辽宁省抚顺市三校联考2026届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省抚顺市三校联考2026届高三上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本题共8个小题，每题5分，共40分）1.设集合，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以．故选：A.2.设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则由得，所以，故正确；当时，因为，而知，故不正确；当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.3.已知，则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，且，故，C项错误；因为，，所以，故B项错误；，故D项正确.故选：D.4.定义在上的函数满足在上单调递增，，且图像关于点对称，则下列选项正确的是（）A.周期B.C.在上单调D.函数在上可能有2023个零点【答案】C【解析】所以的对称轴为，且，又图像关于点对称，则，所以，，所以，所以，所以的周期为4，故A错误.根据周期性，且,又对称轴为，所以，且函数满足在上单调递增，所以，所以，所以B错误；函数满足在上单调递增，且周期为4，所以函数满足在上单调递增，又图像关于点对称，所以在单调递增，又对称轴为，所以在单调递减，且在单调递减，且，所以在单调递减，所以C正确；对于D，在上有且仅有2个零点，且周期为4，在上有且仅有1010个零点，在上有且仅有2个零点，函数在上可能有1012个零点，所以D错误.故选：C.5.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，可得，所以.故选：A.6.设函数的定义域为，满足，且当时，，若对，都有，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：，，，时，，，，时，，，，；，时，，，，；，时，，，，．当，时，由，解得或．若对任意，，都有，则，即．故选：D．7.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（）A.8 B.9 C.10 D.100【答案】C【解析】设这100个圆的半径从小到大依次为，则由题知，每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，有，则是首项为1公差为1的等差数列，，所以，得.故选：C.8.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为，由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即.

根据等差数列前项和公式，将，，代入可得：

，即得到，（因为层数为正整数，所以舍去）.该鬼工球的层数为11.故选：C.二、多项选择题（本题共3个小题，每题6分，共18分）9.已知平面四边形，是所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（）A.若，则四边形是正方形B.若，则四边形是矩形C.若，则为直角三角形D.若动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的重心【答案】CD【解析】对于A中，由，可得，但四边形不一定是正方形，所以A错误；对于B中，由，平方可得，即，但四边形不一定为矩形，所以B错误；对于C中，由，可得，即，平方可得，所以，所以为直角三角形，所以C正确；对于D中，作于点，又由，设的中点为，所以，即，故动点的轨迹在中线上，即动点的轨迹一定通过的重心.故选：CD.10.已知，且，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由，由，由上两式解得，所以A,B正确；对于C：，C错误；对于D：，所以或者，又因为，所以，所以，D正确，故选：ABD.11.已知函数，下列说法正确的是（）A.定义域为B.C.是偶函数D.在区间上有唯一极大值点【答案】ACD【解析】A.的定义域为，解得的定义域为正确；B.由于的定义域不关于原点对称，故函数不可能是偶函数，B错误；C.设，则定义域为，，即是偶函数，正确D.，令，令，由，当时，，即当时，单调递增，当时，在单调递减，且，，,结合时，；时，，故存在使得，即有在单调递减，在单调递增，在单调递减，注意到，且时，时，，从而对于，当时，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，为在区间上的唯一极大值点，故D正确，故选：.三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是_______．①；②；③；④．【答案】①③【解析】最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，且，所以函数在区间上单调递增；最小正周期为，在区间上单调递减；不是周期函数，在区间上单调递减；故答案为：①③.13.已知，则等于______．【答案】【解析】对任意的，，则，故函数的定义域为，因为．所以，．故答案为：.14.如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为______.【答案】【解析】取中点，连接，如下图所示：正三棱柱，，则，因为平面，平面，所以而，则平面，则即为与平面所成角.因为，所以故答案为：.四、解答题（本题共5个小题，共77分）15.已知过点的直线l与x，y轴的正半轴相交于点，．（1）若，求直线l的方程；（2）若，且的面积为27，求坐标原点O到直线l的距离．解：（1）由题意知l不过原点，故设直线l的方程是，则，解得所以直线l的方程是，即．（2）设直线l的方程是，则，且解得或（舍）所以直线l的方程是，即．所以坐标原点到直线l的距离是．16.如图，斜三棱柱体积为，侧面与侧面都是菱形，，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：取的中点，连接、、、，由菱形的性质及，，为正三角形.，，又，平面，又平面，.（2）解：三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一，四棱锥的体积是柱体体积的三分之二，即等于.平行四边形的面积为.设四棱锥的高为，则：，，又，平面，以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系：.则，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，.平面的一个法向量为，则.二面角的余弦值为.17.在中，角，，所对的边分别为，，，，，且．求：（1）求的值；（2）求三角函数式的取值范围．解：（1）∵，∴，根据正弦定理，得，又，∴，∵，∴，又∵，∴，．（2）原式，∵,∴,∴,∴,∴的值域是．18.已知数列的各项均为正数，且对任意的都有.（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，问是否存在正整数，对任意正整数有恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为，，当时，，两式相减得（），即（）.又当时，，得，满足上式.故，.（2）由（1）可得，，则，即.又，所以数列为递增数列，所以.因为对任意正整数有恒成立，所以，解得.又，所以.所以存在正整数，使得对任意正整数有恒成立，且的最大值为1010.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恰好有两个零点，，且恒成立，证明：.（1）解：因为，，所以.若，则在上恒成立，在上单调递增，若，则当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调