2025-2026学年福建省南安市第一中学高一（下）期中数学试卷(含简略答案)

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年福建省南安市第一中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知平面向量=（-1，2），=（x,-2），若⊥，则x的值为（）A.-4 B.-1 C.1 D.42.已知复数，则|z|=（）A.0 B.1 C. D.3.已知直线l、m和平面α，若m⊂α，则“l与m不相交”是“l∥α”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件4.已知、是夹角为的两个单位向量，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.5.已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（）A.4 B.6 C. D.6.湘超湘味，湘当韵味！2025年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超241万，全网流量破163亿，成为了湖南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动.已知米，AC=20米，∠BAC=30°.若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（）A.秒 B.秒 C.秒 D.秒7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=AA1=2，以点B为球心、半径为2的球与此直三棱柱表面相交，交线为Γ，点P为Γ上的动点，当|PC1|取最小值时，此时的值为（）A.4 B. C. D.8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a+bcosC=0，则tanA的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（）A. B.

C. D.与的夹角为10.下列说法正确的是（）A.复数2+i的模为

B.复数z=1-i的虚部为-1

C.若z1=2i,z2=i,则z1＞z2

D.若复数z1，z2满足，则z1=z2=011.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点P在其表面上运动，且|PA|=x,把点的轨迹长度L=f（x）称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（）A. B.f（2）=3π

C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，a=2，，A=120°，△ABC的面积为

.13.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：

①PC∥平面OMN；

②平面PCD∥平面OMN；

③OM⊥PA；

④直线PD与直线MN所成角的大小为90°．

其中正确结论的序号是______．（写出所有正确结论的序号）

14.若平面向量，满足，，则当最小时，=

；记与的夹角为θ，则tanθ的最大值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知.

（1）求的值；

（2）证明：.16.(本小题15分)

如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为l.

（1）求证：平面MNQ∥平面PAD；

（2）求证：BC∥l；

（3）若，求四棱锥P-ABCD的体积.17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,.

（1）求角A；

（2）D为△ABC外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，CD=1，若，，求△ABD的面积.18.(本小题17分)

某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C为圆心的四分之一圆弧ED构成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF∥CE，且BC=BF=1，CE=2，，将平面图形ADEF以AD所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花.

（1）求该烟花的体积；

（2）工厂准备将矩形PMNQ（该矩形内接于图形BDEF，M在弧DE上，N在线段EF上，PQ在AD上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设∠MCE=θ（），

①请用θ表示燃料的体积V；

②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间.19.(本小题17分)

我们知道复数有三角形式z=r（cosθ+isinθ），其中r为复数的模，θ为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则r1（cosθ1+isinθ1）•r2（cosθ2+isinθ2）=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍.已知在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，其边长为1，∠AOC=120°，点A，B，C所对应的复数分别为z1，z2，z3.

（1）若，求出z2，z3；

（2）如图，若P（3，0），以PA为边作正方形APMN.

（ⅰ）若M，N在AP下方，是否存在复数z1使得OM长度为，若存在，求出复数z1；若不存在，说明理由；

（ⅱ）若M，N在AP上方，且向量，求证：.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】AB

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】①②③

14.【答案】1．

15.【答案】

证明：因为=，

又0＜B＜π，所以

16.【答案】由题易知MN∥PD，NQ∥AD，

又因为MN⊄面PAD，PD⊂面PAD，则MN∥面PAD，

同理可得NQ⊄面PAD，AD⊂面PAD，可得NQ∥面PAD，

又因为MN∩NQ=N，MN，NQ⊂面MNQ，则面MNQ∥面PAD

由题易知BC∥AD，

又因为BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，则BC∥面PAD，

又因为BC⊂面PBC，面PBC∩面PAD=l，则BC∥l

32

17.【答案】

18.【答案】解：（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，

又，，，

所以该烟花的体积．

（2）①由图可知：PM=NQ=2cosθ，PC=2sinθ，

在梯形BCEF中，由CE=2，BF=BC=1，

易知，故CQ=2-2cosθ，

则PQ=CP+CQ=2+2sinθ-2cosθ，

所以V=π|MP|2⋅|PQ|=8πcos2θ（1+sinθ-cosθ）．

②由上问可知：

即

=，

令，则，

上式即为，

又令n=8m-1，，则，

当n=0时，t=π，

当-1＜n＜0时，t＜π，

当n＞0时，，

当且仅当，即n=3，即时，等号成立，满足题意．

该烟花燃烧的最长时间