2026年高考数学复习讲练测专题 08 等差数列、等比数列（高频考点专练）（原卷版）

专题08等差数列、等比数列

目录

高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

聚焦题型精准解密（7大题型精讲+变式拔高训练）

题型一等差数列通项公式的基本量计算（）

题型二等差数列前n项和的基本量计算（）

题型三等差数列性质（）

题型四等比数列通项公式的基本量计算（）

题型五等比数列前n项和的基本量计算（）

题型六等比数列性质（）

题型七数列新定义（）

实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

有关数列的北京高考试题，数列一般以课程学习基础内容为中心;以等差等比性质的灵活应用为考点，

数列题一般以通项、求和及性质应用为主要考点.在备考时应注意以下两点:(1)求数列通项；等差、等比数列

的前n项和；数列中最大（小）项；数列的单调性；基本量的计算；等差、等比中项；做到灵活驾驭;(2)数

列新定义问题，理解题干所阐述的思想，选择合适的条件,快速求解，同学们也要加强逻辑思维能力、运算

求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养

基础知识必备：熟练掌握求数列通项；等差、等比数列的前n项和；数列中最大（小）项；数列的单调性；

基本量的计算；等差、等比中项；数列新定义问题

2026高考预测：数列部分主要以考查基础知识为主，同时锻炼学生的运算求解能力、逻辑思维能力等.重点

考查学生对数列基础知识的掌握程度及灵活应用,同时也要重视对通性通法的培养问题

重难知识汇总：

1.等差数列及中项

对于数列，若（*，，为常数）或（*，为常数），则此数

{an}anan1dnNn2dan1andnNd

列是等差数列，其中常数d叫做等差数列的公差．

等差中项

ab

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，即A．

2

①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数a，b的等差中项存在且唯一．

ab

②三个数a，A，b成等差数列的充要条件是A．

2

2.等差数列的通项公式

等差数列的通项公式

首相为，公差为的等差数列的通项公式为：，*

a1d{an}ana1(n1)dnN

等差数列通项公式的推广

已知等差数列中，第项为，公差为，则．

{an}mamdanam(nm)d

证明：因为，

ana1(n1)dama1(m1)d

所以

anam[a1(n1)d][a1(m1)d](nm)d

所以

anam(nm)d

3.等差数列的性质

等差数列中，公差为d，则

①若*，且，则，

m,n,p,qNmnpqamanapaq

特别地，当时．

mn2paman2ap

②下标成公差为的等差数列的项，，，组成的新数列仍为等差数列，公差为．

makakmak2m…md

③若数列也为等差数列，则，，（，为非零常数）也是等差数列．

bnanbnkanbkb

④……仍是等差数列．

a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,

⑤数列（为非零常数）也是等差数列．

an+b,b

4.等差数列的前n项和公式

等差数列的前n项和公式

n(aa)

公式一：S1n

n2

n(n1)d

公式二：Sna

n12

n(aa)n(n1)d

证明：将aa(n1)d代入S1n可得：Sna

n1n2n12

5.等差数列的前n项和的有关性质

等差数列中，公差为，则

{an}d

①连续项的和依然成等差数列，即，，，成等差数列，且公差为2．

kSkS2kSkS3kS2k…kd

S奇a

②若项数为，则，，n

2nS2nn(anan1)S偶S奇nd

S偶an1

S

③若项数为，则，，，，奇n

2n1S2n1(2n1)anS奇nanS偶(n1)anS奇S偶an

S偶n1

6.等差数列中的函数关系

等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数）

{an}n

等差数列中，，令，则：（，是常数且为公差）

{an}ana1(n1)ddn(a1d)a1dbandnbdbd

（）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．

1d0anb{an}yb

（）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．

2d0andnbnydxb

①当时，一次函数单调增，为递增数列；

d0{an}

②当时，一次函数单调减，为递减数列．

d0{an}

等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）

{an}nn

n(n1)dddd

由Snadn2(a)n，令A，Ba，则：SAn2Bn（A，B是常数）

n12212212n

（）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群

1d0A0SnBnna1Snnya1x

孤立的点．

（）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线2上

2d0A0SnnyAxBx

的一群孤立的点．

①当d0时Sn有最小值②当d0时，Sn有最大值

7.等差数列前n项和的最值

等差数列前n项和的最值

（）在等差数列中，

1an

a0

当a0，d0时，S有最大值，使S取得最值的n可由不等式组n确定；当a0，d0时，S有

1nn1n

an10

a0

最少值，使S取到最值的n可由不等式组n确定．

n

an10

（）d2d，若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，

2Snna1nd0d0Snd0Sn

22

有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值．

nSn

8.等比数列与等比中项

a

公比通常用字母q表示（q0），即：n1q(q0)．

an

如果三个数a、G、b成等比数列，那么称数G为a与b的等比中项．其中Gab．

①只有当a与b同号即ab0时，a与b才有等比中项，且a与b有两个互为相反数的等比中项．当a与b异

号或有一个为零即ab0时，a与b没有等比中项．

ab

②任意两个实数a与b都有等差中项，且当a与b确定时，等差中项c唯一．但任意两个实数a与b不

2

一定有等比中项，且当a与b有等比中项时，等比中项不唯一．

Gb

③当ab0时，a、G、b成等比数列G2abGab．

aG

④G2ab是a、G、b成等比数列的必要不充分条件．

9.等比数列的通项公式

等比数列的通项公式

首相为，公比为的等比数列的通项公式为：n1，

a1q{an}ana1q(nN*a1q0)

等比数列的通项公式的推广

已知等比数列中，第项为，公比为，则：nm

{an}mamqanamq

aaqn1

证明：∵n1，m1∴n1nm∴nm

ana1qama1qm1qanamq

ama1q

由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式

n1，可以看成是时的特殊情况．

ana1q(nN*a1q0)m1

10.等比数列的性质

设等比数列的公比为

{an}q

①若，且，则，

m,n,p,qNmnpqamanapaq

特别地，当时2．

mn2pamanap

②下标成等差数列且公差为的项，，，组成的新数列仍为等比数列，公比为m．

makakmak2m…q

③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、1、m（，

{an}{bn}a2na2n1kankk0{}{an}mN

an

a

是常数）、、n也是等比数列；

manbn{}

bn

④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，成等比数列．

kSkS2kSkS3kS2k…

11.等比数列中的函数关系

aa

等比数列{a}中，aaqn11qn，若设c1，则：acqn

nn1qqn

（1）当q1时，anc，等比数列{an}是非零常数列．它的图象是在直线yc上均匀排列的一群孤立的点．

（）当且时，等比数列的通项公式n是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线

2q0q1{an}ancqn

a

y1qx（q0且q1）上的一些孤立的点．

q

①当q1且a10时，等比数列{an}是递增数列；②当q1且a10时，等比数列{an}是递减数列；

③当0q1且a10时，等比数列{an}是递减数列；④当0q1且a10时，等比数列{an}是递增数列．

（3）当q0时，等比数列{an}是摆动数列．

12.等比数列的前n项和公式

等比数列的前n项和公式

na1(q1)

n

Sna1(1q)a1anq

(q1)

1q1q

aaa

由等比数列的定义，有23nq

a1a2an1

a2a3anSna1

根据等比性质，有q(1q)Sna1anq

a1a2an1Snan

aaqa(1qn)

所以当q1时，S1n或S1．

n1qn1q

13.等比数列前n项和的函数特征

、与的关系

1Snq

n

a11q

（1）当公比q1时，等比数列的前n项和公式是S，

n1q

aaa

它可以变形为S11qn，设A1，则上式可以写成SAAqn的形式，

n1q1q1qn

由此可见，数列的图象是函数x图象上的一群孤立的点；

SnyAAq

（）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群

2q1nSnna1Snya1x

孤立的点．

、与的关系

2Snan

aaqaq

当公比q1时，等比数列的前n项和公式是S1n，它可以变形为S1a

n1qn1q1qn

qa

设A，B1，则上式可写成SAaB的形式，则S是a的一次函数．

1q1qnnnn

14.等比数列前n项和的性质

SSa

、等比数列中，若项数为，则偶；若项数为，则奇1．

1an2n=q2n1=q

S奇S偶

、若等比数列的前项和为，则，，成等比数列（其中，，

2annSnSnS2nSnS3nS2n…SnS2nSnS3nS2n…

均不为0）．

、若一个非常数列的前项和n，则数列为等比数列．

3annSnAqAA0,q0,nNan

常用技巧方法：

1.等差数列通项公式的基本量计算

（1）求公差d或项数n．在求解时，一般要运用方程思想

（）求通项．和是等差数列的两个基本元素

2a1d

（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解

（4）求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解

2.求等差数列前n项和Sn最值的2种方法

（）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式2＋，通过配方或借助图象求二次函数最

1nSnanbn

值的方法求解

a

（）邻项变号法：①若，，则满足m的项数使得取得最大值

2a10d0mSnSm

am1

a

②若，，则满足m的项数使得取得最小值

a10d0mSnSm

am1

3.等比数列的前n项和公式

na1(q1)

等比数列的公比为，其前项和为n

{an}q(q0)nSna1(1q)a1anq

(q1)

1q1q

注①等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，

再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q1与q1两种情况讨论求解

a(1qn)aaq

②已知a,q(q1),n（项数），则利用S1求解；已知a,a,q(q1)，则利用S1n求

1n1q1nn1q

a(1qn)aa

解③S11qn1kqnk(k0,q1)，S为关于qn的指数型函数，且系数与常数互为相

n1q1q1qn

反数

易错避坑提效：

1.混淆数列与函数的区别

数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问

题，要注意n的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。

2.错误理解等比数列的“中项”概念

若a,b,c成等比数列，则b为a和c的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项，在解题时务必

要注意此点。

3.等比数列求和时忽视对q讨论

na1,q1

注意等比数列的求和公式是分段表示的：Sn，所以在利用等比数列求和公式求和时要先

na11q

,q1

1q

判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.

题型一等差数列通项公式的基本量计算

【例1】（2025·北京通州·一模）已知等差数列an满足：a52a31，且a20，则a2025（）

A．2026B．2025C．2024D．2023

【变式1-1】（2023·北京海淀·一模）在等差数列an中，a21,a45，则a8（）

A．9B．11C．13D．15

【变式1-2】（2025·北京房山·一模）已知an是等差数列，且a21,a1a58，则an的通项公式

an.

【变式1-3】（2024·北京丰台·一模）已知公差为d的等差数列an满足：a52a31，且a20，则d（）

A．1B．0C．1D．2

题型二等差数列前n项和的基本量计算

【例2】（2024·北京·模拟预测）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a38,S936，则a4（）

A．4B．6C．10D．12

【变式2-1】（24-25高三上·北京海淀·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，a23a414，则S6（）

A．7B．21C．28D．42

【变式2-2】（2024·北京·模拟预测）记等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a5a1162，且S13351，

则该数列的公差d为（）

A．3B．4C．5D．6

【变式2-3】（2025·北京·模拟预测）今年高三的“π节”活动引用了漫画《龙珠》.在原著中卡林塔上的猫仙

人种植了一种仙豆，可以帮助主角疗伤和增长战斗力.仙豆共有7颗，从小到大可以增加的战斗力构成一个

递增的等差数列.在下一场挑战前，主角将7颗仙豆全部吃掉，增加21000的战斗力，击败了“比克大魔王”.

如果第3小的仙豆可以增加2700的战斗力，那么最小的仙豆可以增加的战斗力为（）

A．1800B．2100C．3600D．3900

题型三等差数列性质

1110

【例3】（2022·北京房山·一模）数列an是等差数列，若a35，，则a1a5（）

a1a59

9

A．B．9C．10D．20

2

*

【变式3-1】（2023·北京延庆·二模）已知数列an，a22，anan13n,nN，则a2a4a6a8a10a12

【变式3-2】（2025·北京朝阳·二模）已知等差数列an满足a1a28,a5a68，则a3a4；

设Sn为an的前n项和，则使Sn0的n的最小值为．

【变式3-3】（2022·北京·三模）已知数列{an}为首项为2，公差为2的等差数列，设数列{an}的前n项和

S

为S，则2022=（）

n2022

A．2021B．2022C．2023D．2024

题型四等比数列通项公式的基本量计算

【例4】（2025·北京朝阳·一模）已知an是等比数列，a22，a31，则a1a2a6（）

111

A．B．C．D．1

842

【变式4-1】（2022·甘肃酒泉·模拟预测）已知在递减的等比数列an中，a5a66，a3a88，则a7（）

A．4B．3C．2D．1

【变式4-2】（2023·山西忻州·模拟预测）在等比数列an中，若a1a362，a2a431，则当a1a2an取

得最大值时，n．

2*

【变式4-3】（2022·北京石景山·一模）正项数列an满足anan2an1，nN．若a59，a2a41，则a2的

值为．

题型五等比数列前n项和的基本量计算

【例5】（2024·北京通州·二模）已知数列an为等比数列，a11，a33a2，则a5；数列an2

的前4项和为．

n

【变式5-1】（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，a11，lganlgan1lg2，

*

nN，则S9（）

A．511B．61C．41D．9

【变式5-2】（2024·北京房山·一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，

初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一

个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目

的地．”则该人第三天走的路程为（）

A．12里B．24里C．48里D．96里

【变式5-3】（2023·北京西城·模拟预测）已知等比数列an，记其前n项乘积Tna1a2an.若T22,T38，

则a3；an的前4项和为.

题型六等比数列性质

【例6】（2025·北京西城·模拟预测）设an是等比数列，a11，a2a416，则a5．

【变式6-1】（24-25高二下·北京·期中）各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若S102,S206，

则S30（）

A．10B．8C．12D．14

【变式6-2】（2025·北京延庆·三模）已知等比数列an单调递减，各项均为正数，前n项的乘积记为Tn.则

“a3a13a9”是“Tn有唯一的最大值T7”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

2

【变式6-3】（22-23高二下·北京西城·期末）在等比数列a中，a2，公比q，记其前n项的和为S，

n13n

*

则对于nN，使得Snm都成立的最小整数m等于（）

A．6B．3C．4D．2

题型七数列新定义

【例7】（2025·北京延庆·三模）已知数集Aa1,a2,...,an(1a1a2...an,n2)具有性质P:对任意的

k(2kn)，i,j(1ijn)，使得akaiaj成立.

(1)分别判断数集{1,2,3,6,10}与{1,2,4,5,9}是否具有性质P，并说明理由;

(2)求证an2a1a2...an1(n2);

(3)若an36，求数集A中所有元素的和的最小值.

(4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式.

*

【变式7-1】（2025·北京海淀·三模）设数列an的前n项的和为Sn，若对任意的nN，都有Snan1，则

称数列an为“超神数列”，下列命题中，正确的有．

①存在递增数列an，使得它是“超神数列”；

②存在周期数列an，使得它是“超神数列”；

③存在等差数列an，使得它是“超神数列”；

15

④若为等比数列，对于任意，存在a，使得为超神数列．

anq,01an

2

【变式7-2】（2025·北京海淀·三模）设A0是一个项数为nn2的数列，其中每一项均为集合0,1,2中的

*

元素．定义数列AjjN如下：若Aj1:x1,x2,,xn，则Aj:y1,y2,,yn，其中，当xixi1时，yixi，当xixi1

时，yi3xixi1，i1,2,,n，其中记xn1x1．

(1)①若数列A0:0,1,2，则A3:______；

②若数列A0:1,1,2,0，则A4:______．

(2)对于给定的正整数n，若正整数m满足对任意A0，均有数列Am与A0为同一数列，则称m为“n阶好数”．

（ⅰ）求最小的“3阶好数”．

（ⅱ）求使得“n阶好数”存在的n的所有可能取值．

【变式7-3】（2025·北京·模拟预测）若有限数列A：a1,a2,,am的各项均为正整数，且对

i,j1,2,3,,m2,ij，都有aiai1ai2ajaj1aj2，则称数列A具有性质P.将数列A各项之和记

为SA.

(1)分别判断下列两个数列an：1，6，2，4，3，bn：1，2，3，4，5，…，10，是否具有性质P，并说

明理由.

(2)若数列A具有性质P，且项数m为6，求SA的最小值.

(3)对具有性质P且项数固定为m的数列A，记SA的最小值为Sm.判断是否存在正整数m4使得Sm23.

若存在，求出所有的m；若不存在，请说明理由.

（限时训练：15分钟）

1．（2025·北京海淀·三模）等差数列an的首项为1，公差不为0，若a2,a6,a22成等比数列，则an的前6

项和为（）

A．51B．66C．39D．6

2．（2025·北京海淀·二模）已知an为等差数列，bn为等比数列，其中a1b11,a3b33，则（）

A．a4b4B．a4b4

C．a5b5D．a5b5

*

3．（2025·北京丰台·一模）已知an是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，则“nN，SnS8”

是“a80”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

件

4．（2025·北京海淀·三模）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职

工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至

六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：

1965年1月－41965年5月－81965年9月－121966年1月－4

出生时间…

月月月月

新方案法

定退休年60岁1个月60岁2个月60岁3个月60岁4个月…

龄

那么1970年5月出生的男职工退休年龄为（）

A．61岁4个月B．61岁5个月

C．61岁6个月D．61岁7个月

出生年

退休年龄

龄

1965.560岁2个月

1966.560岁5个月

1967.560岁8个月

60岁11个

1968.5

月

1969.561岁2个月

1970.561岁5个月

16

5．（2025·北京平谷·一模）在等比数列a中，aa16,aa，记Taaan1,2,，则

n12233n12n

数列Tn（）

A．无最大项，有最小项B．有最大项，无最小项

C．有最大项，有最小项D．无最大项，无最小项

6．（24-25高三上·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个

月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加10%.记甲、乙两公司在2023年第n个

月的盈利分别为Q1(n)，Q2(n)（单位：万元）.已知Q1(1)1200，Q2(1)1100，则Q1(n)Q2(n)最大时，n的值

为（）

（参考数据：lg1.10.0414，lg20.3010）

A．7B．8C．9D．10

7．（2023·北京·三模）已知an是等差数列，满足a13,a412，数列bn满足b14,b420，且bnan

为等比数列，则an，使bn1000成立的最小的n．

8．（24-25高三下·北京朝阳·月考）不相同的数列an与bn，且都不为常数数列，Mkakbk，给出

下列4个结论：

①若数列an,bn均为无穷等差数列且公差相等，则M中可能恰有一个元素；

②若数列an为递增数列，数列bn为递减数列，则M中恰有一个元素；

③若数列an为等差数列，bn为等比数列，则M中至多有三个元素；

④若数列an,bn为公比不相等的等比数列，则M中至多有两个元素.

其中所有错误结论的序号是.

9．（2025·北京·三模）已知等比数列an的前n项和为Sn，满足a11，2Sn3an13.则S2为；满足

Sn5的最小的整数n为.

10．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建