浙江温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试数学试题卷

浙江温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试数学试题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p:∃x∈R，A．∀x∈R，x2-xC．∀x∈R，x2-x2．双曲线y2A．1 B．2 C．2 D．23．若1-x5=A．0 B．16 C．32 D．644．已知函数fx=sinωx+A．14 B．12 C．2 D5．已知正项等比数列an中，a5-a1A．14 B．12 C．2 D6．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（）A．24 B．54 C．72 D．1207．已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为16π，若圆台内接于球O，则球OA．22 B．213 C．22138．已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线C:y2=4x交于AA．1QA+1QBC．1QA+1QB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．有一组样本数据x1,x2,⋅⋅⋅,x9，且x1<xA．新数据的极差等于原数据的极差B．新数据的平均数等于xC．新数据的方差大于原数据的方差D．新数据的中位数等于M10．已知函数fx=x3-3a2x(a>0)的极大值点和极小值点分别记为x1和x2，过点Mx1,A．x2-x1=2a C．当a=1时，四边形ABCD为正方形 D．当a=1时，四边形11．若曲线Γ满足条件：存在正数a和点P∉Γ，对于任意点A∈Γ，总存在点B∈Γ，使得PA⋅PB=a，则称该曲线是A．2x2+yC．x2+y2三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12．cardA表示有限集合A中元素的个数，已知cardA∪B=25，cardA=22，13．若i为虚数单位，则i+2i2+314．已知圆O1:x+12+y2=1与圆O2:x-22四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15．如图所示，三棱锥A-BCD中，BC⊥BD，AD⊥BD，且BC=2，BD=（1）证明：BD上存在点P，使得AD//平面PEF（2）当DA,BC=16．已知函数fx=lnx（1）当a=0时，若fx的值域为0,+∞（2）若x=1为fx的极小值点，求实数17．在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为+1个单位，向“负方向姿态修正一次”记为-1个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的（1）求6次姿态修正后达到+2个单位的概率；（2）以下三种情况将导致校准流程终止：情况1：累计姿态偏移达到+2个单位（校准到位）；情况2：累计姿态偏移达到-2情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求EX18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin（1）求B；（2）若c=1，点D在AC上，直线BD上一点P满足CB⋅CP=CD（ⅰ）求PA（ⅱ）当PA2+19．已知曲线E:x24+y2b2=1(b（1）求曲线E的方程；（2）已知有n+1个点A0，A1，A2，…，An按逆时针顺序依次在E（ⅰ）当A1，A2关于y轴对称，且△OA1（ⅱ）当△OAk-1Ak1≤k≤n

答案解析部分1．【答案】A【知识点】命题的否定【解析】【解答】解：原命题p:∃x∈其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以¬p为∀x∈R，x【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解．2．【答案】D【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解“”双曲线y22-所以a=2，所以实轴长为2a=2【分析】根据双曲线的性质求实轴长即可.3．【答案】C【知识点】二项式定理的应用；二项式系数【解析】【解答】解：因为1-x令x=-1，得到25=a0-a1+a24．【答案】C【知识点】函数在某点取得极值的条件；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值【解析】【解答】解：因为x∈0,π根据正弦函数的图象，以及fx在区间0,所以π2<ωπ2+故ω的取值范围为12,52【分析】根据正弦型函数的极值点即是对称轴，再利用整体法求解即可．5．【答案】D【知识点】等比数列的通项公式【解析】【解答】解：令正项等比数列an的公比为q由题有a1q4-1=15a1q又a5-a1=a1q4-1=15>0,a6．【答案】B【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合【解析】【解答】解：满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2，3，4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有A33种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.

【分析】根据题意，先排乙有3种，再安排甲有3种，然后其他人全排即可.7．【答案】C【知识点】球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用【解析】【解答】解：设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为r1=1和则圆台的侧面积为S侧=π所以圆台的高为h=设球O的半径为R，圆台轴截面为等腰梯形ABCD，且AB=6,过O作AB的垂线，与AB交于点F，与CD交于点E，设OF=x，由r1所以R2=3

故答案为：C【分析】根据题意，先得到圆台母线长，再由圆台截面为等腰梯形求出圆台的高，然后设球O的半径为R，结合勾股定理即可求解.8．【答案】D【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：设Q(t,0)，直线l的方程为xy2设Ax1,y1，B因为OA⋅OB=所以t2-4|QA同理|QB则1QA因为y1y2=-4t所以1|又|y所以1|QA|则1|代入韦达定理得y1故1|QA|2+1

故答案为：D.【分析】设直线l的方程为x=my+t，联立抛物线，得到y1+y2=4m9．【答案】B,C,D【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征【解析】【解答】解：x1,x2,⋅⋅⋅,xy1,y2,⋅⋅⋅,新数据的平均数等于：y=9x+y1,S2因为x1<x所以S2=iy1,y2,⋅⋅⋅,y9的中位数为y5=x10．【答案】A,C【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】解：由fx=x因a>0，由f'x>0，可得x>a或即函数fx在(-∞,-故函数的极大值点为x1=-a，极小值点为x2=由图知DC,AB分别是函数图象在点M,N处的切线将直线DC的方程y=2a3与y=x即(x+a再将直线AB的方程与y=x3得x3-3a2因四边形ABCD是矩形，则DM=-即点M为线段CD的四等分点，故B错误；对于C，由上分析知，DC=4a,AD=2又四边形ABCD是矩形，故此时ABCD为正方形，故C正确；对于D，因MC=34则四边形AMCN为平行四边形，又AM=DM2+AD2=a2【分析】对于A，利用导数分析极值点可得x1=-a，x211．【答案】A,C【知识点】曲线与方程；圆锥曲线的轨迹问题【解析】【解答】解：对于A，由2x2+则a=1,b=22而PAmin=b令a=22，由PA⋅PB此时PB=22PA∈故2x2+y2=1对于B，由x2+xy=1，显然由于函数y=1x-x因为该图象是无界的，因此当PA→+∞时，对给定的PBmin是一个具体的正数，则PAPB→+因此，x2+xy=1不是“对于C，由x2显然点x,-则曲线x2+y2=因此该曲线上的点均在圆x2所以该曲线的图象是有界的，取P0,0设PAmin=λ，PA由PA⋅PB=a=此时PB=因此对于任意点A∈Γ，总存在点故x2+y2=sin对于D，由sinx+2y则x→+∞时，所以曲线sinx当PA→+∞时，对给定的PBmin是一个具体的正数，则PAPB→+因此，sinx+2y=2x-y不是【分析】根据“a-封闭曲线”的概念可知曲线必须有界，当曲线图象无界时，不可能为“a-封闭曲线”12．【答案】17【知识点】集合中元素的个数问题【解析】【解答】解：cardA∩B=cardA13．【答案】-【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：由i10=i设S=则iS=两式相减得，1-=2所以S=-1+11i【分析】利用错位相减法化简原式即可.14．【答案】4；2【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定【解析】【解答】解：由圆O1:x+12又由圆O2:x-2圆心距O1O2所以满足O1即存在这样的r，故第一空答案为4；由3个公切线交点在y轴上，注意到x=0到O1的距离为1，恰好是O若x=0也是O2的公切线，则x=0到O2的距离为2=r此时x=0是一条公切线，它和另外三条公切线的交点D,E设斜率存在的公切线为y=-k-0+可得2b-2整理得：b=4k-当b=1时，代入-当b=4k-所以当k=9+17当k=9-17从而可得三条公切线方程分别为：y由y=1y=9+17又由y=1y=9-17又由y=9+178x则AB=1+172-1-17所以另外三个交点A,B,C围成的三角形面积为：S=12×17×4=217.15．【答案】（1）证明：取BD的中点P，连接PE因为E是AB的中点，P是BD的中点，所以在△ABD中，EP是中位线，故EP又EP⊂平面PEF，AD⊄平面所以AD//平面PEF故BD上存在满足条件的点P，得证.（2）如图所示，以点B为原点，BC为x轴，BD为y轴，过点B且垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，D(0,1,0)，C设A(x,1,z)，由AD由〈DA,BC〉=得：cos代入x2+z2=1平面BAC中，BA=22设法向量为n1由n1⋅BA=0n1⋅平面DAC中，DA=22设法向量为n2由n2⋅DA=0n2⋅cos所以二面角B-sinθ​​​​​​​【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）取BD的中点P，连接PE,PF，进而可得EP//AD，再由线面平行的判定即可证明；

（2）以点B为原点建立空间直角坐标系，设A（1）取BD的中点P，连接PE因为E是AB的中点，P是BD的中点，所以在△ABD中，EP是中位线，故EP又EP⊂平面PEF，AD⊄平面所以AD//平面PEF故BD上存在满足条件的点P，得证.（2）如图所示，以点B为原点，BC为x轴，BD为y轴，过点B且垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,1,0)，设A(x,1,z)，由AD由〈DA,BC〉=得：cos代入x2+z2=1平面BAC中，BA=22设法向量为n1由n1⋅BA=0n1⋅平面DAC中，DA=22设法向量为n2由n2⋅DA=0n2⋅cos所以二面角B-sinθ16．【答案】（1）解：因为a=0，所以fx=因为b∈0,1，所以令f'当x∈0,b，f当x∈b,+∞，所以fxmin=（2）解：因为fx=lnx又因为x=1为fx的极小值点，所以f'代入导数得f'因为b∈0,1，所以①当-12<a<0时，f'x所以x∈0,1，f'x<0，fx单调递减；x∈1,-1-1a，所以x=1为fx②当a=-12所以fx在定义域内单调递减，无极值，不满足题意舍去③当-1<a<-12时，f'x所以x∈0,-1-1a，f'x<0，fx单调递减；x∈-1-x=1为fx的极大值点.综上，-1【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【分析】（1）利用导数得到函数的最小值，结合值域即可求解；（2）根据极值点可知f'1=0，得到b=a+1，初步确定a∈-1,0，再分（1）因为a=0，所以fx=因为b∈0,1，所以令f'当x∈0,b，f当x∈b,+∞，所以fxmin=（2）因为fx=lnx又因为x=1为fx的极小值点，所以f'代入导数得f'因为b∈0,1，所以①当-12<a<0时，f'x所以x∈0,1，f'x<0，fx单调递减；x∈1,-1-1a，所以x=1为fx②当a=-12所以fx在定义域内单调递减，无极值，不满足题意舍去③当-1<a<-12时，f'x所以x∈0,-1-1a，f'x<0，fx单调递减；x∈-1-x=1为fx的极大值点.综上，-117．【答案】（1）解：若6次姿态修正后达到+2个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正，且每次正方向和负方向修正的概率均为12故6次姿态修正后达到+2个单位的概率为C6（2）解：（ⅰ）设第i次修正的结果为ai，且ai∈-1,1，累计的修正单位为Sn=i=1nai，“能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,1中的某一种，

则第5次和第六次的修正可以为-1,1中的任意一种，故a5,a6共有2×2=4种选择，

故“完成6次修正”总的路线共有4×4=16种，

“校准到位”的路线有1,-1,-1,1,1,1,1,-1,1,-1,1,1,-1,1,1,-1,1,1,-1,1,-1,1,1,1共有4种，

X246P111

故EX=2×【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布【解析】【分析】（1）根据题意，6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正，再结合二项分布的概率公式即可求解，（2）（i）列举所有的路线，再根据概率公式求解；（ii）随机变量X的取值为2，4，6，再求出对应概率，写出分布列并计算期望.（1）若6次姿态修正后达到+2个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正，且每次正方向和负方向修正的概率均为12故6次姿态修正后达到+2个单位的概率为C6（2）（ⅰ）设第i次修正的结果为ai，且ai∈“能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是1,-1,-1,1,则第5次和第六次的修正可以为-1,1中的任意一种，故a5,故“完成6次修正”总的路线共有4×4=16种，“校准到位”的路线有1,-1,-1,1,1,1,1,-1,1,-1,1,1,故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为416（ⅱ）随机变量X的取值为2，4，6，X=2表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故PX=4故PXPXX的分布列如下：X246P111故E18．【答案】（1）解：在△ABC中，因为A+B+C由正弦定理得ba由余弦定理得ba化简得b2又cosB=a所以B=​​​​​​（2）解：（i）因为CB⋅CP=CD如图，建立平面直角坐标系此时A-1,0设Cm,因为DB⊥CP设Px,y，整理得y-3P=2≥-m+4m又因为-m+4m所以PA2（ii）此时C18,P-116联立y=-3xy【知识点】向量在几何中的应用；正弦定理的应用【解析】【分析】（1）根据正余弦边角互化可得b2（2）（ⅰ）以B为原点建立直角坐标系，由向量的线性运算及数量积可得DB⊥CP，进而得到点P的轨迹方程，再表示出PA2+PC2（1）在△ABC中，因为A+B+C由正弦定理得ba由余