数据的离散程度第1课时课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

第1课时第二十四章数据的分析

数学人教版八年级下册01020304理解方差的定义与计算公式，掌握方差的计算方法，能利用方差比较两组数据的离散程度.理解方差的统计意义，明确方差大小与数据离散程度、稳定性的关系，体会方差公式中“离差平方”的必要性.经历从直观感知数据波动到抽象推导方差公式的过程，体会“数形结合”“从特殊到一般”的数学思想，提升数据分析与定量建模的能力.通过解决生活中的实际问题，感受统计知识的实用性，培养用数据说话的严谨态度，增强对数学的应用意识与学习兴趣.

两人的平均数都是190cm，从集中趋势来看，他们的平均水平一样.但仔细观察这两组数据，你能感受到它们的差异吗?我们班两位同学的5次立定跳远测试成绩(单位：cm)：同学甲：190，190，190，190，190同学乙：170，180，190，200，210大家快速计算一下，两位同学成绩的平均数分别是多少?

甲的成绩每次都很稳定，而乙的成绩忽高忽低，波动很大.

在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是我们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.本节课我们就来学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差.1某农业农科院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49计算出两组数的平均数，你有什么发现？由样本平均数估计总体平均数活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？

为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述.甲种甜玉米的产量乙种甜玉米的产量活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义

比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好.活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义甲种甜玉米的产量乙种甜玉米的产量产量波动较大产量波动较小2如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？

当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；

当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立.

这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义

为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.3我们应该用什么方法刻画呢?活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义

方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.

方差越大，数据的离散程度越大；

方差越小，数据的离散程度越小.根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差.活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义数据分布比较分散数据分布比较集中活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义4请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．

甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义5专家应该选择哪种甜玉米种子呢?

正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.

因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定，综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义6

离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.

在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义利用计算器求方差：例题1甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示.甲97910108910510乙910781099879哪名射击运动员的发挥更稳定?方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定；方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定.求一组数据的方差的一般步骤：（1）求这组数据的平均数；（2）根据方差公式求这组数据的方差．

一组数据中的任何一个数据的变化都可能影响方差的大小，因此计算一组数据的方差时，确保不要遗漏和重复任何一个数据.例题2若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是͞x＝9，方差是s2＝6，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2的平均数是______，方差是_______.25例题2若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是͞x＝9，方差是s2＝6，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2的平均数是______，方差是_______.2554方差的变化规律数据

平均数方差x1，x2

，x3

，…，xn

͞xs2x1

a，x2

a，…，xn

a͞x

as2kx1，kx2，kx3，kx4，…，kxnk͞xk2s2kx1

a，kx2

a，…，kxn

ak͞x

ak2s2两组相关数据的平均数、方差的关系：方法拓展：求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：①取一个适当的基准数

a②将原数据都减去

a，得到一组新数据③求新数据的方差例题3例题3例题3变小变大解：这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4).1.如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？2.根据方差比较第149页“问题1”中两组跳绳成绩的离散程度.甲组182194143185156乙组199148242170141

͞x甲

=172(次/min)

͞x乙

=180(次/min)

用方差“PK”身边数据的稳定性任务：1.收集两组生活中的数据（如：你和同桌连续5次数学单元测试成绩、家里近10天早晚的气温）；2.计