22.常见几何体（除球）的几何特征与应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

常见几何体（除球）的几何特征与应用一．基本原理1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．2．圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长．3．圆锥的母线，圆锥的高，底面圆的半径，存在关系式：，圆锥的侧面积；圆锥的全面积.4.圆锥的轴截面：过其旋转轴的截面.由此可知，圆锥及其侧面展开问题中的基本量为：母线，高，底面圆的半径.棱锥与棱台是全国卷中常考的几何体，不论是单独考察性质与体积，还是作为立几综合题目考察空间位置与空间角.本节主要梳理正棱锥和正棱台的性质，以及体积计算和棱台的外接球，特别是棱台，新高考已经连续考察两年了，不可谓不热！至于其他的内容，将在后面章节陆续展示.5.斜高：\t"/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank"空间几何体的顶点到其\t"/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank"底边的\t"/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank"距离，即为斜高。就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离，就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离.6.正棱锥中的直角三角形已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高，底面为正方形，作于，则为斜高.①.斜高、侧棱构成直角三角形，如图中．②.斜高、高构成直角三角形，如图中.③.侧棱、高构成直角三角形，如图中．7.\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"正棱台的性质：（1）正棱台的\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"侧棱相等，侧面是\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"全等的\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"等腰梯形，各等腰梯形的高相等，它叫做正棱台的\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"斜高；（2）正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"正多边形；（3）正棱台的两底面中心连线、相应的\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"边心距和斜高组成一个\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形；已知正棱台如图(以正四棱台为例)，分别为上，下底面中心，作于，于，则为斜高，①.斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形．②.斜高、高构成直角梯形，如图中梯形.③.高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形．（4）棱台各棱的反向延长线交于一点.8.正棱锥的性质在棱锥中，又属正棱锥的性质最为丰富，考察范围也很广.正棱锥是指底面是正多边形，且从顶点到底面的垂线足是这个正多边形的中心的棱锥，显然正棱锥的各条侧棱相等.证明：不妨设三棱锥的定点在底面的投影为，由于，故根据勾股定理：，即顶点在底面的投影恰好是底面的外心.二.典例分析例1.（2021江苏高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（）A.B.C.D.解析：设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则有.该圆锥的底面积与侧面积比值为.故选：.例2.（2022全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则A.B.C.D.解析：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面半径为，则，所以，又，则，所以，，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：.例3.已知圆锥的底面圆心到母线的距离为，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.解析：设圆锥的底面半径为，母线为，高为，则.由圆锥的底面圆心到母线的距离为，则，即，又，所以，解得，由，则，当，即时，最小值为，则圆锥的侧面积为故选：例4.（2018乙卷理）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_______解析：因为母线,所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为，所以，因为与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为.例5.（2020甲卷）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为______解析：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如题所示，其中,且点为边上的中点.设内切圆的圆心为，由于,故，故内切圆半径为，则：，解得：，其体积：故答案为：.例6.在轴截面为等腰直角三角形的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（）解析：设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，母线长.则，即.则圆柱的表面积为.圆锥的侧面积为.因为圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，所以，即，则，故选：.例7.（2021新高考2卷）正四棱台的上，下底面的边长分别为，侧棱长为，则其体积为（）解析：因为该四棱台上下底面边长分别是，侧棱长为，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：.例8.（2022新高考2卷）已知三棱台的高为，上，下底面分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）解析：设正三棱台上下底面所在圆面的面积，所以，即，设球心到上下底面的距离分别，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为.故选：.例9.正三棱锥的高为，斜高为，则该三棱锥的侧棱长为（）A.B.C.D.解析：设是的中点，是正三角形的中心，并且平面，，则有，在中，，，，在中，，故选：D.例10．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．解析：如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接，∵分别为的中点，则，∴正方体的边长为，故，可得，根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，故该半正多面体外接球的表面积为.故选：D例11．（多选题）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体．已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（

）A．该半正多面体的体积为B．该半正多面体过三点的截面面积为C．该半正多面体外接球的表面积为D．该半正多面体的表面积为解析：A：如图，因为，所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该半正多面体的体积为：，故A正确；B：根据该半正多面体的对称性可知，过三点的截面为正六边形，又，所以正六边形面积为，故B正确；C：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，即正六边形的中心，故半径为，所以该半正多面体外接球的表面积为，故C错误；D：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为，所以其表面积为，故D正确.故选：ABD例12．正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（

）

A．直线与是异面直线 B．平面平面C．该几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为解析：正八面体可由正方体每个面的中心构成，如图：

因为正八面体的棱长为2，所以正方体的棱长为.∵，，，四点共面，直线与是共面的，故A错；设二面角为，，，所以.所以：二面角，故B错；，故C错；由八面体的构成可知：平面和平面之间的距离是正方体体对角线的，所以两个平面之间的距离为：，故D对.故选：D例13．将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，动点在该六面体表面上，且满足，则（

）

A． B．该几何体的体积为C．动点的轨迹长为 D．该多面体内切球的半径为解析：对于A，取的中点，连接，由正三棱锥的性质可得，因为，所以平面，所以，正确.

对于B，在正三棱锥中，作高线，由正三角形的性质可得，，所以，其体积为，所以该几何体的体积为，不正确.

对于C，由几何体的对称性可得，四点共面，由选项A可知，平面，所以点的轨迹为线段和及棱和，其长度为，正确.

对于D，设几何体的内切球半径为，球心为，连接球心和各顶点，则有，即，解得，正确.故选：ACD例14．将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（

）A．该几何体的表面积为B．该几何体的体积为C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D．直线平面解析：对于A，，所以表面积为，故A对；对于B，如图所示：设点在平面内的投影为，为的中点，则由对称性可知为三角形的重心，所以，又因为，所以正三棱锥的高为，所以题图所示几何体的体积为，故B错；对于C，由B选项可知面，由对称性可知三点共线，所以面，而面，所以面面，故C正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：其中轴平行，因为，所以，设平面的法向量为，所以，不妨取，解得，所以取，又，而，所以直线与平面不平行，故D错.故选：AC.例15.如图所示的阳马中，侧棱底面,且,点是的中点，连接．（1）.证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）.记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．图1图1证明：（1）因为底面，所以；由底面为长方形，有，而，所以平面，平面，所以又因为，点是的中点，所以，而，所以平面，由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形.即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是（2）由已知，是阳马的高，所以；由（1）知，是鳖臑的高，，所以.在△中，因为，点是的中点，所以，于是“鸭嘴”模型结论1：如图，，设为中点，则，故面，则.结论2：反过来，若如图，，且，设为中点，则.另一方面，由于，则面，故，因为为中点，故可得：.结论3.上述两个结论中，即为二面角的平面角.例16．（2023年全国乙卷真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B． C． D．解析：取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，显然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，显然平面平面，直线平面，则直线在平面内的射影为直线，从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，显然是锐角，，所以直线与平面所成的角的正切为.故选：C例17.（2023年新高考2卷）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．（1）证明：；（2）点F满足，求二面角的正弦值．解析：（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）二面角的正弦值为．三．习题演练习题1.已知某圆锥的母线长为，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（）圆锥的体积为.圆锥的表面积为.圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形.圆锥内切球表面积为习题2.（2018乙卷文）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_______习题3.已知一个棱长为的正方形木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为，母线长为，则的最大值为______习题4.已知底面半径，高的圆锥内接一个圆柱，则圆柱侧面积的最大值是___________.习题1．（2022新高考1卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为A．B．C．D．习题2.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C. D.习题3.已知三棱台的六个顶点都在球的球面上，和分别是边长为和的正三角形，则球的体积为（）A．B．C．D．习题4.在正四棱台中，,,则该棱台外接球的表面积为（）A．B．C．