第九章习题参考答案

群习题9解答1分析(1)运算显然是封闭的.下面验证结合律.∀x(x*y任取e∉S，定义T=S∪e，∀x∈S2分析(3分析能构成群.运算封闭.∀x(x结合律成立，单位元是2，x的逆元是4-x4分析设矩阵A=1001，B=那么运算表如表10-1所示.运算封闭，矩阵乘法满足结合律，单位元为A，每个矩阵的逆元都是它自己.因此G关于矩阵乘法构成群.表10-1∙ABCDAABCDBBADCCCDABDDCBA5分析1∈T，∀x,y∈T，(x,n)=1xa+nb从而得到xa=1-nb(根据除法存在整数k和a'使得a=nk+a',其中.于是有a<G,*提升习题1分析如图9-1所示.图10-1对面的置换根据立方体旋转或翻转的对称轴不同分类.围绕过一对面中心的对称轴（3个）旋转90度、180度、270度，产生的置换结构如下：90度、270度：(∙)(∙)180度：(∙∙)(∙围绕过一棱中点的对称轴（6个）翻转180度，产生的置换结构如下180度：(∙∙)(围绕过一对顶点的对称轴（4个）旋转120度、240度，产生的置换结构如下120度、240度：(∙∙还有恒等置换，其结构是0度：(∙)(∙)(∙)(∙总计24个置换.代入Polya定理得12分析围绕中心旋转60度、120度、180度、240度、300度的置换结构如下：60度、300度：(∙120度、240度：(∙∙180度：(∙∙)(∙围绕过一对弦中点的对称轴（3个）翻转180度，产生的置换结构如下180度：(∙∙)(∙围绕过一对顶点的对存在（3个）翻转180度，产生的置换结构如下180度：(∙∙)(∙还有恒等置换，其结构是0度：(∙)(∙)(∙)(∙代入Polya定理得M3分析（1）设计思路输入：指定的置换。输出：该置换的类型。实现语言：可自选，C/C++、Java、Python均可。基本思路：首先将置换转换为轮换，确定每一种轮换的个数，得到置换的类型。（2）核心代码这里用Python代码表示如下：defgetRotations(perm):#得到置换的轮换表达式，输入形式类似perm1=[1,4,3,6,2,5]rots=[]a=set(range(1,len(perm)+1))whilea:start=min(a)nt=perm[start-1]r=[start]whilestart!=nt:r.append(nt)nt=perm[nt-1]rots.append(r)a=a-set(r)returnrotsdefinegetPermutationType(rotations):#得到置换的类型，输入为getRotations输出的轮换结果ptype={}foriinrotations:key=str(len(i))Ifkeynotintype:ptype[key]=0ptype[key]=ptype[key]+1returndict(sorted(ptype.items(),key=lambdax:x[0]))perm1=[1,4,3,6,2,5]rot=getRotations(perms1)print(rot)rtype=getPermutationType(rot)print(rtype)4分析(1)设计思路输入：代数系统的运算表输出：该代数系统是否是半群，是否是独异点，是否是群或循环群。如果是群，求出每个元素的阶。实现语言：可自选，C/C++、Java、Python均可。基本思路：判定方面以运算是否满足结合律、有单位元，每个元素有逆元为标准。求出元素的阶之后，如果有元素的阶等于群的阶，则为循环群。(2)这里用Python代码表示如下：ImportnumpyasnpImportitertoolsdefIsAssociative(A,n):#判断运算是否满足结合律，A为用二维数组表示的运算表，n为阶数Isassociative=True;Fornuminduct(rang(0,n),repeat=3):IfA[A[num[0]][num[1]]][num[2]!=A[num[0]][A[num[1]][num[2]]]:Isassociative=False;Break;Return(isassociative)DeffindIdentity(A,n):#判断元素是否有单位元，A为用二维数组表示，n为阶数Identity=None;Nums=range(0,n)Fornuminnums:If(A[num]==nums).all():Identuty=num;ReturnIdentityDeffindInverse(A,n,uid):#判断运算是否有逆元，A为用二维数组表示的运算表,，n为阶数，uid为单位元Rev=np.empty([n],dtype=type(A[0][0]))Fornuminrange(0,n):Ind=np.argwhere(A[num]==uid)Ifind.size>0:IfA[ind[0][0],num]==uid:Rev[num]=ind[0]0[0]Else:Rev[num]=-1Else:Rev[num]=-1ReturnrevDefinefindOrder(A,n,uid):#求出群中每个元素的阶，A为用二维数组表示的运算表,，n为群的阶数，uid为单位元Orders=np.empty([n],dtype(A[0][0]))Fornuminrange(0,n):A=numFornumjinrange(1,n+1):Ifa==uid:Orders[num]=numjBreakA=A[a,num]ReturnordersDeffindGroupType(A):#判断是否是群（循环群），独异点或半群N=len(A)IfIsAssociative(A,n):Uid=findIdentity(A,n)Ifuidisnone:Print(“SemiGroup”)Else:Rev=findInverse(A,n,uid)Ifall(rev!=-1):Elo=finOrder(A,n,uid)If(elo==n).any():Print(“CyclicGroup”)Else:Print(“Group”)Else:Print(“Monoid”)