重庆市渝中区2024-2025学年七下期末考试数学试题（解析版）

—2025学年度下期期末考试七年级数学试题（全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.下列四个数中，无理数是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键，根据无理数的定义（无限不循环小数或根号开不尽的数），逐一判断各选项是否为无理数．【详解】A、0是整数，属于有理数，此项错误；B、是分数形式，分子分母均为整数，属于有理数，此项错误；C、中，5不是完全平方数，其平方根无法表示为整数或分数，因此是无理数，此项正确；D、可化简为，属于有理数，此项错误．故选：C．2.要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（）．A.随机选取一个班的学生 B.随机选取一个体育队的学生C.在全校女生中随机选取人 D.在全校学生中随机选取人【答案】D【解析】【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断．【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，在全校学生中随机选取人，这些对象具有代表性和广泛性．故选：．3.如图，能准确描述图书馆P相对于校门O的位置的是（）A.南偏东，800米处 B.距离800米处C.北偏东，800米处 D.南偏东方向【答案】A【解析】【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，采用数形结合的思想是此题的关键，结合图形即可得解．【详解】解：由图知，能准确表示学校图书馆相对于校门的位置的是南偏东且距离校门，故选：A．4.若是二元一次方程的一个解，则m的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的解．把方程的解代入二元一次方程，再解方程即可．【详解】解：把代入，得：解得．故选：D．5.如图，根据下列条件，能判定的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；

②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可．详解】A.，能判定；B.，能判定；C.，不能判定；D.，能判定．故选：B．6.数轴上A，B表示两个连续的整数，点C表示的数是，则点B表示的数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤．先用夹逼法估算，再根据点A，B表示两个连续整数即可解答．【详解】解：∵，∴，即，∵点A，表示两个连续整数，∴点B表示的数是，故选：B．7.如图，过点P作，，则与重合，其理由是（）A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C.两点确定一条直线 D.垂线段最短【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了垂线的定义与性质，根据垂线的定义结合图形得出是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．【详解】解：，，则与重合，

其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

故选：A．8.人口老龄化是全球热点问题，下图是某机构对年我国老年人数量预测图，根据图中数据，下列说法不正确的是（）A.预计2050年我国60岁及以上老年人数量将超过4.8亿B.预计年我国60岁及以上老年人数量增长最多C.预计2050年我国80岁及以上老年人数量将超过全国60岁及以上总人数的D.预计年我国80岁及以上老年人数量增长最多【答案】C【解析】【分析】此题考查了条形统计图，根据从条形统计图获取的信息进行判断即可．【详解】解：A.预计年中国60岁以上老年人数量将达到4.83亿人，故选项正确，不符合题意；B.年中国60岁以上老年人数量增长最多，故选项正确，不符合题意；C.预计2050年我国80岁及以上老年人数量将超过全国60岁及以上总人数的，故选项不正确，符合题意；D.预计年我国80岁及以上老年人数量增长最多，故选项正确，不符合题意；故选：C．9.关于x的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解确定参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的求解过程和不等式组解的意义．先解不等式组，确定整数解的可能情况，再根据整数解的和为确定的取值范围．【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，因此，不等式组的解集为，∵整数解需满足，且和为，分两种情况讨论：情况一：整数解为和，和为，此时的范围为，解得；情况二：整数解为、、、、，和为，此时的范围为，解得；当时，解集为，整数解为、，和为，符合条件；当时，解集为，整数解为、、、、，和为，符合条件；综上，的取值范围是或，故选：C．10.“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名．如图1，计算，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法：①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④．其中正确的个数是（）图1图2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，由题意可得：，，其中，，都为整数，可得，，再进一步求解即可.【详解】解：如图，由题意可得：，，其中，，都为整数，∴，，其中，，，不符合题意，如图，∴，，，∴①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④，∴①②③④都正确；故选：D二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于第_____象限．【答案】四．【解析】【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．【详解】解：因为点A（2，﹣3）的横坐标是正数，纵坐标是负数，所以点A在平面直角坐标系的第四象限．故答案为：四．【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．12.如图，直线相交于点，垂足为，则________．【答案】##度【解析】【分析】本题考查了几何中角度的计算，理解图示，掌握垂直的定义，角的和差计算是关键，根据对顶角相等得到，再根据垂直的定义即可求解．【详解】解：根据题意得到，，∵，∴，∴，故答案为：

．13.已知二元一次方程，若用含的代数式表示，则________．【答案】或【解析】【分析】根据等式性质，进行变形即可．本题考查了等式的性质，二元一次方程的变形，代入消元法，熟练掌握变形是解题的关键．【详解】解：由，得或．故答案为：或．14.某公司今年1月份拓展了一项新业务，根据该业务1-6月的销售额（单位：万元）绘制的趋势图如图所示，根据趋势图预测7月份的销售额为________万元（保留整数）．【答案】47（或48）【解析】【分析】本题考查了统计图的运用，根据图示分析即可求解．【详解】解：（万元），即竖直方向上一格表示万，∴根据趋势图预测7月份的销售额为（或）万元，故答案为：（或）

．15.若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则________；若与都是“完美实数”，则的平方根为_______．【答案】①.或②.0或【解析】【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键．根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可．【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”，∵的算术平方根是，的立方根是，∴这个实数可以是，∴当时，，当时，，∴或；若与都是“完美实数”，∴或或或，解得，或或或，∴对应的或或或，∴对应的平方根为或或或，综上所述，的平方根为或；故答案为：①或；②

或．16.已知平面直角坐标系中，点，轴，若点的纵坐标，则称点是点关于的变换点．若点是点关于的变换点，则点的坐标为________；若点满足，点是点关于的变换点，且，则的取值范围是________．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查了定义新运算，平面作角坐标系中点的特点，求不等式的解集，理解新定义的计算，不等式的性质求解集是关键．根据新定义的计算得到，则，可求出点的坐标，根据题意得到，分类讨论，由不等式的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，若点满足，即，点是点关于的变换点，当时，，∴，∵，∴，解得，，不符合题意，舍去；当时，，∴，∵，∴，解得，，符合题意，故答案为：①；②

．三、解答题：（本大题9个小题，第17题和第18题每小题8分，其余各小题，每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】本题主要考查算术平方根，立方根的计算，实数的混合运算，掌握其运算法则是关键．（1）分别算出乘方，算术平方根，立方根的值，再算加减即可；（2）先去括号，绝对值，再算加减即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．18.（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来；（2）解不等式组：．【答案】（1），见解析；（2）．【解析】【分析】本题主要考查解不等式（组），掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键．（1）根据不等式的性质求解，并把解集表示在数轴上即可；（2）根据不等式的性质分别求解不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集即可．【详解】解：（1）去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，解得，，这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，；（2），解不等式①，得，解不等式②，得，这个不等式组的解集是．19.解方程组：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用代入消元法解答即可；（2）利用加减消元法解答即可．本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键．【小问1详解】解：把①代入②，得，解得．把代入①，解得．故这个方程组的解是．【小问2详解】解：，得，得．解得．把代入②，解得．故这个方程组的解是．20.物流公司为提高包裹分拣效率，引进了自动分拣流水线（如图1），直观观察发现传送带a与传送带b互相垂直．该流水线的示意图如图2所示，请根据下列条件，补充完成证明及依据．已知：如图2，，与相交于点E，分别平分和，且．求证：．证明：∵（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补）．∵分别平分和，（已知），∴，；（角平分线的定义）．∴（等式的性质）．∵（已知），∴（④）．∴（等式的基本事实）．∴．【答案】①；②；③；④两直线平行，内错角相等；⑤垂直定义．【解析】【分析】根据平行线的判定和性质，等量代换思想解答即可．本题考查了平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键．【详解】证明：∵（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补）．∵分别平分和，（已知），∴，；（角平分线的定义）．∴（等式的性质）．∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）．∴（等式的基本事实）．∴．故答案为：①；②；③；④两直线平行，内错角相等；⑤垂直的定义．21.某农业种植园引进了一种新型辣椒，为了解该品种辣椒的挂果情况，随机抽查若干株，记录下它们的挂果数量x（单位：个），并绘制如下统计图表：挂果数量x（个）频数（株）百分比816a2412合计

请结合图表中的信息解答下列问题：（1）填空：，；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）已知种植园共种植新型辣椒株，估计挂果数量在“”的辣椒有多少株？【答案】（1）（2）见详解（3）挂果数量在“”辣椒约有株【解析】【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本容量，样本估算总体数量的计算是关键．（1）运用某项求样本容量，（2）根据计算得到（株），由此即可补全图形；（3）根据样本估算总体数量即可求解．【小问1详解】解：频数为株，百分比为，∴，∴（株），，即，故答案为：；【小问2详解】解：（株），补全图形如下，【小问3详解】解：（株），∴挂果数量在“”的辣椒约有株．22.已知关于的方程组．（1）若方程组的解满足，求的值；（2）若方程组的解满足，求满足条件的的最小整数值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，掌握加减消元法，特殊解法的计算是关键．（1）运用加减消元法，二元一次方程的特殊解法计算即可；（2）运用二元一次方程的特殊解法计算即可．【小问1详解】解：，①，得③，③②，得，则，解得，．【小问2详解】解：①，得③，③②，得，则，∵∴，解得，∴的最小整数值是．23.如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形．（1）直接写出点C和点D的坐标；（2）若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）或．【解析】【分析】（1）根据平移的性质解答即可；（2）设点E的坐标为由题意，得，，．根据题意得到，解答即可．（3）根据列式解答即可．本题考查了平移的性质，图形的面积表示法，熟练掌握平移的性质是解题的关键．【小问1详解】解：∵点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．∴即，即，故，．【小问2详解】解：设点E的坐标为由题意，得，，．∵．∴∴，解得．∴，解得．∴点E的坐标是．小问3详解】解：∵∴∴则点P的坐标是或．24.为积极响应国家“碳达峰、碳中和”目标，某工业园推出碳交易奖惩试点项目，以促进企业节能减排，最终实现绿色发展．该工业园A，B两家企业2023年碳排放量及2024年碳排放配额如下表：企业2023年碳排放量（吨）2024年碳排放配额（吨）A80007200B25003000碳交易规则①碳排放超过配额，超过部分需按80元/吨购买碳排放权；②碳排放未超过或刚好达到碳排放配额，园区管委会奖励企业5000元，且结余部分可以按30元/吨出售碳排放权．已知，两家企业2024年月碳排放总量为3400吨，且企业A月均排放量比企业B的2倍少50吨．（1）求月期间，两家企业月均碳排放量各多少吨？（2）企业A从2024年5月开始，加大对企业B的帮扶力度，并承诺5月到12月期间月平均碳排放量不超过企业B的倍，结果2024年A，B两企业全年碳排放的总量为9000吨．企业B在2024年的碳交易中是需要购买还是出售碳排放权？若需购买，最少支出多少元？若能出售，最多获利多少元？（3）企业B从2025年起，年碳排放总量比前一年多，直至碳达峰，其峰值为7500吨．按（2）中2024年最低排放量计算，企业B在2030年能否实现碳达峰？（参考数据：，，，）【答案】（1）A，B两家企业月均碳排放量分别为550吨和300吨；（2）企业B购买碳排放权金额最少为16000元；（3）2030年企业B能实现碳达峰．【解析】【分析】（1）设月期间，企业A，B的月均碳排放量分别为x，y吨．根据题意，得，解方程组即可．（2）设月期间，