1.基本不等式的八大应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

1.均值不等式求最值的八种常用方法一．基本原理二元基本不等式的几个变形：（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”2.n元均值不等式设均大于零，则记，，，，则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均.二．典例分析★方法1.直接利用和（积）为定求最值例1.求函数的最大值________解析：，∴，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值★方法2.分式函数求最值（1）型.对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解.型.对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解.型.形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域.型.形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解.小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：①：换元→分离常数→反比例函数模型.②：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型.③：同时除以分子→②的模型.④：分离常数→③的模型.共同点：让分式的分子变为常数例2.求函数的值域.解析：设.于是问题转化为求的值域，由对勾函数当时取等号，即.例3.设，求函数的最小值为__________.思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为，答案：.例4．已知，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12解析：因为，所以，，当且仅的，即时等号成立.故选：A.例5．若，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．5 D．6解析：因为，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.故选：B下面讨论条件极值★方法3.“1”代换已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）.这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破.例6.已知，求的最小值__________解析：例7．已知，，且，则的最小值为（

）A．8 B． C．9 D．解析：因为，，，所以，∴，当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C例8．已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．12 D．10解析：因为，所以，而，，当且仅当，即时，等号成立.故选：B例9．正实数，满足，则的最小值是（

）A． B． C．5 D．解析：因为正实数，满足，所以，当且仅当，即时等号成立.故的最小值是.故选:B.例10．已知正实数满足.则的最小值为（

）A．3 B．9 C．4 D．8解析：均为正实数，，当且仅当，即时，等号成立.故选：B例11．若，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．解析：因为，，，则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为，故选：C.例12．已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．解析：因为，所以，即，当且仅当，即时，等号成立.所以，故选:D.★方法4.和积转化适用于型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项.例13．若实数满足：，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：因为，所以，由基本不等式可得，故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.例14．若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．16 C．49 D．81解析：由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D例15．若正实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．解析：,.故选:D.★方法5.平方和与积型互化适用于型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项，若目标函数与有关，则需先利用配方法换掉项.例16．已知实数满足，则的最大值为A．1 B．2 C．3 D．4解析：原式可化为：，解得，当且仅当时成立．所以选B.例17．若实数满足，则的最大值是A． B． C． D．解析：,，，解得，，的最大值是.故选B.★方法6.三变元先消元再加均值例18．已知实数满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C.★方法7.先换元再均值例19．已知正实数，满足，则的最小值是_______．解析：令，，则，．从而．所以的最小值是．例20．已知，，则的最小值________.解析：令，则，去分母化简得：，所以，所以，当且仅当时，等号成立．故答案为：20例21．已知且，则的最小值为________.解析：令，，因为，所以，则，，所以,所以，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.故答案为：.★8.权方和不等式权方和不等式：已知，则，当且仅当时，等号成立.证明：因为，所以所以，当且仅当，即时，等号成立.例22.已知正实数满足，则的最小值为______.解析：解法1：由题意，，当且仅当时取等号，结合可得此时，，所以.解法2：由权方和不等式，当且仅当时取等号，结合可得此时，，所以.例23.已知正实数满足，则的最小值为______.解析：解法1：由题意，，当且仅当时等号成立，结合可得此时，，所以.（凌晨讲数学）解法2：由权方和不等式，，当且仅当时等号成立，结合可得此时，，所以.例24．已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．12 D．10解析：解法1：因为，所以，而，，当且仅当，即时，等号成立.故选：B解法2.，等号成立当且仅当.例25.已知正实数满足，则的最小值是______.解析：解法1：由题意（凌晨讲数学），，当且仅当时取等号，结合可得，故.解法2：由权方和不等式，，所以，当且仅当时等号成立，结合可得，故.三．习题演练1．已知正数，满足，则下列说法错误的是（

）A． B．C． D．解析：因为正数，满足，对于A：，当且仅当，即时取等号，故A正确；对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D：因为，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故D正确；故选：B2．已知，均为正数，若，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6解析：，均为正数，因为，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为5.故选：C.3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C4．已知正实数、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．解析：因为正实数、满足，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D.5．已知，则的最小值是（

）A． B．C． D．解析：，设，则.于是，令，则，当，即，也即时，取到最小值.故选：C6．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．解析：由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数的最小值为.故选：D.7．已知，，，则的最大值为_________．解析：令，，则，，，，，所以，所以，当且仅当，，即，时等号成立．故答案为：8．（多选题）已知，为正数，