辽宁省名校联盟2026届高三上学期1月期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2026届高三上学期1月期末质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】，故选：A.2.已知集合，则=（）A.{ B.C.{ D.{}【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.3.已知向量满足，，，则（）A.1 B.C. D.2【答案】B【解析】因为，则，又因为，则，所以.故选：B.4.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.结合选项可知A正确.故选：A.5.已知奇函数的定义域为，且为的一个周期，，则（）A. B.C.2 D.4【答案】B【解析】因为为的一个周期，所以，，又，所以，故，所以，因为函数是定义域为的奇函数，所以.故选：B.6.若直线与曲线相切，则m的值为（）A.-5 B. C.3 D.5【答案】D【解析】设直线与曲线相切于点，由所以，整理得解得或（舍去），所以.故选：D.7.5G信号随传输距离的增加而变弱.传输距离（单位：km）与5G信号（单位：W）的关系为其中为发射器发出的5G初始信号为衰减系数（常数）.已知某5G信号的传输距离为50km时该信号减弱为5G初始信号的一半.若在某处测得的信号为5G初始信号的则传输距离为（）A.100km B.150km C.200km D.250km【答案】C【解析】由题意可知解得所以将代入得.故选：C.8.已知为正实数，为自然对数的底数，则的最大值为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立.设，令则，当时，，当

时，，所以在上单调递增，在上单调递减，当，即时取得最大值为，则的最大值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（）A.B.C.D.的外接圆的半径为2【答案】AC【解析】对于A，由三角形的面积公式得，A项正确；对于B，由余弦定理得，所以，B项错误；对于C，由正弦定理得，C项正确；对于D，设的外接圆的半径为，所以，则，D项错误.故选：AC.10.已知是抛物线的焦点，点在上，过点且以为圆心的圆与的准线相交，为其中一个交点且.设与轴的交点为，线段与轴的交点为，则（）A.B.为等边三角形C.D.四边形的面积为【答案】BCD【解析】选项A：因为C的准线，所以，解得，故A错误；选项B：因为，所以根据抛物线的定义可知，又，所以，则为等边三角形，故B正确；选项C：因为，且为的中点，所以为的中位线，则点为的中点，又为等边三角形，所以平分，又，所以，故C正确；选项D：由A项知，不妨设点P在第一象限，，所以直线的斜率，则直线的方程为，代入得，解得，结合图象可知，所以，又，所以四边形的面积为故D正确.故选：BCD.11.如图，在圆台中，上、下底面的半径分别为1和2是圆台的两条母线，且为的中点，则下列说法正确的是（）A.B.圆台的体积为C.直线与平面所成角的正弦值为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】ABD【解析】延长交于一点因为平面平面且平面平面平面平面所以项正确.易求得圆台的高为所以圆台的体积，项正确.作垂直交的延长线于点连接因为所以又所以.易知，，，平面，所以平面所以点到平面的距离为为与平面所成角的平面角，连接易知，所以为直角三角形，在中则故项错误.三棱锥的外接球，即为三棱锥的外接球，设其半径为设的外接圆半径为在中，由余弦定理得，即由正弦定理得解得故则该球的表面积项正确.故选:.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设为等比数列的前项积，若，则_____________.【答案】【解析】由为等比数列的前项积，若，则.故答案为：.13.已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________.【答案】【解析】设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为“选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”，则，根据全概率公式可知.故答案为：.14.已知为椭圆的左焦点，过且斜率为的直线与在第四象限相交于点，设为坐标原点，若为等腰三角形，则的离心率为_____________.【答案】【解析】由直线的斜率为可得，所以，因为为等腰三角形，点在第四象限，设，其中，若，可得，整理得，因为，所以，矛盾，舍去；若，可得点在的垂直平分线上，因为，与矛盾，舍去；所以为等腰三角形，点在第四象限，可得，又因为，由余弦定理得，可得，如图所示，设椭圆的右焦点为，连接则，在中，由余弦定理得，则，由椭圆的定义可知，即，即，解得，所以椭圆的离心率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足.（1）求的通项公式；（2）设.求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，由，由，故.（2）由（1）可知，所以16.近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表：满意不满意合计男性用户400400800女性用户8004001200合计12008002000（1）根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？（2）已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望.附：0.100.010.0012.7066.63510.828解：（1）零假设为满意度与用户性别无关，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以满意度与用户性别有关.（2）由题意知的可能取值为，则，，，所以的分布列为：则.17.如图，在梯形中，点在上，将沿翻折，使点至点的位置，连接其中.（1）证明平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值.（1）证明：因为所以四边形为平行四边形，又所以四边形为矩形，则即又平面所以平面因为平面所以因为所以由得又所以所以又平面所以平面.（2）解：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设平面的法向量为则取则.设平面的法向量为则取则.所以故平面与平面夹角的正弦值为.18.已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于两点.（i）若点均在的右支上，且的面积是面积的倍，求；（ii）证明：不存在直线，使得.（1）解：由题意得的渐近线方程为，由的渐近线方程为得，又，所以，所以，故双曲线的方程为；（2）（i）解：由（1）可知，由题意得直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，不妨设，联立整理得，则，即，①，由得②，由①②得，故；（ii）证明：当直线的斜率为时为的两顶点，此时；当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，由（i）知，则，因为，所以与不垂直，即无论取何值，都有成立，综上，不存在直线，使得.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时.（i）证明：，；（ii）当时，，求实数的取值范围.（1）解：当时，，令，解得，，令解得，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）（i）证明：设，，则，因为，所以，，所以，所以，所以在内单调递增，则，故，；（ii