求和过程的积分是微分之逆，实际上也就是

今天的定积分。

牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法，但是，他们留下了大量的事情要后人

去解决，首先是微积分的主要内容的扩展，其次是微积分还缺少逻辑基础。

18世纪，伯努利、欧拉、拉格朗日、克雷尔、达朗贝尔、马克劳林等数学家，随

着对函数和极限研究的深入，把定积分概念推广到二重积分、三重积分,也对微积分基

3

础作了深刻的研究，并且无穷级数、微分方程、变分法等微积分分支学科也初具规模,

但微积分的逻辑基础问题还没有得到圆满解决。

3.完成阶段

19世纪的前20年，微积分的逻辑基础仍然不够完善，如一般的函数概念尚未建立,

微积分的许多基本概念，如无穷小、无穷大、导数、微分、积分仍无精确定义等.从

19世纪20年代至19世纪末，经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学

家的努力,微积分的理论基础基本完成，波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及

导数的严格定义,柯西完全摆脱了微积分对几何和物理意义的依赖，引入了严格的分

析表述和理论，形成了现代体系，他继续并发展了前人已有的积分作为微分和的思想，

用极限给出了积分的定义，指出不能理解为一个和式，而是和式

k=l.当内一"/无限减小时,3能“最终达到的某个极限值"S,

这个S就是函数/“)在区间［即月上的定积分.他认为人们在应用定积分之前，必

须首先确定积分的存在性，柯西定义了函数I。，""'，证明了当/0)在

■，目上连续时,F(x)在国,可上连续、可导，且尸(x)=/⑴.继之柯西证明了/(幻

的全部原函数彼此只相差一个常数，因此，他把不定积分写成：

"+C,并由此推出了牛顿—莱布尼兹公式

J^/(A-Kr=F(x)-F(x0).

至此,微积分基本定理给出了严格证明和最确切的表示形式.魏尔斯特拉斯将柯

西关于极限的定性描述,改成定量刻划，即“£一小，语言.完成了分析算术化的工作.最

后戴德金定义了无理数,揭示出实数的连续性，完成了微积分的基本理论工作。

4

2.定积分概念和性质

2.1定积分的概念

首先我们来说明一下定积分的概念。定积分是高等数学的基本概念，是微积分

学中积分学的基础概念。它是一个在市•限区间上一个有界函数通过“分割、近似、求

和与取极限''得到特殊和式的极限：

£f(x)dx=lim支

/=1

这里在［a,b］任意插入分点a=xo<xi<X2<...<xn=b,AXi=Xi-Xi.i,一是［xi〕xi］内的

任意一点。X=max{Axi),i=1,2,…，n。掌握定积分概念，知道和式极限的由来

是基础，另外需要清楚“三无关、两有关积分与积分区间的分割方法、卷取法、

积分变量的记法无关。积分与被积函数f(x)与积分区间［a,b］相关，也就是说是

由它们来确定的。

2.2定积分的性质

(1)当a=b时，

/〃工皿■()

(2)当a>b时，

［f⑺dr-［八川

5

kf(r)dr4kj、/(J)dr

(3)常数可以提到积分号前。

(4)代数和的积分等于积分的代数和。

/|，(工)+g(*)：心-

1&-Jg㈤心

(5)定积分的可加性：如果积分区间［a,b］被c分为两个子区间［a,c］与［c,b］则

■/"工)乙十//("心

JA

又由于性质2,若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c(可以不在区间［a,b］上)

满足条件。

(6)如果在区间［a,b］上，f(x)K),则

/D

(7)积分中值定理：设f(x)在［a,b］上连续，则至少存在一点£在忸力］内使

6

八工加储（1）

以上便是定积分的七条基本性质，我们在计算生活中利用定积分可求平面图形

的面积、旋转物体的休积、曲级的长度，还可以计算变刀沿宜线做功、某些情形下

的液体压力与物体的引力等，这些问题的解决，本质上就是数学建模问题，换句话

说就是依据几何意义或物理意义将实际问题转化为一个定积分的算式，然后借助微

积分基本公式计算定积分，从而可以将这些问题迎刃而解。定积分概念是微元法的

基础。微元法解决实际问题在大学一般教材都会作为重要教学内容，而在中学阶段

我们学习定积分的概念利公式就是为了初步了解其表面的含义与知识的体系，能对

定积分有一个初步的了解，知道定积分在高中的涉及广度和学习意义，才是我们能

良好掌握的前提！

2.3定积分概念的应用及推广

随着科学的日益发展，积分概念也趋于逻辑化、严密化，形成我们现在使用的

概念.定积分的概念中体现了分割、近似、求和的极限思想.其中分割既是将［a,b|

任意地分成n个小区间，可，",…，阴，…，5其中八£表示第I个小区

间的长度，在每个小区间上任取一点当作并求和Z/GAAE,这体现了求

和的思想，当区间的最大长度趋于零时，和式的极限若存在即为/“）在［a,b］

上的定积分.利用定积分可以解决很多实际问题，例如求由曲线围成的平面图形的面

积；求由曲线绕坐标轴旋转所得旋转体的体积；平行截面面积为己知的立体的体积；

求曲线的弧长以及物理中的功、水压力等等.同时，仁/但公的积分形式也可以推广：

（1）可以把积分区间［a,b］推广到无限区间上，如［a,+m）等，或者把

函数推广到无界函数，也就是广义积分.

（2）可以把积分区间［a,b］推广到一个平面区域，被积函数为二元函数，那

么积分就是二重积分；同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就

7

是三重积分.

（3）还可以将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面，即曲线积分和曲面积

分.

无论积分推广到何种形式，它始终体现了这种分割的极限思想，比如二重积分

概念：设/（乂）'）在有界闭区域D上有界，

（1）分割：将D任意分成n个小区域并表示面积；

（2）近似：在每个△巴上任取一点©血）作乘积户自迎）办巴；

（3）求和取极限：若各区域直径的最大值趋于零时，和式工/©川，）65的

极限存在，即为/（及）'）在D上的二重积分.由此我们发现定积分与重积分在概念的

本质上是一致的，同样三重积分亦是如此.此外，不定积分与定积分之间关系为：

仁/（项〃="（8）一/3）,这是牛顿—莱布尼兹公式.这个公式进一步揭示了定积分与被

积函数的原函数或不定积分之间的联系.它表明：一个连续函数在区间［a,b］上的

定积分等于它的任一原函数在区间［a,b］上的增量.这就给求解定积分提供了一个简

便而有效的计算方法.

3.定积分的计算方法

3.1定义法

定积分的定义法计算是运用极限的思想，简单的来说就是分割求和取极限。以

a

为例：任意分割，任意选取々.作积分和再取极限。任意分割任意取耳所

计算出的I值如果全部相同的话，则定积分存在。如果在某种分法或者某种盘的取法

下极限值不存在或者与其他的分法或者当的取法下计算出来的值不相同，那么则说

定积分不存在。如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当

困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取或。但是如果根据上述三类可积函数判断

出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作句的特殊分法，选取

特殊的耳，计算出定积分。

8

第一步：分割.

h_b_a

将区间［6目分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式。‘一一二，那么分

割点的坐标为（“⑼，S+"⑼，S+2九0）。,0）,々在除闻

任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的乙，即左端点，右端点或者中点。

经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形。我们近似的看作是n个小长方形。

第二步：求和.

II

计算n个小长方形的面积之和，也就是当八,”。

第三步：取极限.

/二期£〃1*=4吧£/（媒）

II,卜>°即,？>8,也就是说分的越细，

那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方

形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值。

例1、用定义法求定积分I。皿。

解：因为八力="在1°』连续

所以/（工）=%在［0』可积

,1-01

h==—

令nn

将［°'1］等分成n个小区间，分点的坐标依次为°<〃<2〃<...</访=1

取以是小区间［供7）仄妫］的右端点，即&二处于是

21

山=limkhh=lim〃7）f-1=iim%»=lim=1

""廿2\n）”T82n222

［xtZr=—

所以，打2

9

3.2牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。利用此公式，可以

根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数“幻在区间内必须连续。

求连续函数/（划的定积分只需求出八幻的一个原函数，再按照公式计算即可。

定理：若函数/（”）在区间［〃力］连续，且尸（外是/（、）的原函数，则

f［x）dx=F（b）-F（a）

Jrao

证明：因为尸⑴是/*）的原函数，即可有尸（#=/*）

积分上限函数L也是"X）的原函数

所以吐吁,⑸

所以1＞所如）=0

令工=〃有L,⑺力一/⑷=°即C=-产（a）

再令x”有f/*）小*®―尸⑷

我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的。但是在连续的条件下，

微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极

大的方便，在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有着

重大的意义。

fr/7r

例1、用牛顿莱布尼茨公式计算定积分J。o

12'_1

-X=一

解：原式=2o2

同样的•道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单，容易计算。

3.3定积分的分部积分法

公式:函数〃⑴，心）在［则有连续导数则f心"叱〃（柳（江一f心皿⑴

10

证明：因为“（X）,W“）在［"'国有连续导函数

所以[〃(x)Wx)]=〃(x)i；(x)+v(x)«(x)

所以£[w(x)v(x)]=〃(机(豌=f[w(A-)v(x)+v(.r>(x)]^-=〃(枷(就

即£〃(x)u(Xk&=〃(x)v(x)|：-£V(J)M(A)tZr

或

Inxdx=x\n引-jxdInx=2In2-0-城=2In2-1

3.4定积分的换元积分法

应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计

算。一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法求原函

数的过程中也相应交换积分的上下限，这样可以简化计算。

公式:若函数/'⑴在区间［"回连续，且函数x=*）在&m有连续导数，当

。“/工"时，有则：

^f（x）dx=/,［夕⑴N,⑺力=［/忸⑴口夕⑺

证明：八"就=⑷

f/［夕⑺/⑴力=r［次/）］|：=2［9（4）］一8＞（。）］=F（b）-F{a}

即小⑺力

这个公式有两种用法：

a

/I、.苗J/'（X）公

（1）、右计算J。

。、选取合适的变换”=以/）,由a,b通过匕=以/）,〃⑺分别解出积分限£与

a.

0、把户叫弋入门（小得到1%（小叫

3、计算.

11

计算定积分J。O

解：设x=asinr有公=〃8S!力

£」a，-ddx=。25cos2tdt=—(/+，，；，)

⑵、计算「以”其中以，）=/［如）］8⑺

①把g«）凑成J"］。⑺的形式；

②检查x=0（/）是否连续；

③根据。与仅通过大=。⑺求出左动的积分限ah

④计算.

计算定积分

当，二-1时，x=3.当，=1时，x=\

-(--x)(bc=~-

所以原式=x223

3.5牛顿—柯特斯求积公式

建立数值积分公式的基本思想是在积分区间上选取一个函数仪X）以代替原被积

函数/（初于是得到

从数值计算的角度考虑，可对函数。（制提巴以下的基本要求

1.。（幻的积分计算较易进行，例如容易使用牛顿-莱布尼兹公式及计算函数值。

2.一“）在"向上对〃力应有充分的近似程度,并且式（2.1）的误差较易估计。

由于多项式容易计算，又能很好的逼近连续函数，可以选取。“）为第五章中所

讨论过的插值多项式。现设印为取定的正整数，在切作等距的插值基点工小，…"八

即

«=xo<X）<•••<X,<-<.rn=b

x（1-Xi=（b-a）/n=h,i=0,1,--%/?-1

作出被积函数/‘⑴的拉格朗日（Lagrange）插值函数

e,T-TX-Xt

，-0；=O一人j

户/

由插值多项式的理论知，如"X）在【。为1上有〃+1阶导数，则有

/@）=化仆）+-4^"幻

5+1）!

<w3—）。川（x）=（x__X］）…（X_A-J

/（X）在［«切上求定积分得

］70）公=£/（”吠+（（/）

“M（2.2）

其中

/、

《=jn--公，尺”）=j

［懦.7“-5+1）!

由于％-七=（”外力，所以

（七一/）…（一一一一1）（。一%）…（七一%）=（-1尸

an>

对'的积分作代换上=々+加，则公=hds、x-xt=（s-k）h,0<s<n,姬，可化为

13

a："=----------f5(5-1)•■•(5-Z+1)(5-/-1)•••(5-/?)hnhds

i!(n-/)!fi"J。

=S-a)---------[s(s-1)•••(5-/+1)(5-Z-1)•••(.v-72)cis

il(n-i)ln

=S-a)c「

d”)__L_l?---f$(s_1)...($一，+1)(5-Z-l)-(5-n)ds

八(〃-i)!〃Ju(23)

略去式(2.2)中的余项代，(力便得到数值积分公式

仇°叱(〃一4)£CT)/(XJ

(2.4)

上式称为牛顿―柯特斯求积公式，c7称为柯特斯求积系数，这些系数可以一劳

永逸地计算出来，下面是几个系数的计算例子。

当X时有端=心-1)/=9:”小心

式(2.4)成为

|7(外小=(/(〃)+〃份)

人2(2.5)

上式称为梯形公式，其几何意义是用过点(aJ(G)，SJ3))的直线段代替曲线段

产/(x),(xe[a/“)后求积分。

当〃=2时有

=为1(ST)(s-2)ds=1,c；2)=y£s(s-2)ds=1

式(2.4)成为

f(x)dxx——(/(4)+4/(——)+/(/?))

62(2.6)

(4/(〃)),(——,/(——)),(bj(b))

上式称为抛物线公式，其几何意义是用过点2」2,的

14

抛物线代替曲线段）'=八0da向）后求积分。〃=1，…，8的柯特斯系数见表2.1。

表2.1柯特斯系数表

n

11/21/2

21/64/61/6

31/83/83/81/8

47/9016/452/1516/457/90

519/28825/9625/14425/14425/9619/288

641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840

7751/1723577/1721323/1722989/1722989/1721323/1723577/172751/172

8080808080808080

8989/5888/-928/10496/-4540/10496/-928/5888/989/

28350283502835028350283502835028350283502835

0

易见柯特斯系数具有以下的特点:

»心）=1

1.，-0

这性质可以这样得出，取=由于厂"（幻=°，%（/）=°，式（2.4）

成为准确等式

ai=0

2.系数蛾,有对称性，即婷°=之，可由式（6.4）的积分作代换，=〃-5后得出。

3.当，后8时开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的研究，当出现负系数

时，

可能导致舍入误差增大，因此一般只宜采用〃值较小的牛顿―柯特斯求积公式。

15

3.6复合求积公式

在较小的区间上应用求积公式可以提高准确程度。为此把积分区间等分为〃个小

区间，在每个小区间上分别应用牛顿―柯特斯求积公式计算八幻的定积分，然后把

结果相加，这样得出的公式称为复合求积公式。下面对复合梯形公式和更合抛物线

公式以及它们的误差进行讨论。

3.6.1复合梯形公式及其误差

设人幻在句上有连续的二阶导数，〃是正整数，把团切分为〃个等长的小区

间

[%,xj…,[x,,其中可=a+ih,h=[b-a)/n,i=O,l,…。

-(b-aV

ri/?.(/)=--------f*(7),7e(a,b)

在山山上运用梯形公式，由式(2.5),12'//有

=刍/(项)+/(x,.)]-^f\n.)

%e(项,")，i=OJ,-1

各式相加后得

.hn-lh%

£fMdx=-1f(x)+f(x)+2Z/UJ]--1/*(^)+/⑷)+…+/)1

20nr-i1Z0

由于广(x)在他向上连续，且有

画"次空/"(机嗨/"(6

〃1=0

对广⑴应用连续函数的介值定理知存在&e3")使

/"(")+/"(7)+•••+f”(小-J=/，©

n

因此有仅“心=号""°)十"“)+2与"—金詈矿⑹

上式略去余项后使得复合梯形公式

]/(Xa=7：=[f(x0)+/(x„)+2^/(x.)](2

16

余项表达式为

户胃卢八"8"（2.8）

3.6.2复合抛物线公式及其误差

对复合抛物线求积公式，区间［4切的等分数〃应为偶数。如上记〃=S-"）/〃，并

设/。）在［。向上有连续的四阶导数。在区间凡占1,区，“，…上分别应用抛物

R（0=TI）/,4）（〃）.昨（a.b）

线求积公式，由式（2.6）及一2880得

£＞爪筌如。）+纣（小小）］-箭"（。）

)()4)()

「，f(x)dK=¥if(Xn_2+4rev,)+/%।-r&

-jiivun

各式相加并且利用连续函数的介值定理

=r0@

n/2

可得到以下的复合抛物线求积公式

--I--I

房'）+加）+呦除）+2*区）

b—a

=—I/(-%)+八匕)+4(/(X,)+/(&)+-+/氏t))

3〃

+2(/U)+/(X)+--+/(^_))]

242(2.9)

（〃为偶数），其余项为

用"（'）=-^^尸”（9,4在（。，〃）

180〃（2.10）

用复合抛物线求积公式计算定积分可参考以下的•般步骤：

（1）由被积函数/（工）和积分区间［,㈤，计算/”）,并作出估计

|/叫xe［a,b］

（2）求出为满足精确度c所需要的等分区间的〃值，即由不等式

17

180/

解出偶数〃的最小值。

(3)计算函数值…J(x”)，由式(6.14)计算出5〃。

例2.2用豆合抛物线公式计算积分Pn"。”的近似值，使绝对误差小于1()\

解/(x)=lnx,a=4,b=5.2,b-«=1.2,£=10^'

/⑷®=三，|f⑷(**xe[4,5.2]

解不等式

求得〃=6。计算结果要求准确到小数点后第6位，在计算过程中，各中间结果，

按通常的做法，可计算到小数点后第7位，然后在最后的结果中四舍五入至第6位。

N202

[inxdx«—[/(4)+/(5.2)+4(/(4.2)+/(4.6)+/(5))+2(/(4.4)+/(4.8))]

j43

«1.827847

积分的准确值是画小⑴…峭”8278474…，可见，积分的近似值满足要

求。

2.6.3变步长的梯形公式

当已规定计算的精确度，例如给出了绝对误差限为£，要利用式(2.7)或(2.9)

计算人幻在向上的定积分，使结果符合精度要求时，如上例，需要先利用余项(2.6)

或(2.8)求出等分所需要的〃值，即求出〃使其满足

<£(3-a)54)<£

2

12n」'或]8("

此过程涉及较复杂的高阶导数计算和估计，求出的〃值通常较保守，在遇到没有

解析表达式的场合则难以进行。因此在实际计算中，特别是用计算机求解时，常采

用一种动态估计误差的方法，即从某一〃值开始，依次把步长〃减半，用求积公式算

出一系列积分近似值，且不断比较两个相邻近似值的相差程度，以此判断是否达到

精度要求。这种方法也称为区间逐次分半法。以下讨论复合梯形公式的变步长方法。

18

取〃的初始值为2,然后使〃依次取值22'21・-2"…，用复合梯形公式计算出"X）

积分近似值的序列狐'几），…，几），…，对应的步长序列为

%=（b—〃）/2,色=仍一。）/2'=九/2,…,幻=3-。）/2巾=%/2,…

-(b-aY

m=1,2,-

7

余项序列为12(2",)

以J记八X）积分的准确值，有

人心一等昭广（么）

b-a

T答昭.J"（L）=Zi

12

设广*）在团向上连续，且当川充分大时，/©-）、/"©,）,将上两式的前一

式乘4倍减去后一式可得近似式

"7=3八4"*

(2.11)

或

因此当|z，"）一几1」＜£（2.12）

时，可认为也成立九,已达到了绝对误差限为七的要求，计算可以

停止。如£是相对误差限，贝J可用条件"进行检验。由于每次步长减

半，在具体计算时，在71M的计算中可以利用Z"）的结果，以减少计算工作量，即变

步长的梯形公式为

丁b-arr.、....._r,a+b、]

5=—[/(«)+/S)+2/(^-)1

心＞=＜兀川+儿£/(。+⑵-1)儿)也.=b-a

,m=2,3,…

2m

(2.13)

3.7龙贝格求积法

为叙述简单起见，这里假定了CD具有连续的各阶导数。仍记

J=^f(x)dx

由上节可知，分别取步长%=加/2用复合梯形公式计算的结果几臼和心满

足(2.11),即浦“4心「工小。设〃是正整数，分别取步长假-〃)/〃，(〃-，)/⑵?)用复

合梯形公式计算工、%,则有

3/。4匕-7；

于是

』⑵4)

上式显然可作为更好的积分近似值。作更详细的计算可得

4-1

1r/心、cG*

3b—Va)„+./S)+2沙rz+丁,b—)ci]

=——[J(a)+f(b)+4\J(a+j——)+2\/(4+./F-)〕=S?”

6n2n；=2.4.--.(2n-2：2〃(2.15)

这说明，由梯形公式所作出的线性组合(44-/)/(4-1),事实上是代数精确度

达到3的复合抛物线公式。

上述做法的要点是，运用一个代数精确度较低的求积公式(例如梯形公式)，

相继以步长人和〃々求得定积分的两个近似结果，然后再作它们适当的线性组合，则

可以得到一个代数精确度更高的公式，这就是龙贝格求积法的基本思想。

参照变步长的复合梯形公式的计算过程，运用步长为九〃/2,“2'…的梯形

公式作计算，并把结果记为

。.0，几1，几2，。.3广.(2.16)

其计算公式根据(6.13)得

121-'

7；^=-/I+%Zf(a+(2/-l)/0,A=l,2,-

由序列(6.16),根据关系

20

n_4G+|-&

Z=O,1,…

4-1(2.17)

可得出较为准确的第二个积分序列（即复合抛物线公式积分序列）

兀Zi,兀‘兀’…(2.18)

用类似的推理可证由关系

可得出更为准确的第三个积分序列

^2.0,^2.1»^