全品高考备战2027年数学一轮备用题库05第40讲数列的综合问题【答案】作业手册

第40讲数列的综合问题1.C[解析]∵数列{an}是公差为2的等差数列,∴a1=a2-2,a4=a2+4,∵a1,a2,a4成等比数列,∴a22=a1a4,即a22=(a2-2)(a2+4),解得a2=2.B[解析]设等差数列{an}的公差为d,则B-A=15d=45,所以d=3.因为2A=B+615,所以2A=A+45+615,则A=660.等差数列{an}的奇数项是以a1为首项,2d为公差的等差数列,等差数列{an}的前30项中奇数项有15项,所以A=15a1+15×142×6=660,得a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.故选B3.C[解析]因为{an}既是等差数列又是等比数列,且a1=1,所以an=1(n∈N*)(常数数列),所以其前2026项和为2026,故选C.4.B[解析]因为a1=1,2Sn=an+1an,a1=S1,所以当n=1时,可得a2=2,当n≥2时,2Sn-1=anan-1,与2Sn=an+1an相减可得an+1-an-1=2(n≥2),所以当n=2k-1(k∈N*)时,数列{a2k-1}是以1为首项,2为公差的等差数列,则a2k-1=2k-1,当n=2k(k∈N*)时,数列{a2k}是以2为首项,2为公差的等差数列,则a2k=2k,所以当n为正整数时,an=n,则S20=1+2+3+…+20=210.故选B.5.A[解析]数列{an}满足an=n,在an,an+1之间插入n个1,构成数列{bn}:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,所以数列{bn}中从a1到ak的项数为k+[1+2+…+(k-1)]=k+(k-1)(1+k-1)2=12k(k+1),当k=13时,12×13×14=91,当k=14时,12×14×15=105,因为ak=k,所以S100=(a1+a2+…+a13)+(100-6.5[解析]由Tk∈-11000,0,可得|Tk|<11000,易知|an|=12n,|Tn|=121+2+…+n=12n(n+1)2,当n≥4时,|Tn|<11000,又n为偶数时,T7.7,8[解析]设n月份的需求量为an,因为Sn=n90(21n-n2-5)(n=1,2,…,12),所以当n=1时,a1=S1=16,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n90(21n-n2-5)-n-190[21(n-1)-(n-1)2-5]=-3n2+45n-2790,由an>1.5,可得n2-15n+54<0,解得8.B[解析]设九枚“环权”的重量(铢)按从小到大的顺序构成数列{an},可得a1=1,a9=192,由a3,a4,…,a9成等比数列,公比为2,得a9=a3×26=192,可得a3=3,所以an=3·2n-3,3≤n≤9,n∈N*.由a1,a2,a3成等差数列,可得公差d=a3-a13-1=1,所以an=n,n≤3,n∈N*,所以需要放置一枚2两,一枚12铢,一枚19.C[解析]设等比数列{an}的公比为q(q≠1),则S3=a1(1-q3)1-q=7,S6=a1(1-q6)1-q=63,解得q=2,a1=1,∴an=2n-1,S2n=22n-1.关于n的不等式S2n-tan+33≥0即为22n方法一:设f(n)=2n+1+322n-1,n∈N*,则f(n+1)-f(n)=2n+2+322n-2n+1+322n-1=2n+1-322n,当n=2时,f(n+1)-f(n)=0,当n=1时,f(n+1)-f(n)<0,当n≥3时,f(n+1)-f(n)>0,又f(2)=f(3)=24,∴当n=2或n=3时,f(方法二:由2n+1+322n-1≥22n+1·322n-1=162,当且仅当2n+1=322n-1,即n=52时等号成立,又n∈N*,∴当n=2或n=3时,2n+10.BC[解析]对于A,取an=2n,bn=1,此时an+bn=2n+1,显然{2n+1}不是等比数列,故A错误;对于B,C,设an=a1pn-1,bn=b1qn-1,则an·bn=a1b1(pq)n-1,anbn=a1b1pqn-1,显然{an·bn}和anbn均为等比数列,故B,C均正确;对于D,取an=bn=2n-1,此时a1=b1=1,a2=b2=2,a3=b3=4,数列{anb11.CD[解析]由{an}为等比数列,其前n项和Sn=2n+1+m=2·2n+m,则m=-2,故A不正确.由Sn=2n+1-2得Sn-1=2n-2(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=2n(n≥2),又{an}为等比数列,所以an=2n,由f(n)=an+36an=2n+362n,n∈N*,令t=2n,可得y=t+36t,当t=4,即n=2时,y=13,当t=8,即n=3时,y=12.5,则f(n)min=f(3)=12.5,故B不正确.由b1+b22+b33+…+bnn=n,可得bnn=1,则bn=n,若tan>bn-2对任意的n∈N*恒成立,则t·2n>n-2,即t>n-22n对任意的n∈N*恒成立,令g(n)=n-22n,则g(n+1)-g(n)=n-12n+1-n-22n=-n+32n+1,当1≤n≤2时,g(n+1)>g(n),当n=3时,g(3)=g(4),当n≥4时,g(n+1)<g(n),则g(n)max=g(3)=g(4)=18,则t>18,故C正确.cn=a12.116[解析]将a3=2S2+1与a4=2S3+1作差,可得a4-a3=2a3,即a4=3a3,所以等比数列{an}的公比q=a4a3=3.因为a1=1,q=3,所以an=1×3n-1=3n-1,所以bn=log3an=log33n-1=n-1,所以bn+1(n+9)(bn+2)=n(n+9)(n+1)=1n+9n+10.因为13.2026[解析]设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=log21+21+1+log22+22+1+…+log2n+2n+1=log232+log243+…+log2n+2n+1=log2n+22=log2(n+2)-log22=log2(n+2)-1.所以Sk=log2(k+2)-1,因为Sk为正整数,所以log2(k+2)-1>0,即k+2>2,可得k>0.令m=log2(k+2),则k=2m-2,因为k∈[1,2023],所以2m∈[3,2025],m∈N*,因为y=2x为增函数,且21=2,22=4,…,210=1024,211=2048,所以m∈[2,10],m∈N*,所以所有“好数”的和为22-2+23-2+…+214.解:(1)设{an}的公差为d,由a3=7,a5+a6=29,得a1+2d=7,2(2)由(1)可知a1=1,a2=4,则a1+b1=1,a2+b2=2,因为{bn+an}是等比数列,所以公比为a2+b2a1+b1=21=2,所以bn+an=2n-1,所以bn=2n-1-(3n-2)=2n-1+2-3n,所以Sn=1-2n1-215.解:(1)方法一(从终值来考虑):若全款购置,则25万元10年后的价值为25(1+2.5%)10≈32.00(万元).若分期付款,每年年初所付金额为3万元,10年后的总价值为S=3(1+2.5%)10+3(1+2.5%)9+…+3(1+2.5%)≈34.44(万元).因此付全款较好,即方案一更好.方法二(从现值来考虑):每年年初付款3万元,10年后现值之和为A=3+31+2.5%+3(1+2.5%)2+…+3(1+2.5%)9,可得1.02510比一次性付全款多,故方案一更好.(2)设第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元,则T=2×(1+2.5%)10+2.1×(1+2.5%)9+…+2.9×(1+2.5%),记1+2.5%=q,an=-0.1n+3,则T=a1q+a2q2+…+a10q10,则qT=a1q2+a2q3+…+a9q10+a10q11,两式作差可得(1-q)T=2.9q-0.1(q2+q3+…+q10)-2q11,故(1-q)T=3q-0.1(q+q2+q3+…+q10)-2q11,可得T=3·q1-q-0.1·q(1-q10)(故预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为27.88万元.16.解:(1)证明:由Sn=3an-2n知a1=S1=3a1-2,得a1=1.由已知得an+1=Sn+1-Sn=(3an+1-2n+1)-(3an-2n)=3an+1-3an-2n,故an+1=32an+2n-1,得an+1-2n+1=32an+2n-1-2n+1=32an-3·2n-1=32(an-2n),而a1-21=1-2=-1≠0,故数列{an-2n}是首项为-1,(2)根据(1)的结论有an-2n=-32n-1,即an=2n-32n-1,则bn=an+λ·2n-(λ+1)·32n-1=(由题知bn+1>bn恒成立,即(λ+1)·2n+1-(λ+2)·32n>(λ