湖南郴州市重点高中2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题（解析版）

高二数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册8.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则中的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为.所以，有个元素．2.已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算及模的运算可得，再结合复数虚部的概念即可得解.【详解】解：复数满足，则，即复数的虚部为，故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算及模的运算，重点考查了复数虚部的概念，属基础题.3.我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足指数衰减规律：，其中为海平面处的大气压强，k为常量．已知在高度为处，大气压强为海平面处的，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的，则当前高度约为（）A.150km B.100km C.175km D.125km【答案】A【解析】【详解】当时，，则，得.由，得．4.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若⊥，m，则m⊥C.若m⊥，mn，n，则⊥ D.若＝m，n，n⊥m，则n⊥【答案】C【解析】【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误；当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误；若m⊥，，则n⊥，又，可得⊥，故C正确；＝m，n，n⊥m，但不一定垂直于平面内的其他直线，故不一定垂直于，故D错误．5.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程.【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以，又C的焦点到l的距离为，所以，所以，因为，所以，故C的标准方程为．6.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据，利用参变分离转化为恒成立，转化为求函数的最值问题.【详解】由，得在区间上恒成立，设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，所以，则，即，则的取值范围是.7.已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设．设，根据已知条件得到的方程，从而得到的轨迹是圆．则的最小值为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径．【详解】由，且，可设．设，因为，所以，整理得，即的轨迹是圆心为，半径为的圆．的最小值即为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径，故的最小值为．8.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得，进而得，再结合锐角三角形求得，最后求解范围即可.【详解】因为，所以．因为，所以，所以，所以．因为，所以，即，所以．因为是锐角三角形，，，所以，即．因为，所以，所以．因为，所以，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（）A.频率分布直方图中a的值为0.16B.估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时C.估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人D.估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时【答案】ACD【解析】【分析】A选项，由频率之和为1列方程计算a；B选项，根据众数为频率最高组的组中值进行计算；C选项，求出抽取的体育爱好者中每周锻炼时长不少于15小时的频率，再乘以总人数即可；D选项，先确定累计频率，再在对应区间内按比例计算.【详解】由（0.06＋a＋0.38＋0.32＋0.08）×1＝1，得a＝0.16，所以A正确；众数为频率最高组的组中值，频率最高的组为[15,16），组中值为＝15.5小时，所以B错误；因为抽取的体育爱好者每周锻炼时长少于15小时的频率为0.06＋0.16＝0.22，对应人数为100×0.22＝22，所以每周锻炼时长不少于15小时的有78人，故C正确；设80%分位数为x，因为0.06＋0.16＋0.38＝0.6＜0.8，0.06＋0.16＋0.38＋0.32＝0.92＞0.8，所以x[16，17），由（x－16）×0.32＝0.8－0.6，解得x＝16.625，故D正确．10.已知抛物线的焦点为，过作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的有（）A.若直线的倾斜角为，则B.的最小值为8C.以线段为直径的圆恒与轴相切D.若为的准线与轴的交点，且，则直线的斜率为【答案】ABC【解析】【详解】对于A，抛物线的焦点为，若直线的倾斜角为，，则直线的方程为，与抛物线的方程联立得，所以，因为，所以，故A正确；对于B，由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与抛物线的方程联立得，则，因为，当时，等号成立，所以，最小值为8，故B正确；对于C，以线段为直径的圆的圆心为的中点，横坐标为，则圆心到轴的距离为，因为，所以圆的半径，则，因此该圆恒与轴相切，故C正确；对于D，易知，若，则，，，所以，结合选项B的解析，可知，，，代入得，解得，即直线垂直于轴，斜率不存在，故D错误．11.已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（）A.是周期为4的周期函数B.C.在上单调递增D.的图象关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，因为是奇函数，由判断函数周期；对于B选项，由的周期为4，分别求解，，，即可；对于C选项，由函数对称求解即可；对于D选项，由函数对称的定义求解即可；【详解】因为是奇函数，所以．因为，所以，所以，因此是周期为4的周期函数，故A正确．因为时，，所以，所以．因为是定义在上的奇函数，所以．因为的周期为4，所以．因为，所以，所以，所以，故B正确．因为，所以，即，所以的图象关于直线对称，故D正确．当时，，因为时，，所以，因为的图象关于直线对称，所以，在上单调递减，故C错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】【详解】如图，连接．因为，所以异面直线与所成的角即与所成的角.即∠,因为，＝1.所以，．所以．13.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为______．【答案】【解析】【详解】，则图象向右平移个单位长度后的图象的解析式为：，已知关于y轴对称，，解得，，的最小值为．14.设正整数，其中，或（，，，），记．若且，则满足题意的共有______个．【答案】792【解析】【分析】结合正整数的二进制表示形式，根据已知条件确定的二进制的最多位数，利用分类计数原理计算即可.【详解】正整数，其中，或，为的二进制表示形式.表示二进制中1的个数，要求且.因为，所以的二进制最多有13位（从到）.要满足，即二进制中恰好有5个1，且，即最高位为1.当二进制为5位时：最高位固定为1，剩余4位全为1，共个；当二进制为6位时：最高位固定为1，剩余5位选4个为1，共个；当二进制为7位时：最高位固定为1，剩余6位选4个为1，共个；当二进制为8位时：最高位固定为1，剩余7位选4个为1，共个；当二进制为9位时：最高位固定为1，剩余8位选4个为1，共个；当二进制为10位时：最高位固定为1，剩余9位选4个为1，共个；当二进制为11位时：最高位固定为1，剩余10位选4个为1，共个；当二进制为12位时：最高位固定为1，剩余11位选4个为1，共个；当二进制为13位时，最高位固定为1，此时4096化为二进制为1000000000000，只有1个1，不满足，排除.所以满足题意的共有个.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和，并证明．【答案】（1）（2），证明见解析.【解析】【小问1详解】设等差数列的公差为d．因为，所以解得所以的通项公式为．【小问2详解】由（1）知．因为，所以因为，所以．16.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点.（1）证明：平面．（2）设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）连接菱形对角线、交于中点，利用三角形中位线得，由线面平行判定定理证平面.（2）以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再设上的点并表示出平面的法向量，根据面面垂直的法向量点积为零列方程，解得参数后算出的长度为.【小问1详解】连接，交于点，连接.因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点.因为为的中点，所以在中，是中位线，即.因为平面平面，所以平面.【小问2详解】以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可得，.设平面的法向量为.因为，所以令，则.设，则.设平面的法向量为，则令，则.若平面平面，则，解得.故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为.17.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的标准方程；（2）设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）证明见解析，恒过定点【解析】【分析】（1）由离心率得，结合推出，设椭圆方程后代入已知点坐标，求出与，写出椭圆方程.（2）设直线联立椭圆方程，由限定斜率范围，利用韦达定理得根与系数关系，写出对称点，求出直线在处的横坐标，代入化简消去参数，证得直线恒过定点.【小问1详解】因为离心率，所以.因为，所以，所以的方程可写为.因为过点，所以，解得，因此，所以的标准方程为.【小问2详解】由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点.设直线的方程为，与的方程联立，消去得，由，解得.设，则.直线的方程为，令，可得.因为，所以故直线恒过定点.18.某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立.（1）记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点.（2）已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟.（i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求；（ii）若第一轮10名队员中恰有3人答错，以（1）中确定的作为的值，求，并比较（i）与（ii）中谁的总时间成本的期望更小.参考数据：.【答案】（1）（2）（i）80；（ii）分钟，（ii）中的总时间成本的期望更小.【解析】【分析】（1）根据二项分布可求，结合导数可求其极大值点；（2）（i）根据团队得分为分可得；（ii）设剩余10人答对的题数为，根据二项分布可求，从而可求对应的，两者比较后可得正确的结论.【小问1详解】由题意可得，因此.令，且，得，当时，，当时，，所以的极大值点.【小问2详解】（i）若不需启动“全员补答”，则团队最终得分为8分（低于15分），需额外参加60分钟培训.答题时间为分钟，培训时间为60分钟（因得分），总时间成本分钟（确定值），故.（ii）若启动“全员补答”，则剩余10人全部答题，每人答错题的概率，答对题的概率为0.7.设剩余10人答对的题数为，则.设团队的最终得分为，则，若，则，而，答题时间为分钟，培训时间：以概率0.615发生，额外参加60分钟培训.总时间成本的数学期望分钟.因为不启动全员补答时，分钟，启动全员补答时，分钟，所以（ii）中的总时间成本的期望更小.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）证明：无零点.（3）若函数，证明：.【答案】（1）；（2）