2026高考数学复习高效培优专题09 概率与统计（选填题）（原卷版）

专题05概率与统计（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

典例剖析方法提炼变式

题型01统计问题

题型02排列组合问题

题型03概率问题

题型04二项分布、超几何分布与正态分布

第二部分强化实训整合应用，模拟实战

题型01统计问题

【例1-1】（2025·四川德阳·一模）下列说法错误的是（）

A．数据0，1，2，3，5的60%分位数是2

B．线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强

C．经验回归直线一定过点x,y

D．残差散点图所在的带状区域越窄，则两个变量的相关性越弱

【例1-2】（2025·贵州毕节·模拟预测）某中学共有3000名学生，该校从全校学生中随机抽取200名，统计

他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列关于估计中正确的是（）

A．阅读量的众数估值为8

B．阅读量的中位数估值为6.5

C．阅读量的平均数估值为6.76

D．第70百分位数为8.86

1.普通的众数、平均数、中位数及方差

①众数：一组数据中，出现次数最多的数。

xxxx11x22xnn

②平均数：常规平均数：x12n加权平均数：x

n12n

③中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。

1

④方差：s2[(xx)2(xx)2(xx)2]

n12n

2.频率直方分布图下的频率

①频率=小长方形面积：fSy距d；频率=频数/总数

②频率之和：f1f2fn1；同时S1S2Sn1；

3.频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差

①众数：最高小矩形底边的中点。

②平均数：xx1f1x2f2x3f3xnfnxx1S1x2S2x3S3xnSn

③中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x的值。

2222

④方差：s(x1x)f1(x2x)f2(xnx)fn

4.线性回归直线方程：yˆbˆxaˆ

nn

(xix)(yiy)xiyinxy

ˆi1i1ˆ

其中：bnn,aˆybx

222

(xix)xinx

i1i1

线性回归直线方程必过样本中心(x,y)；

5.回归分析

①残差：eˆiyiyˆi（残差=真实值—预报值）；eˆi越小越好；

n

2

②残差平方和：(yiyˆi)，越小越好；

i1

n

2

(yiyˆi)

2i12

③拟合度（相关指数）：R1n，R0,1的常数；越大拟合度越高；

2

(yiy)

i1

nn

(xix)(yiy)xiyinxy

相关系数：ri1i1

④nnnn

2222

(xix)(yiy)(xix)(yiy)

i1i1i1i1

r[1,1]的常数r0:正相关；r0:负相关

6.独立性检验

①2×2列联表：

合计

x1x2

y1abab

y2cdcd

合计acbdn

②独立性检验公式

n(adbc)2

k2

(ab)(cd)(ac)(bd)

【变式1-1】（2025·贵州毕节·模拟预测）（多选题）下列命题中，真命题的是（）

A．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；

B．若回归方程为yˆ0.45x0.6，则变量y与x成负相关

C．若随机变量X服从正态分布N3，2，PX40.64，则P2X30.07

D．在线性回归分析中相关指数R2用来刻画回归的效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好

【变式1-2】（2025·湖北荆州·模拟预测）下列说法正确的是（）

A．已知一组数据为1，1，2，4，3，5，10，9，若n为这组数据的上四分位数，则(2x1)n的展开式中

x4的系数为560

B．数据xi,yi(i1,2,3,,10)组成一个样本，其回归直线方程为yˆx3，其中x8.2，去除一个异常

点(1,7)后，得到新的回归直线必过点(9,5)

C．若随机变量~N1,2，则函数f(x)P(xx2)为偶函数

D．在22列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则2变为原来的9倍

n(adbc)2

(2,其中nabcd)

(ab)(cd)(ac)(bd)

【变式1-3】（2025·宁夏中卫·二模）（多选题）下列说法中正确的是（）

A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小

B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱

C．数据mm50，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分

位数为79

14

D．已知随机变量N1,2，且P1Pa，则0xa的最小值为3

xax

题型02排列组合问题

【例2-1】（2025·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团

牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域

的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（）

A．36B．48C．54D．56

【例2-2】（2025·全国·模拟预测）2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现

从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（）

A．1800B．16800C．14280D．25200

排列组合中常见问题及其技巧

①特殊元素（位置）法

对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。

若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，

再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。

②捆绑法

捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后

内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析

问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问

题需将“顺序”带来的影响消除掉.

③插空法

插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意

的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.

④倍缩法

部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问

题可以用倍缩法.

⑤排数问题

对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意

隐含条件：0不能在首位.

⑥分组、分配问题

（1）整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以

n

An(n为均分的组数)，避免重复计数．

（2）局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应

除以m!，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．

（3）不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．

⑦涂色问题

按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．

【变式2-1】（2025·广西·模拟预测）把5个相同的乒乓球放入编号为1-7号的盒子里，其中编号为1-5号的

盒子，每个盒子至多放1个球，编号为6-7号的盒子，每个盒子至多放3个球，则不同的放法有种.

【变式2-2】（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现

用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合

不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有种不同的染色方案.

【变式2-3】（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字

之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字

的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片(舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛中，

甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有种.

题型03概率问题

【例3-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上

分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两

人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人

得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得

分不小于2的概率为.

【例3-2】（2025·福建福州·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：

在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字

之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它

情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（）

80257020

A．B．C．D．

2438124381

1.古典概型

n(A)

设试验E是古典概型，事件A的概率P(A)，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间包

n(Ω)

含的样本点个数．

2.互斥事件与概率的加法公式

①如果事件A与事件B不能同时发生，即AB，则称事件A与B互斥（或互不相容）．

②当A与B互斥时，P(AB)P(A)P(B)，即P(AB)P(A)P(B)．

③概率的加法公式：对任意两个事件A与B，有P(AB)P(A)P(B)P(AB)，即

P(AB)P(A)P(B)P(AB)．

3.相互独立事件与概率的乘法公式

①对任意两个事件A与B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．

②当事件A与B相互独立时，P(AB)P(A)P(B)．

③概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)P(A)P(B|A)．

4.条件概率

P(AB)

①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)为在事

P(A)

件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．

②概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)P(A)P(B|A)．

注：当A与B相互独立时，P(AB)P(A)P(B)，即P(B)P(B|A)．

③条件概率的性质：为样本空间，设P(A)0，则

（1）P(|A)1；

（2）如果B与C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)；

（3）设B和B互为对立事件，则P(B|A)1P(B|A)．

5.全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，

i1，2，…，n，则对任意的事件B，有BA1BA2BAnB，

nn

．

P(B)P(A1BA2BAnB)P(AiB)P(Ai)P(B|Ai)

i1i1

【变式3-1】（24-25高三上·河北唐山·月考）在正八面体ABCDEF中，任取四个顶点，则这四点共面的概

率为；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为．

【变式3-2】（2025·重庆·模拟预测）某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:

活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答

题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台

11

对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获

23

胜的概率为.

【变式3-3】（2025·浙江金华·一模）平面直角坐标系中，原点O处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会

随机地选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点O的距离等于2

的概率为．

题型04二项分布、超几何分布与正态分布

2

【例4-1】（2025·江苏·模拟预测）已知随机变量X~N1,，且P(X2)P(X2a2)，则(ax1)5展

开式中各项系数之和为（）

A．32B．64C．32D．64

【例4-2】（2025·广东江门·模拟预测）（多选题）甲参加游戏获得的积分X的分布列为

X45678

P0.10.30.3mn

且EX6，则（）

A．mn0.3B．PX50.6

m

C．2D．DX1.6

n

1.二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，不

kknk

发生的概率q1p，那么事件A恰好发生k次的概率是PXkCnpq（k0，1，2，…，n）

于是得到X的分布列

X01…k…n

p00n11n1kknknn0

CnpqCnpq…Cnpq…Cnpq

由于表中第二行恰好是二项式展开式

n00n11n1kknknn0

qpCnpqCnpqCnpqCnpq各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从

参数为n，p的二项分布，记作X～B(n,p)，并称p为成功概率．

（1）适用范围：

①各次试验中的事件是相互独立的；

②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；

③随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．

（2）二项分布的期望、方差

若X～B(n,p)，则E(X)np，D(X)np(1p)．

2.超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率为

CkCnk

MNM，*

P(Xk)n，k0，1，2，…，m，其中mminMn，且nN，MN，n，M，NN，

CN

称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．

X01…m

0n01n1mnm

CMCNMCMCNMCMCNM

Pnn…n

CNCNCN

（1）适用范围：

①考察对象分两类；

②已知各类对象的个数；

③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布．

4.正态分布

正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲

线显然对于任意xR，f(x)0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我

们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N,2，特别地，当

0，1时，称随机变量X服从标准正态分布．

（1）正态曲线特点

①曲线是单峰的，它关于直线x对称；

1

②曲线在x处达到峰值；

2

③当x无限增大时，曲线无限接近x轴．

（2）正态分布的期望与方差

若X~N,2，则E(X)，D(X)2．

（3）正态变量在三个特殊区间内取值的概率

P(X)0.6827；P(2X2)0.9545；P(3X3)0.9973．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N,2的随机变量X只取[3,3]中的值，这在统计学

中称为3原则．

【变式4-1】（2025·四川自贡·一模）已知随机变量~N(1,2)，且P(2)P(a)，则当0xa时，

14

的最小值为（）

xax

979

A．B．3C．D．

234

【变式4-2】（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概

率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则

第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11

圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望EX

【变式4-3】（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地

随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X).

1.（2025·陕西西安·模拟预测）从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数a1，a2，a3，a4，则事件

*

“存在1ij4，i,jN，使得aiaj1”的概率为．

2.（2025·湖北·模拟预测）某班同学在操场上进行集体游戏，张老师随机从1,2,3,4,5,6中取三个数a,b,c，然

后在第一组站入a位同学，第二组站入b位同学，第三组站入c位同学.每一轮活动可以从两组中各推选一位

同学表演节目，然后站到另外一组，则事件“经过有限轮活动可以使三个组合成一大组”的概率为.

3.（2025·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽

车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为.

4.（25-26高三上·广东·月考）为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这

3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有种

分法.（用数字作答）

*

5.（2025·海南·模拟预测）设公差不为0的等差数列annN的前8项和为S，将前8项a1,a2,,a8全部

S

填入如图的表格中，要求每个格内填写1项，则有且仅有两列之和为且这两列不相邻的填法有

4

种．

6.（2025·四川德阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的是（）

1

A．随机变量X服从二项分布B3,，Y2X1，则D(Y)3

2

B．数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为2，则3x11，3x21，3x31，…，3xn1的平均数为6

C．在(x1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为10.

1

D．随机变量X服从正态分布N5,2，且P(2X5)a，则P(X8)a

2

7.（2025·广东广州·模拟预测）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次

取1个球．记X为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望EX．

8.（2025·重庆·模拟预测）在一条线段上标出所有的2n+1等分点nZ*，从中任选2个点，将该线段从这

2个点处截断，则形成的3条新线段可以构成三角形的概率是