1河南省青桐鸣2026届高三下学期大联考5月质量检测数学试卷（含解析）

河南省青桐鸣2026届高三下学期大联考5月质量检测数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则(

)A. B. C. D.2．已知复数z满足，则(

)A. B. C. D.3．已知袋中有2个白球、1个红球，3个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是(

)A. B. C. D.4．如图，在矩形ABCD中，，O为CD的中点，为等边三角形，G为的中心，则(

)A. B. C. D.5．在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为(

)A. B. C. D.6．已知椭圆的左、右顶点，和左、右焦点，分别是双曲线的左、右焦点和左、右顶点，P是两曲线在第一象限的公共点，椭圆和双曲线的离心率分别为，，，和分别为直线和的斜率，则(

)A. B. C. D.7．若实数x，y满足，对于以下各式：①；②；③；④，其中不可能成立的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.48．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的平分线交BC于点D，，则(

)A. B. C. D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。9．一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的(

)A.中位数是3 B.第80百分位数是4C.平均数是3.5 D.方差是1110．已知4个正数a，b，c，d成等比数列（公比），则(

)A.B.C.D.若，，则的最小值为511．已知，且，则的取值可能在以下哪个区间(

)A. B. C. D.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．函数的图象的对称中心为____________________.13．函数的最大值为____________________.14．过点可向曲线作三条切线，则实数b的取值范围为____________________.四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知在数列中，，当时，.（1）证明：为等比数列；（2）若，求数列的前n项和.16．（15分）如图，在三棱台中，，，，.（1）证明：平面ABC；（2）求二面角的正弦值.17．（15分）现有1，2，3号三名运动员投篮，命中率分别为，，，每次投篮命中与否相互独立，1号先投，接下来按以下规则，若n号投进，则下次由号投，若n号投不进，则下次由号投，4号就是指1号，5号就是指2号，6号就是指3号，7号就是指1号，依次类推.（1）求第3次由3号投篮的概率；（2）每进1球记1分，不进球记0分，三人得分累计3分或投篮总次数达到5次后结束，设投篮总次数为X，求X的数学期望.18．（17分）抛物线上一点到焦点F的距离为2.（1）求抛物线的方程.（2）过的直线交此抛物线于A，B（A，B不与原点O重合）两点，的外接圆圆心为Q.（ⅰ）证明：为锐角；（ⅱ）求直线OQ的斜率的最大值.19．（17分）已知函数，函数，m为实数.（1）证明：.（2）若.（ⅰ）证明：有两个零点，，且若，则；（ⅱ）证明：.

参考答案及解析1．答案：C解析：，，故.故选C.2．答案：C解析：设，，则，故解得故.故选C.3．答案：B解析：恰有1次摸到红球的概率是.故选B.4．答案：A解析：由，得，以A为原点，，分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，则，，，，，故.故选A.5．答案：C解析：设其外接球的半径为R，则，解得.故此长方体外接球的表面积为.故选C.6．答案：B解析：由题意，得，，由，得，，且，设，由，得，所以.易得，，故.故选B.7．答案：B解析：，令，显然为减函数.若，则，故，则②不可能成立；若，则，故，则④不可能成立；当时，，则，①可能成立；当时，，则，③可能成立.故选B.8．答案：D解析：由，得，故，故，故，得.由，即，易知，故，，设，，则，由，得，故，而，故.故选D.9．答案：AB解析：易知中位数是，A正确；，故第80百分位数是，B正确；平均数是，C错误；方差是，D错误.故选AB.10．答案：BCD解析：由等比数列性质，知，A错误；，B正确；，C正确；，，因为，故在上单调递减，，即当时，取得最小值5，，符合题意，D正确.故选BCD.11．答案：BCD解析：，故，或，，即，或，.当，时，或1，或，因为，所以，且，所以；因为，而，所以，且，所以，即；当，时，，，.故选BCD.12．答案：解析：由，得，故函数的定义域为，又，即，故函数的图象的对称中心为.13．答案：解析：当时，；当时，，可变形为，即（其中），故，故或.综上所述，函数的最大值为.14．答案：解析：设切点为，由，得，切线方程为，由点在切线上，得，整理，得，令，则，在上，，；在上，，；在上，，，由题意知解得.所以b的取值范围为.15．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：当时，，故是以为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）知，所以，故，故，故，故.16．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：易求得，取AB的中点M，连接，，故，又且，故四边形是平行四边形，故，同理，取BC的中点N，连接，，故由且，得四边形是平行四边形，，故，又，，且平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，所以，所以，又，，所以平面ABC.（2）以C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的法向量为，则有故令，则，设平面的法向量为，则有故令，则.则，故二面角的正弦值为.17．答案：（1）（2）解析：（1）“第3次由3号投篮”，即第1次由1号投进，第2次由2号投进，概率为.（2）X的所有可能取值为3，4，5.，当时，有一次未投进，分以下三种情况：第一次未投进，概率为，第二次未投进，概率为，第三次未投进，概率为，故，，故.18．答案：（1）（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）解析：（1）到准线的距离为，故，所以抛物线的方程为.（2）（ⅰ）证明：设直线，代入抛物线方程，得，故，设，，则，则，又A，B，O不共线，故为锐角.（ⅱ）设，的中点为，即，易知，，将代入化简，得，同理，，，得，由，得，，故，故，当时，易知，；当时，AB的中点为，故由，得，得，故，当且仅当时，等号成立.综上所述，的最大值为.19．答案：（1）证明见解析（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析解析：证明：（1），令，则，故为减函数，在上.，在上，，故在上单调递增，在上单调递减，故.（2）（ⅰ）要证有两个零点，即