广东华南师大附中2026届高三下学期综合测试数学试题+答案

试题第华南师范大学附属中学2026届高三综合测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则A． B．C． D．2．若复数z满足（其中i是虚数单位），则A． B． C．2 D．3.为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度−预测温度，单位：℃），数据如下：，，1，0，，1，1.下列关于这7天预测误差的统计描述中，正确的是 A．这组数据的众数是 B．这组数据的平均数是0 C．这组数据的极差是5 D．这组数据的中位数是04.记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为A．4 B． C．1 D．25.若，，，则 A． B． C． D．6.在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则A． B． C． D．7．某学校派出包括小明，小红在内的12名志愿者参加志愿活动，活动过程中需要将他们随机平均分成3个小组，那么小明和小红出现在同一个小组的概率为A． B． C． D．8．已知函数，R，其四个零点恰好成递增的等差数列，则m=A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则10．已知随机事件满足，，，，则A． B．事件与相互独立 C． D．若，则已知平面直角坐标系中的任意两点，定义两点的“复运算”为，记为.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，点为平面内任意一点，则A．若，则的轨迹为和B．C．满足的点共7个D．对于任意的点，都有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则=_________.（用坐标表示）13．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为__________.14.已知圆的圆心在曲线上，若圆与直线交于两点，且，过原点的直线交圆于两点，则的最小值为__________.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（13分）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是.（1）求的解析式和单调递增区间；（2）若，且满足，求.（15分）已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍.（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标.（15分）如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个等腰梯形，BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，使得＝2，如图2所示．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的外接球的半径；（3）求直线与平面所成角的正弦值．（17分）已知函数，为的导数.（1）若，求的极值；（2）若在单调递增，求的取值范围；（3）讨论的零点个数.（17分）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合.集合中任意两个数列，记.（1）已知中的两个数列,，其中，且满足，请列举所有满足条件的数列；（2）从中随机抽取两个互不相同的数列.令，求随机变量的分布列，并证明：；（3）对中的任一数列定义“随机取反操作”：对该数列的每一项，独立地以概率变为，以概率保持不变.现给定两个确定的数列，且满足，若对数列连续进行次“随机取反操作”，记最终得到的新数列为.令，求的数学期望（结果用表示）.（参考知识：若为随机变量，则有）华南师范大学附属中学2026届高三综合测试数学参考答案一、选择题1．【答案】B【详解】因为，，则.故选：B.【答案】B【详解】由可得，即，故.【答案】D【详解】将这7天的预测误差的7个数据从小到大排序，可得，，，0，1，1，1.对于A，统计数据中出现的次数为3次，且次数最多，所以众数是，所以A错误；对于B，统计数据的平均数为，所以B错误；对于C，统计数据的极差为，所以C错误；对于D，根据中位数的定义，可得统计数据的中位数为，所以D正确.【答案】D【详解】设公比为，若，则由，可得，解得，不符合题意，所以；由，则，显然，所以，即，即，解得（负值已舍去）.故选：D【答案】A【详解】因为,2>1,所以,因为,所以指数函数为递减函数,又-0.1<0.2,所以,即,综上所述,.故选:A【答案】A【详解】在中，由及的面积为，得，即，解得，由正弦定理，得，因此，所以.【答案】D【详解】由题可知，每组4人，不妨先让小明随机选定一个位置，此时还剩下12-1=11个位置可供小红选择。而在小明所在的小组中，还剩下4-1=3个空位。因此，小红恰好和小明分在同一组的概率为.【答案】D【详解】函数，定义域为.又，所以函数为偶函数.当时，，令，得，显然，，解得或.由有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为.因零点成递增等差数列，故排序为，设公差为，则：，，即，化简得，两边同乘得，故.二、选择题：9.【答案】AD【详解】若，，则，选项A正确;若，，则或m与n相交或m与n异面，选项B错误;若，，则或α与β相交，选项C错误;若，，则或，又，则，选项D正确.【答案】ACD【详解】对于A，由，可得，A正确；对于B，，事件与不是相互独立的，B错误；对于C，由，所以，C正确；对于D，由题有，所以，故，则，D正确.【答案】AC【详解】，即则，则或，所以A正确；取，，由A知，，，由定义知，所以B错误；若，则，则的轨迹为和一对等轴双曲线，则，即为同时满足以上两个条件的两对等轴双曲线的交点个数。如图所示，所以共有7个交点，C正确不妨设在双曲线的右支上，可知，存在点满足，即由双曲线定义知，所以则则.当时，.所以D错误；三、填空题：12.【答案】（11,1）【详解】由图可得，所以，则=(11,1).故选：C【答案】【详解】如图，设正四棱台的上、下底面中心分别为，连接，则平面，取的中点，连接，易知，且，过作交于，则平面，又平面，则，故可得平面，则，由侧面与底面的夹角为，则，又，则，，由，得到，即，又，所以四棱台的体积为.【答案】3【详解】设过原点的切线的切点为，则，则的最小值，即为求的最小值，设，圆的半径为，可得而当且仅当取到最小值.所以最小值为3.解答题：15．【详解】（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得，……1分对于任意实数，都有恒成立，故……2分即，故，……4分因为，故，所以，……5分若，，……6分则，，……7分故的单调递增区间为；……8分（未写成区间的形式或未写k的范围都要扣掉这一分）（2）若，则，故，……9分因为，故……11分故……13分（能写出可给1分）16.【解答】（1）因为在抛物线上，则，所以抛物线的方程为；……………2分又椭圆的长轴长是短轴长的两倍，可得，…………3分则，解得，………………5分所以椭圆的方程为；…………6分（1）设的坐标分别为，联立，得，……7分由题意得，……………………8分则，……9分则中点坐标为，………………10分又中点在椭圆上，则满足整理得：，解得或（舍去）……………………13分则或，所以的坐标为或……………………15分17.【详解】（1）取BE的中点为O，连接，OC，OD，由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，可得，…1分又由等腰梯形BCDE，且ED＝DC＝CB＝1，可得OC＝OD＝1，且，因为＝2，所以，所以，…………2分因为OCBE＝O，且OC，BE平面BCDE，…………3分所以平面BCDE，…………4分因为平面，所以平面平面；…5分（2）连接，易得，因为,所以,所以△的外接圆圆心为，……6分又平面BCDE，所以三棱锥的外接球的球心在直线上，………7分如下图，设外接球半径为，设，则，解得，…………8分所以.……9分取CD的中点F，连接OF，因为四边形BCDE为等腰梯形，且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为⊥平面BCDE，………………10分以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，所以，，……12分设平面的法向量为，则，取，可得，，所以，……13分设直线与平面所成角为，则，…………14分所以直线与平面所成角的正弦值为．……15分18.【详解】（1）的定义域为.……1分，，……2分若，则当时，；当时，，……3分所以的极小值为，无极大值.……4分（2）在单调递增等价于恒成立.……5分①若，则当时，，即，不合题意，舍去.……6分②若，则在单调递增，符合题意.……7分③若，由（1）得，在单调递减，在单调递增，从而等价于，解得.……8分综上所述，的取值范围为.……9分（3）方法一：①若，则在单调递增，时，；时，，所以在存在唯一零点；……10分②若，则在单调递减，又因为，当时，，所以存在唯一，使得，且时，……11分；时，，故在单调递增，在单调递减，其中，……13分且当和时，均有，故在和各有一个零点，故在有两个零点.……14分③若，由（1）（2）得在单调递减，在单调递增，且当和时，均有，，故存在，使得，与②同理得在单调递增，在单调递减，在单调递增，……15分又由②得，，当时，，故，，无零点；在存在唯一零点，故在存在唯一零点.……16分综上所述，当时，在的零点个数为1；当时，在的零点个数为2.……17分方法二：令得，注意到不是该方程的解，故不是的零点，从而有……10分，设，，……12分（求导1分，正确判断其恒正1分）故在和单调递增，……13分时，，，故；时，，时，，……14分（结论即可）时，由洛必达法则，.【另一表述】与一次函数相比，对数函数增长的非常缓慢，故.……15分（必须要有洛必达法则，或增长速度的描述）所以的草图为……16分（必须有图，占1分）的零点个数等于水平直线与函数的图象的交点个数，故当时，在的零点个数为1；当时，在的零点个数2.……17分【详解】（1）由题意可知，满足条件的数列是：.3（2）因为数列是从集合中任意取出的两个不同的数列，所以，的可能取值为：.4当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，又因为集合中元素的个数共有个，所以，，6所以，的分布列为：127因为，8所以，