教学材料《静力学》-第13章

13.1压杆稳定的概念稳定性问题和强度问题、刚度问题一样，是研究构件承载能力所要解决的基本问题之一。一根宽30mm,厚5mm的矩形截面木杆，对其施加轴向压力，如图13-1所示，设材料的抗压强度极限,当杆件很短时(设高为30mm)将杆压弯所需的压力为若杆长1m，则只需30N的压力杆件就会弯曲，若压力再大则杆件就会显著弯曲而丧失工作能力。下一页返回13.1压杆稳定的概念由此可见，两根材料相同，横截面相同的压杆，由于杆长不同，其丧失工作能力的原因有着质的区别，前者属于粗短杆，主要考虑其强度问题;后者属细长杆，引起破坏的因素不是强度问题。这就说明，细长压杆丧失工作能力并非杆件本身强度不足，而是由于其轴线在轴向压力作用下不能维持原有的直线形状一称为压杆丧失稳定，简称失稳。因此对于较细长的受压杆件，必须给予足够的重视。这类杆件在很小的压力作用下，就会弯曲，若压力继续增大，杆件将会发生显著的弯曲变形而丧失工作能力。下一页返回上一页13.1压杆稳定的概念为了研究细长压杆的失稳过程，如图13-2(a)所示，取一细长杆，在杆端施加轴向压力P。当P较小时，压杆保持直线平衡状态。再施加一横向干扰力Q，压杆将发生微小的弯曲变形，去掉干扰力Q后，杆经过若干次摆动，仍恢复到原来的直线平衡状态，如13-2(b)所示，则当压杆的原有轴线为直线时，压杆达到平衡，这种平衡称为稳定平衡。下一页返回上一页13.1压杆稳定的概念当压力P逐渐增大到某一数值时，压杆在横向干扰力Q作用下发生弯曲，去掉干扰力后，杆件不能恢复到原有的轴线为直线的平衡状态，而处于轴线为曲线的平衡状态，如图13-2(c)所示。压力P继续增加，杆件因弯曲变形显著增加而丧失工作能力，称压杆的原有轴线为直线的平衡状态为非稳定平衡。压杆的稳定性问题，就是受压杆件轴线能否保持在原有的直线状态的平衡问题。下一页返回上一页13.1压杆稳定的概念通过上述分析，压杆能否保持稳定，主要取决于压力P的大小，压力P小于某一数值时压杆就处于稳定平衡状态，压力P超过某一数值时，压杆则处于非稳定平衡状态。压杆从稳定平衡状态过渡到非稳定平衡状态的极限状态称为临界状态，该状态所对应的轴向压力值称为临界力，用Pcr表示。因此界力Pcr是判断压杆是否稳定的一个重要指标。对于一个具体的压杆(材料、截面形状和尺寸，杆件的长度，两端约束情况均已知)而言，Pcr是一个确定的值。只要杆件所承受的实际压力不超过Pcr，该压杆就是稳定的。下一页返回上一页13.1压杆稳定的概念在工程中，只注重压杆的强度而忽视其稳定性，会给工程结构带来极大的危害，历史上，曾多次出现由于压杆失稳而引发的严重事故的案例，因此在结构的设计计算中，特别是细长压杆，对其进行稳定性计算是非常必要的。例如千斤顶的丝杆(图13-3)托架中的压杆(图13-4)等，当其过于细长时，就必须进行稳定计算。返回上一页13.2压杆的临界载荷和临界应力13.2.1压杆的临界力

1.临界力的欧拉公式临界力是判断压杆是否稳定的依据。当作用在压杆上的压力P=Pcr时，压杆受到干扰力作用后将处于不稳定的微弯曲状态。因此，细长杆的临界力Pcr是压杆发生弯曲而失去稳定平衡的最小压力值。在杆的应变不大，杆内压应力不超过材料比例极限的情况下，根据弯曲变形理沦，可以推导出临界力大小的计算公式为下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力式(13-1)称为计算临界力的欧拉公式。式中，1为杆件横截面对中性轴的惯性矩;u为与杆件两端支承情况有关的长度系数，其值见表13-1;1为杆件的长度;ul为相当长度，因欧拉公式是按两端铰支的情况推导出来的，当件两端铰支时,u=1，对其余支承情况，杆件的长度应按相当长度计算。上一页下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力2.临界应力的欧拉公式压杆在临界力作用下横截面上的压应力，称临界应力，以表示。没作用于压杆h的临界力为Pcr，压杆的横截面面积为A，则其临界应力为式中，I和A均与压杆截面形状和尺寸有关。上一页下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力压杆截面的惯性半径为，将其代入上式则得令则得上一页下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力3.欧拉公式的适用范围欧拉公式是压杆处于弹性范围内推导出的，亦即只有在材料服从虎克定律的条件下才成立。因此只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限

时，欧拉公式才能适用，即上一页下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力由此可以求出对应于比例极限时的柔度为显然，欧拉公式的适用范围是把的压杆称为细长杆或大柔度杆。欧拉公式只适用于细长杆。上一页下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力13.2.2非细长杆临界应力的经验公式工程中，经常会遇到柔度小于的压杆，这类压杆的临界应力超过材料的比例极限而小于材料的屈服极限，其失效形式仍以失稳为主，在计算其临界应力时，欧拉公式已不再适用。目前多用建立在实验基础上的经验公式，即式中，a,b是与材料性质有关的常数，其单位为MPa。一些常见材料的a,b值列于表13-2上一页下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力经验公式(13-5)也有一个适用范围。对于塑性材料制成的压杆，要求其临界应力不得超过材料的屈服极限

，即式中，为对应于屈服极限:、时的柔度值。上一页下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力综上所述，经验公式(13-5)适用范围是一般把柔度介于之间的压杆称为中柔度杆或中长杆。试验证明，中长杆的稳定性接近细长杆，失效时也有明显的失稳现象。例如Q23,p八钢制成的压杆,a=304MPa,b=1.12MPa，则上一页下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力柔度的杆称为小柔度杆或粗短杆。试验证明，这类压杆当工作应力达到屈服极限时，材料发生较大的塑性变形而丧失工作能力，其失效的主要原因是由于强度不足，并非失稳。根据大、中、小柔度杆的临界应力计算公式，大柔度杆的临界应力与柔度的平方成反比;中柔度杆的临界应力与柔度呈直线关系;小柔度杆的临界应力。根据上述结果，若以柔度几为横坐标，以临界应力为纵坐标，可绘出临界应力随柔度变化的曲线，即临界应力总图，如图13-5所示。上一页下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力(1)对于大柔度杆或细长杆，其失效以失稳为主，其临界应力用欧拉公式计算(2)对于中柔度杆或中长杆，其临界应力用经验公式计算上一页下一页返回13.2压杆的临界载荷和临界应力(3)对于小柔度杆或粗短杆，其失效是强度不足所致，用压缩强度公式计算例13-1有一矩形截面的压杆如图13-6所示，下端固定，上端自由。已知h=20mm,h=40mm,l=1m，材料为钢材，E=200GPa，试计算此压杆的临界力。上一页返回下一页13.2压杆的临界载荷和临界应力解:(1)求最小惯性半径imin。截面对y和z轴的惯性矩分别为因Imin=Iy，故压杆易绕y轴弯曲而失稳，其最小惯性半径为上一页返回下一页13.2压杆的临界载荷和临界应力(2)求柔度因为u=2.0，则(3)用欧拉公式计算临界应力。(4)算临界力Pcr。上一页返回13.3压杆稳定性校核为了保证压杆不失稳，必须对其进行稳定性计算。这种计算与构件的强度或刚度计算有本质上的区别，因为它们对保证构件的安全所提出的要求是不同的。在压杆稳定计算时，其临界力和临界应力是压杆丧失稳定的极限值。为了保证压杆有足够的稳定性，不但要求作用于压杆上的轴向载荷或工作应力不超过极限值，而且还要考虑留有足够的安全储备。因此，压杆的稳定条件为下一页返回13.3压杆稳定性校核若令为压杆实际工作的稳定安全系数，可得压杆的稳定条件为上一页下一页返回13.3压杆稳定性校核规定的稳定安全系数的确定是一个既复杂又重要的问题，它涉及的因素很多。的值，在有关的设计规范中都有明确的规定，一般情况下巨从一可采用如下数值:金属结构中的钢制压杆:矿山设备中的钢制压杆:金属结构中的铸铁压杆:木结构中的木制压杆:上一页下一页返回13.3压杆稳定性校核按式(13-7)进行稳定计算的方法，称为安全系数法。利用该式可解决压杆的三类稳定性问题:(1)校核压杆的稳定性。

(2)设计压杆的截面尺寸。

(3)确定作用压杆上的最大许可载荷。上一页下一页返回13.3压杆稳定性校核例13-2如图13-3(a)所示的螺旋千斤顶，螺杆旋出的最大长度L=400mm,螺纹直径d=40mm,最大起重量P=80kN,螺杆材料为45号钢，,，试校核螺杆杆的稳定性。解:(1)计算柔度。查表得u=2.0，则上一页返回下一页13.3压杆稳定性校核(2)算临界力。因，故螺杆为中长杆，应用经验公式计算其临界应力。查表13-2可得，a=578MPa,b=3.744MPa，则螺杆的临界力为上一页返回下一页13.3压杆稳定性校核(3)校核压杆的稳定性。故压杆的稳定性是足够的。上一页返回13.4提高压杆稳定的措施提高压杆的稳定性应从影响压杆临界力和临界应力的各种因素如压杆的截面形状和尺寸、压杆的长度、杆端约束情况及压杆的材料性质等方面着手。

1.合理地选择截面形状由细长杆临界力和临界应力的欧拉公式以及中长杆临界应力的经验公式:细长杆下一页返回13.4提高压杆稳定的措施中长杆因此，对于一定长度和支承方式的压杆，在横截面面积及材料一定的情况下，应尽可能使材料分布远离截面形心，以增大截面惯性矩，减小其柔度。如图13-7所示，采用空心截面将比实心截面更为合理。上一页下一页返回13.4提高压杆稳定的措施另外，压杆的失稳总是发生在柔度几较大的纵向平面内。因此最理想的设计应该是使各个纵向平面内有相等或近似相等的柔度。根据可知，当压杆在截面两个主轴方向的约束情况不同时，应采用绕主轴惯性半径不同的截面形状，如矩形或工字形截面，使压杆在两个主轴方向有相等或近似相等的稳定性，即所谓的等稳定设。上一页下一页返回13.4提高压杆稳定的措施2.减少压杆的长度，改善压杆两端的约束条件由可知成正比，要使柔度减刁，就应尽量减刁、杆件的长度，如果工作条件不允许减小压杆的长度，可以在压杆中间增加约束或改善杆端约束提高压杆的稳定性。上一页下一页返回13.4提高压杆稳定的措施

3.合