2025-2026学年下学期重庆南开中学高一数学5月期中试卷（含答案）

2025-2026学年高一(下)期中学业水平检测数学本试卷分为第1卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟，第I卷和第II卷都答在答题卷上.第1卷(选择题共58分)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足zi=2+i(i是虚数单位)，则A.-2B.-1C.1D.22.已知O为坐标原点，A1,2，B5,1A.3,32B.6,3.设a,b为非零向量，则“aa=bbA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，在△ABC中，AB=3AD，CE=ED，设AB=aA.1B.1C.1D.15.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,面积为A.14B.16.已知△ABC中,AB=AC=AB+AC,则A.32BAB.−327.在△ABC中,a,b分别为内角A,B的对边,若atanA.等腰三角形B直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形8.已知点A在线段BC上(不含端点),O是直线BC外一点，且OA=2xOB+yOC，则A.4B.85c.3二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.9.设z1,A.若z1=z2，则z1=z2B.若C.若1z1为纯虚数，则z110.已知向量a,b满足:a=3,bA.aB.a与b夹角的余弦值为−C.a在b上的投影向量坐标为1,1D.a−11.已知△ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，外接圆圆心O满足5OA+5OB+6OC=0，MA.△ABC为等腰三角形B.C.Rr=55+1三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果，不写过程).12.已知向量m=2,1,n=−113.若向量a,b满足:b=2a,a⊥a−14.在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且c−四、解答题:本题共5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).15.(13分)已知复数z=m−i(i是虚数单位，m∈R(1)求复数z；(2)若复数−a−i2026+i16.(15分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A(1)若cosB=14，求(2)若△ABC的面积为32，点D满足AD=2DB17.(15分)在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2DC=4，AD=BC=5，F是BC的中点，点(1)若t=12，且EF=λAB(2)求AE⋅AE18.(17分)在△MAB中,MA=MB=4,(1)求CD的取值范围；(2)若∠AMB=π3，E为BC的中点，P(i)求证:PM⋅PE(ii)求PM+219.(17分)在△ABC中,已知AB=BC,△ABC的面积S(1)求ABAC(2)如图所示，O为线段AC上一点，延长BO至点D，使得CD=2AD=4(i)用含θ的式子分别表示△ABC与△ABD(ii)若AO=λAC,求实数2025-2026学年高一(下)期中学业水平检测数学答案一、单项选择题:1.A由zi=2+i,得2.C由重心坐标公式可得坐标0+1+53,0+23.B由“aa=bb”只能得到“a//b”，不满足充分性；由“a=b”4.DAE=125.C由b2+c2=由余弦定理b2+c2−a26.A由AB=AC=AB+AC可知△ABC为等腰三角形,且∠BAC=23π,则7.Batan首先正切化为正余弦比值,即asin然后将边化为正弦值，即sinAsin两边约去sinAsin可得cosA+cosB=sinA利用辅助角公式,可得2sinA−π4=−2sinB−π4,即sinA−π8.C由A,B,C则2x+y=1x观察分母与条件等式之间关系,构造2x有2x当y+2x+1=4x+1所以1x+1−yy+二、多项选择题:9.BCD选项A:举反例z1=选项B:设z1=a+bia,b∈R,z1=z2,则选项D:由复数减法的几何意义可判断成立；故选BCD.10.AD选项A:由b=2,2a−2b=51平方可得a−选项B:cos<a,选项C:a在b上的投影向量为a⋅bb2b=−422211.ACD设AB中点为D，由5OA+可得10OD+6OC=0选项A:外心O在CD上，CD为中垂线,所以CA=CB，△选项B:可设R=OC=OA=OB=5，由5OD=3CO，可知OD=3，由OD⊥AB选项C:利用选项B的运算结果，由等面积法，可得内切圆半径r=2S△ABCa选项D:由CM=λOA+μ即OM=OC+λOA+μOB可得OM=λλ−56+μ−56∈−5三、填空题:12.−因为m//n,所以2λ=1×13.π记a与b所成角为θ,因为a⊥所以a⋅解得cosθ=2214.2由正弦定理可知:sin⇔sin⇔sinA故A−B=B或所以c===cos2B且由0<A=2B<当cosB=λ4∈22,3四、解答题:15.(1)因为z⋅1所以m−2=0且1+2m(2)因为复数−a⋅且在复平面内对应的点在第二象限,所以2a−故实数α的取值范围是−2,16.(1)在△ABC中，由余弦定理可得b2即102=32+c2−2×3⋅(2)由S△ABC得sinC=1010,所以cosC又因为点D满足AD=2DB，所以CD2=13CA得CD=823或17.(1)因为t=12，所以点E为DC的中点，有又DB=AB−AD所以λ=12,μ=−(2)以A为坐标原点，直线AB为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立如图所示直角坐标系，由条件可得A0所以AE=所以AE==8因为0≤t≤1，所以所以AE18.(1)设∠AMB=则CD=14(2)(i)取BD中点F，因为MF=1所以MF=12ME,即M、F、E三点共线,且因为BD⋅BP=BP2故BP⊥DP,P在以所以PF=ME则PM=PF2−FM(ii)由(i)可知:PM2设PM=m,PE=由MF−FP≤PM=设t=nm.由n2m所以m=20令u=3−4t∈①当u=0时，m+2n2=80，②当因为u+25u−6所以m+综上所述，m+2n2∈66−所以PM+2PE当且仅当u=5,即t=nm=19.(1)因为2S+3BA所以BABCsin∠ABC+3BA得tan∠ABC=−3，所以∠ABC=2在△ABC中，由正弦定理可知，AC所以AC=3AB，即ABAC(2)(i)记△ABC，