《高考数学备考指南》教学课件-11计数原理、概率、随机变量及其分布(下)

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第5讲二项式定理高考要求考情分析1.能利用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题高考中，二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，常以选择、填空的形式呈现，难度不大，考查数学抽象与数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝____________________二项式系数二项展开式中各项系数C(k＝0,1，…，n)二项式通项Tk＋1＝____________，它表示第__________项k＋1

2．二项式系数的性质【答案】相等递增的递减的一项两项2n

2n－1【答案】D【答案】D

3．(2020年梅河口月考)若(2－3x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＋a2＋a3＋…＋a6等于(

)A．－4

B．4

C．－64

D．－63【答案】D

【解析】因为(2－3x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，令x＝0，可得a0＝64；再令x＝1，可得64＋a1＋a2＋a3＋…＋a6＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a6＝－63.故选D．4．(2020年海口月考)已知(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋…＋a11的值为____________．【答案】2

【解析】因为已知(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11，所以令x＝1，可得a0＝－2；再令x＝2，可得0＝－2＋a1＋a2＋…＋a11，求得a1＋a2＋…＋a11＝2.故答案为2.5．(一题两空)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是____________，常数项是____________．【答案】168

1【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×重难突破能力提升2求展开式中的项或项的系数在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力．归纳起来常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题．【答案】D

【答案】3

【答案】A

【规律方法】(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．二项式系数的和与各项系数的问题 在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和．二项式定理的应用【答案】D

【跟踪训练】2．设a∈Z且0≤a<13，若512020＋a能被13整除，则a＝(

)A．0 B．1C．11 D．12【答案】D

追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】二项式定理的应用．【考查目的】考查对通项公式的把握，考查应用意识，同时也考查推理能力与计算能力．【思路导引】利用二项式的展开式的通项公式即可得出．【答案】A【拓展延伸】1．二项展开式的通项通项主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：(1)Can－rbr是第r＋1项，而不是第r项；(2)通项中a，b的位置不能颠倒；(3)通项中含有a，b，n，r，Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．2．二项式系数的两个注意点(1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；(2)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．【真题链接】

1．(2019年新课标Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(

)A．12

B．16

C．20

D．24【答案】A

【答案】28

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第6讲离散型随机变量的分布列、均值、方差高考要求考情分析1.会求某些取有限个离散型随机变量的分布列，理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2．能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．3．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义以实际问题为背景，运用期望与方差的知识进行决策或判断，常以解答题为主，几乎每卷都有考查，考查数学建模与数学抽象以及数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为____________________，所有取值可以一一列出的随机变量，称为____________随机变量．随机变量离散型概率分布列p1＋p2＋…＋pn

x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn

数学期望平均水平平均偏离程度标准差5．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝____________.(2)D(aX＋b)＝____________.(a，b为常数)6．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则EX＝________，DX＝__________.(2)若X～B(n，p)，则EX＝________，DX＝__________.aEX＋b

a2DX

p

p(1－p)

np

np(1－p)

【答案】D

【解析】由随机变量X的分布列，得p＝1－0.3＝0.7，所以EX＝0×0.3＋1×0.7＝0.7.故选D．【答案】D

【解析】依题意，P(X＜4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3＋0.2＝0.5.故选D．【答案】B【答案】905．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为____________．1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(

)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(

)(3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(

)(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√

(4)×重难突破能力提升2离散型随机变量分布列的性质【规律方法】分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．离散型随机变量分布列的求法

(经典母题)(2017年山东改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．【迁移探究1】用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列．【规律方法】(1)离散型随机变量分布列的求解步骤①明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．②弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．③按规范要求形式写出分布列．④利用分布列的性质检验分布列是否正确．(2)超几何分布的特征①考察对象分两类．②已知各类对象的个数．③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．离散型随机变量的均值与方差【考向分析】离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是近几年高考中主要的概率题型，常与排列组合、概率等知识综合考查．常见的考向有：(1)求离散型随机变量的均值、方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值．【答案】D

【解析】因为η～B(n，p)，且E(2η)＝8，D(4η)＝32，所以E(2η)＝2Eη＝2np＝8，D(4η)＝16Dη＝16np(1－p)＝32，解得n＝8，p＝0.5.【规律方法】离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略：(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值．均值与方差在决策中的应用

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年赣州模拟)有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得x(x∈N＋)分，再由乙第一次抛，若出现朝上的情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若出现朝上的情况与甲第二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；按此规则，直到游戏结束．记甲乙累计得分分别为ξ，η.【考查角度】离散型随机变量及其分布列与离散型随机变量的期望与方差．【考查目的】考查数学运算能力及必然与或然思想，体现数学建模和数学运算的核心素养．【拓展延伸】1．期望与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)．(2)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2.(3)D(aX＋b)＝a2DX(a，b为常数)．2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．【真题链接】

1．(2018年新课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(

)A．0.7

B．0.6

C．0.4

D．0.3【答案】B

【答案】D

3．(2019年北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第7讲二项分布与正态分布高考要求考情分析1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题；3．了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用此部分内容也是高考考查的一个重点，常注重实际背景的材料，常以选择、填空的形式出现，考查阅读理解、分析问题的能力，考查分类讨论，数形结合的数学思想，考查数学建模和数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝__________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝______________________P(B|A)＋P(C|A)

P(A)P(B)

P(B)

P(A)

P(A)P(B)

3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在__________条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝____________________.(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作____________，并称p为____________．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率P(X＝k)＝________________(k＝0,1,2，…，n)．相同P(A1)P(A2)…P(An)

X～B(n，p)

成功概率

Cpk(1－p)n－k

上方x＝μ

x＝μ

1

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着____的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．μ

甲乙

越小越大(3)正态分布的定义及表示：如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)等于由直线x＝a，x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积，则称随机变量X服从正态分布，记作____________．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝__________；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__________；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝__________.X～N(μ，σ2)

0.6826

0.9544

0.9974

[特别提醒]若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.【答案】B【答案】A

3．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(

)A．0.960

B．0.864C．0.720

D．0.576【答案】B5．(2019年大庆期末)若ξ～N(5，σ2)，且P(4＜ξ＜5)＝0.25，P(6＜ξ＜7)＝0.15，则P(ξ＜3)＝____________.【答案】0.1

1．相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(

)(2)相互独立事件就是互斥事件．(

)(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(

)(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)×重难突破能力提升2条件概率【答案】B

【答案】(1)A

(2)D

相互独立事件的概率

在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X≥2”的事件概率．【规律方法】(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【答案】C

独立重复试验与二项分布

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．【解析】(1)设这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x，则落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x,2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.【规律方法】(1)已知二项分布，求二项分布列，可判断离散型随机变量是否服从二项分布，再由二项分布列公式求概率，列出分布列．(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下概率，依据题设及互斥事件弄清该情况下所含的所有事项，再结合二项分布公式即可求解．正态分布 已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(

)(附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【答案】B

【规律方法】(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)．【跟踪训练】4．(2019年九江三模)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布N(90,64)．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间(82,106)内的产品估计有(

)附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.9544.A．8185件 B．6826件C．4772件 D．2718件【答案】A

追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年河南模拟)山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80,52)，则直径在(75,90]内的概率为(

)附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．0.6826

B．0.8413

C．0.8185

D．0.9544【考查角度】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【考查目的】考查推理能力与计算能力，同时也体现了直观想象的数学素养．【答案】C【拓展延伸】1．抓住关键词求解相互独立事件的概率在应用相互独立事件的概率公式时，要找准关键字句，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”“恰有一个发生”的情况，要结合对立事件的概率求解．【真题链接】

1．(2019年新课标Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18

【解析】甲队以4∶1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036.②前5场比赛中，